Различные подходы к определению проективной плоскости
тствующих сторон
шестиугольника: Р=АВ'(А'В, Q=А'С(АС', R=ВС'(В'С. По теореме Паскаля эти три
точки лежат на одной прямой. Рассмотренный частный случай теоремы Паскаля
был известен древним греческим геометрам и носил название теоремы Паппа.
Теперь эта теорема носит название Паппа - Паскаля.
Рис. 2
*шестивершинником называется фигура состоящая из последовательности шести
()А1, А2, А3, А4, А5, А6 называемых вершинами и шести прямых А1А2, А2А3,
А3А4, А4А5, А5А6, А6А1 называемых сторонами.
Мы рассмотрели один из подходов к определению проективной плоскости, а
именно определения проективной плоскости на базе трехмерного векторного
пространства.
Теперь рассмотрим аналитическое определение проективной плоскости.
Глава 2. Аналитическое построение проективной плоскости.
2.1. Понятие проективной плоскости.
Определение 1: Проективной точкой называется класс пропорциональных троек
действительных чисел, не содержащих нулевой тройки.
Будем обозначать его Х={(Х1,Х2,Х3)}
Множество всех проективных точек называется действительной проективной
плоскостью.
Определение 2: Проективной прямой называется множество всех точек
удовлетворяющих линейному однородному уравнению вида:
С1Х 1+ С2Х 2+ С3Х 3=0 (1)
где хотя бы одно из чисел Ci отлично от нуля.
Определение 2 корректно, так как если тройка (Х1,Х2,Х3) удовлетворяет
уравнению (1), то в силу его однородности при любом действительном ( тройка
((Х1, (Х2, (Х3) удовлетворяет уравнению (1).
Точки, удовлетворяющие уравнению (1) удовлетворяют также линейному
однородному уравнению.
((С1)Х 1+ ((С2)Х 2+ ((С3)Х 3=0 (2)
при (((R: ((0.
Поэтому каждой прямой, заданной уравнением (2) можно поставить во взаимно
однозначное соответствие класс пропорциональных троек С={(С1,С2,С3)}. Так,
что тройками из одного класса соответствует одна прямая, причем этот класс
не содержит нулевой тройки. Ввиду этого прямую, заданную уравнением (2)
будем обозначать той же буквой С, что и соответствующий класс {(С1,С2,С3)}.
Равенство (2) можно записать также в виде
СХ=0 (3)
Скалярное произведение троек С и Х. СХ= C1Х1 + С2Х2 + С3Х3 =0
Замечание: Рассмотрим 3-мерное линейное пространство L3. Исключим из него
нулевой вектор 0. Множество L3{0} разобьем по классам эквивалентности так,
что векторы одного класса коллинеарны между собой. Каждый такой класс
назовем проективной точкой, а множество всех классов 2-мерным проективным
пространством (плоскостью). Множество всех классов, векторы которых
принадлежат (0( назовем одномерной проективной плоскостью (прямой).
В L3 введем координаты. Тогда каждому вектору соответствует строка
(Х1,Х2,Х3), а каждому классу эквивалентности из L3(0( (т.е. проективной
())- класс {(Х1,Х2,Х3)} пропорциональных строк, не содержащий нулевой
строки.
Мы пришли к определению проективной плоскости.
2.2. Свойства проективной плоскости.
Докажем несколько простых теорем о взаимном расположении () и прямых на
проективной плоскости.
Теорема 1: Через две различные () проходит единственная прямая.
Доказательство: 1) Существование. Пусть Х= {(Х1,Х2,Х3)} и У={(Y1,Y2,Y3)}
две различные (). Определим прямую следующим образом:
C= Х*Y то есть С = Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2
Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2
так как CХ = (Х*Y)Х = |Х,Y,Х| = 0
CY = (Х*Y)Y = |Х,Y,Y| = 0
и по свойству определителей, то () Х и Y принадлежат прямой С.
2) Единственность. Если прямая С={(C1,C2,C3)} содержит () Х и Y, то любой
представитель (C1,C2,C3) класса С удовлетворяет системе уравнений.
C1Х1 + C2Х2 + C3Х3 =0
C1Y1 + C2Y2 + C3Y3 =0 (5)
( бесконечное множество ненулевых решений этой системы (нулевое решение
не определяет прямую). При этом для ( решения (С1,С2,С3) справедливо
равенство:
{(C1,C2,C3 )}= Х2,Х3 Х3,Х1 Х1,Х2
Y2,Y3 , Y3,Y1 , Y1,Y2
Т.е. решения системы (5) образуют единственный класс ненулевых троек.
Этот класс определяет единственную прямую С. ч.т.д.
Теорема 2: Две различные прямые имеют единственную общую точку.
Доказательство: Пусть, С={(С1,С2,С3)}, m={(m1,m2,m3)} две различные
прямые. Найдем () Х ={(Х1,Х2,Х3)}, лежащую на этих прямых. Достаточно
повторить доказательство предыдущей теоремы, заменив Х на С, Y на m, С на
Х. Получим, что единственная общая точка Х определяется равенством
Х=С*m (6). ч.т.д.
