Различные подходы к определению проективной плоскости
=((a1)=OA.
Если образы 2-х векторов совпадают, то векторы коллинеарны.
Построенная конструкция является моделью проективной плоскости. Роль
проективных точек в этой модели выполняют прямые связки, с роль проективных
прямых выполняют плоскости связки.
Проанализируем, как выполняются свойства проективной плоскости.
|Свойства проективной плоскости |Реализация на модели |
|1)Через две любые точки проходит |1)Через две прямые связки проходит |
|единственная прямая |единственная плоскость связки |
|2)( две прямые на проективной |2)( две плоскости связки пересекаются|
|плоскости пересекаются |по прямой связки |
|3)( три () не лежащие на одной прямой|3)( три прямые связки не лежащие в |
| |одной плоскости связки |
| |4)Каждой плоскости связки принадлежит|
|4) на каждой прямой лежит не менее |не менее трех прямых этой связки |
|трех точек | |
2)Рассмотрим вторую модель - расширенная евклидова плоскость.
Рассмотрим в пространстве связку с центром в ()О и плоскость ( не
проходящую через ()О и зададим отображение ( плоскости ( в связку с центром
в ()О по закону: (()А плоскости ( ставится в соответствии прямая ОА.
(- биективно? т.е. любой ли прямой связки будет соответствовать прообраз?
Ответ: нет. Прямые связки параллельные ( не имеют прообразов и такие прямые
называют особыми. Таких прямых будет бесчисленное множество и все они лежат
в плоскости связки, которая параллельна (. Такую плоскость назовем особой
плоскостью. Для того, чтобы отображение ( сделать биективным и получить
новую модель проективной плоскости дополним евклидову плоскость (
"несобственными элементами".
Рассмотрим особую прямую связки m, m (( (, и проведем через эту прямую не
особую плоскость (, ((m)( ( =a, a(( m.
( прямая (не особая прямая) связки (( имеет свой прообраз на прямой a.
Поставим в соответствие прямой m не собственную ()М (, которая (a.
Проведем через особую прямую m другую не особую плоскость ( ((m)( ( =b, a
(( b (( m, так как каждая не особая прямая ( имеет прообраз на прямую b, то
прообраз особой прямой m не собственная ()М((b. Если рассмотрим другую
особую прямую n, то должны поставить в соответствие свою несобственную
()N(.
Каждая не особая плоскость связки имеет на плоскости ( своим прообразом
прямую пересечения этой плоскости с плоскостью (.(-a,(-b. Поставим в
соответствие особой плоскости несобственную прямую l(, тогда так как все
особые прямые лежат в единственной особой плоскости, то все несобственные
точки лежат на единственной несобственной прямой.
Определение: Расширенной евклидовой плоскостью ( называется евклидова
плоскость дополненная несобственными элементами: несобственными точками и
единственной несобственной прямой, причем все прямые параллельные между
собой дополняются одной и той же несобственной точкой и все несобственные
точки лежат на единственной несобственной прямой.
Отображение (: ( ( связку стало биективным, так как связка прямых
является моделью проективной плоскости, то и расширенная плоскость (
является моделью проективной плоскости. Роль проективных точек в этой
модели выполняют собственные и несобственные точки. Роль проективных прямых
выполняют собственные прямые плоскости ( и несобственная прямая.
Рассмотрим выполняемость свойств проективной плоскости на построенной
модели.
|Свойства проективной плоскости |Выполнение свойств на модели |
|1)через две любые точки проходит |а)()А,В собственные и через них |
|единственная прямая |проходит единственная прямая АВ |
| |б) А,В( |
| | |
| |через А проводим прямую a((b прямая |
| |АВ( |
| |в)А(, В(- лежат на единственной |
| |несобственной прямой l(. |
|2)( две прямые пересекаются |2) а)a, b- собственные a(b=А |
| |б)a, b собственные но с евклидовой |
| |точки зрения ((, а как прямые |
| |расширенной плоскости a(b=А( |
| |в)a, b( |
| |A((A, A((b( ( A(b(=A( |
3)Третья модель проективной плоскости.
В трехмерном евклидовом пространстве дана сфера. Под ()М будем понимать
две диаметрально противоположные точки сферы, под прямой множество пар
диаметрально противоположных точек лежащих на окружности большого радиуса.
Докажем, что построенное множество является проективной плоскостью.
()N=(N',N''(, ()K=(K',K''(.