Теорема 3: Для того, чтобы три () Х,Y,Z лежали на одной прямой,
необходимо и достаточно, чтобы
Х1 Х2 Х3
|X,Y,Z|=0 (7), то есть Y1 Y2 Y3 =0
Z1 Z2 Z3
Доказательство: 1)Необходимость. Пусть () X,Y,Z лежат на одной прямой С.
если хотя бы две из них совпадают, то равенство (7) следует из определения
смешенного произведения и свойств определителя. Пусть эти () различны.
Пользуясь теоремой 1, можно записать C=X*Y. Так как ()Z лежит на прямой C,
то CZ=0 ( (X*Y)Z=|X,Y,Z|=0
2)Достаточность. Пусть выполняется равенство (7). Рассмотрим произведение
C=X*Y. Равенство (7) можно записать в виде (X*Y)Z=0, то есть CZ=0 (()z
лежит на прямой C проходящей через () X и Y. Равенство (7) не зависит от
выбора представителей точек.
Теорема доказана.
Теорема 4: Для того, чтобы три прямые c, m, n проходили через одну ()
необходимо и достаточно, чтобы
|c,m,n|=0 (8)
Для троек действительных чисел понятие линейной зависимости и линейной
независимости определяется так же, как и для векторов. Пусть тройки x,…, x
линейно зависимы. Легко проверить, что ( другие тройки x,…, x,
принадлежащие тем же классам, тоже линейно зависимы. Поэтому классы троек
(точки) линейно зависимы, если линейно зависимы какие-нибудь представители
этих классов.
Из теорем 3 и 4 следуют две теоремы.
Теорема 5: Для того, чтобы три () лежали на одной прямой, необходимо и
достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
Теорема 6: Для того, чтобы три прямые проходили через одну (), необходимо
и достаточно, чтобы они были линейно зависимы.
2.3. Теорема Дезарга.
На проективной действительной плоскости имеет место теорема Дезарга.
Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины
двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения
соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой.
P=AB(A'B', Q=AC(A'C', R=BC(B'C', AA'(BB'(CC'=Q
P,Q,R лежат на одной прямой.
Доказательство: Введем проективную систему координат, примем () А,В,С,О
за фундаментальные:
А(1,0,0), В(0,1,0), С(0,0,1), О(1,1,1)
Координаты ()А'- есть линейная комбинация координат ()А и ()О, так как
А(А', то а'=(А + ((
Можно положить (=1. Тогда получаем А'=(А +(. Тоже самое относится и к
другим вершинам трехвершинника A'B'C'. Поэтому А'((+1,1,1), В'(1,(+1,1),
С'(1,1,(+1) уравнение прямой АВ: х1 х2 х3
1 0 0 =0
0 1 0
АВ: х1 0 0 + х2 0 1 + х3 1 0 =0
1 0 0 0 + 0 1
АВ: х3=0
Уравнение А'В': х1 х2 х3
(+1 1 1 =0
1 (+1 1
A'B': х1 1 1 + х2 1 (+1 + х3 (+1 1 =0
(+1 1 1 1 1 (+1
A'B': -(х1 - (х2 + ((( + ( + ()х3 = 0
Так как АВ(A'B'=P х3 = 0
-(х1 - (х2 + ((( + ( + ()х3 = 0
()Р 0 1 . 1 0 . 0 0 ;()Р
((,-(,0).
-( ((+(+( , ((+(+( -( , -( -(
АС: х1 х2 х3 A’C’: х1 х2 х3
1 0 0 =0 (+1 1 1 =0
0 0 1 1 1 (+1
АС: х2=0 A’C’: (x1 + (-(( - ( - ()x2 + (x3 = 0
так как АС(А’С’ = Q
+x2 = 0
(x1 + (-(( - ( - ()x2 + (x3 = 0, то Q(+(, 0, ()
BС: х1 х2 х3 B’C’: х1 х2 х3
0 1 0 =0 1 (+1 1 =0
0 0 1 1 1 (+1
BC: x1 = 0 B’C’: (( + (( +()x1 - (x2 - (x3 = 0
так как R= BC(B’C’
x1 = 0
(( + (( +()x1 - (x2 - (x3 = 0, то () R(0, -(, -().
С помощью условия коллинеарности трех () убедимся, что () P,Q,R лежат на
одной прямой.
Имеем ( -( 0 ( -( 0
( 0 ( = ( -( 0 =0
0 -( -( 0 -( -(
Условие коллинеарности выполнено, следовательно, P,Q,R ( одной прямой.
Теорема доказана.
Глава 3. Аксиоматическое построение проективной плоскости.
3.1. Аксиоматика аффинной плоскости.
Начнем с некоторых наиболее простых фактов обычной плоской геометрии,
которые мы применим в качестве аксиом при синтетическом построении теории.
Определение: Аффинной плоскостью называют множество элементов, именуемых
точками и систему его подмножеств, именуемых прямыми, причем должны
выполнятся три формулируемые ниже аксиомы А1-А3.
А1: Для ( двух различных точек Р и Q ( единственная прямая, проходящая
через них.
Две прямые
| |  скачать работу |
Различные подходы к определению проективной плоскости |