Рассмотрим связку с центром в ()О и зададим отображение (:A((A',A''(
(прямой связки соответствует пара диаметрально противоположных точек
пересечения этой прямой со сферой). ( - биективно ( построенная конструкция
является моделью проективной плоскости.
Проверим выполняемость свойств проективной плоскости.
Свойства:
1)Через ( две точки проходит единственная прямая
- через две пары диаметрально противоположных точек сферы (М',М''( и
(N',N''( проходит единственная окружность большого радиуса.
2)( две прямые проективной плоскости пересекаются
- ( две окружности большого радиуса пересекаются в диаметрально
противоположных точках.
3)( три точки не лежащие на одной прямой
-( три пары диаметрально противоположных точек ( одной окружности
большого радиуса. Например: точки N=(N',N''(,K=(K',K''(,P=(P',P''(.
4)На каждой прямой лежит не менее трех точек
- рассмотрим окружность большого радиуса через ()О можно провести три
различных диаметра, каждый диаметр пересекает данную окружность в
диаметрально противоположных точках. Это означает, что на каждой
прямой лежит не менее трех точек.
1.4. Теорема Дезарга.
При данном способе построения проективной плоскости имеет место теорема
Дезарга, которая гласит:
Теорема: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух
трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения
соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
AB(A'B'=P, AC(A'C'=Q, BC(B'C'=R, AA'(BB'(CC'=O,
P,Q,R- лежат в одной прямой?
Доказательство:
Рассмотрим векторы O,A,A',B,B',C,C',P,Q,R порождающие соответствующие (),
так как А,А',О лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно
зависимы, т.е. O= aA + a'A'.
Из того, что В', В, О - лежат на одной прямой ( В, В', О- линейно
зависимы ( O= bB + b'B'
()С, С', О - лежат на одной прямой ( O= cC + c'C'
aA + a'A' = bB + b'B' = cC + c'C'
aA - bB = b'B' - a'A' = P (1)
А,В,Р - линейно зависимы ( () А,В,Р ( одной прямой, А',В',Р'- линейно
зависимы (()А',В',Р' ( одной прямой.
P=AB(A'B'
aA - cC = c'C' - a'A' (2)
А,С,Q- линейно зависимы (()А,С,Q ( одной прямой.
А',С',Q'- линейно зависимы (()А',С',Q' ( одной прямой.
Следовательно, Q=АС(А'С'
bB - cC = c'C' - b'B' = R (3)
В,С,R –линейно зависимы (()В,С,R ( одной прямой.
В',С',R' –линейно зависимы (()В',С',R' ( одной прямой
Следовательно, R=ВС(В'С'.
Составим выражение: [pic]
[pic] - векторы [pic] линейно зависимы ( ()P,Q,R лежат на одной прямой.
Теорема доказана.
Принято называть трехвершинники, удовлетворяющие теореме Дезарга,
дезарговыми. ()О=АА'(ВВ'(СС'- дезарговой, прямую, которой принадлежат точки
P,Q,R - дезарговой. Для теоремы Дезарга имеет место обратная теорема:
Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат
на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих
трехвершинников, проходят через одну точку.
Замечание: Трехвершинник - это фигура, которая состоит из трех точек не
лежащих на одной прямой и прямых проходящих через каждую пару этих точек.
А,В,С- вершины прямые АВ,ВС,АС- стороны
1.5. Теорема Паппа.
Следующей составляющей данной теории является теорема Паппа- Паскаля,
которая является частным случаем теоремы Паскаля. Сформулируем теорему
Паскаля.
рис. 1
Теорема Паскаля: Для того, чтобы шесть точек, из которых никакие три не
лежат на одной прямой принадлежали овальной кривой, необходимо и
достаточно, чтобы точки пересечения соответствующих сторон шестивершинника*
лежали на одной прямой. AB’(A’B=P,AC’(A'C=Q, BC’(B’C=R.(рис. 1)
P,Q,R принадлежат прямой (прямая Паскаля)
Рассмотрим теорему Паскаля в том частном случае, когда кривая второго
порядка распадается на пару прямых. Пусть А,В,С,А',В',С'- шесть вершин
шестиугольника Паскаля, расположенных по три на данных прямых l и l',
которые мы рассматриваем как распавшуюся кривую второго порядка (рис 2).
Тогда имеем следующие три точки пересечения пар соотве
| |  скачать работу |
Различные подходы к определению проективной плоскости |
