Различные подходы к определению проективной плоскости
называются параллельными, если они совпадают или не имеют
общих точек.
А2: Для ( заданной прямой l и точки Р ( одна и только одна проходящая
через Р прямая m: m || l
А3: ( три неколлинеарные точки (Точки Р1,Р2,…Рn называются коллинеарными,
если ( прямая l, что все эти точки ей принадлежат).
Пример: Евклидова плоскость Е2 удовлетворяет аксиомам А1-А3, то есть
является аффинной плоскостью.
Пример: Аффинная плоскость имеет, по крайней мере, четыре различных
точки; плоскость состоящая ровно из четырех () существует.
Действительно в силу А3 на плоскости есть три неколлинеарные точки;
обозначим их через P,Q,R. Согласно А2, ( прямая l , проходящая через Р и
параллельной прямой QR, соединяющей Q и R (эта прямая ( по А1). Точно так
же доказывается ( прямой
m || PQ, проходящей через R.
Покажем теперь, что l || m.
же S(R. Таким образом, четвертая () S необходимо должна существовать и наше
первое утверждение доказано.
Теперь рассмотрим прямые PR и QS. Они могут пересекаться, но они могут и
не пересекаться - это не противоречит аксиомам.
В этом случае мы получаем аффинную плоскость, содержащую ровно четыре ()
P,Q,R,S и шесть прямых PQ,РR,PS,QR,QS,RS.
Аксиомы А1-А3 здесь выполняются, таким образом, мы получим аффинную
плоскость [pic], содержащую наименьшее возможное число (), а именно,
четыре.
3.2. Аксиоматика проективной плоскости.
Определение: Проективной плоскостью S называют множество, элементами
которого именуются точками, и набор его подмножеств, именуемых прямыми,
если при этом выполняются следующие четыре аксиомы.
П1.Через две различные точки P и Q плоскости S можно провести
единственную прямую.
П2. ( две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точки.
П3. ( три неколлинеарные точки.
П4. Прямая содержит, по меньшей мере, три точки.
3.3. Модели проективной плоскости.
1)Рассмотренная ранее расширенная евклидовая плоскость есть модель
проективной плоскости.
Доказательство: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.
П1. Пусть P и Q ([pic]
1. Если Р и Q - собственные (), то через них можно провести только одну
прямую.
2. Если Р - собственная точка (, а Q- несобственная точка, то по аксиоме
А2 ( прямая m, такая, что Р(m и m || l, так , что Q ( пополнению прямой m
до прямой из (. Прямая m -единственная прямая (, проходящая через Р и Q.
3. Если Р и Q несобственные (), то через них проходит единственная
несобственная прямая.
П2. Пусть заданы прямые l и m.
1.Если l и m - несобственные прямые и l || m, то они пересекаются в
некоторой точке. Если l || m, то они пересекаются в несобственной точке Р(.
2.Если l - собственная прямая, а m - несобственная прямая, то они
пересекаются в несобственной точке Р(.
П3. Непосредственно следует из А3. Необходимо только проверить, что если
Р и Q и R неколлинеарны в А, то они не будут коллинеарны в (.
Действительно, в ( ( только одна (несобсвтенная) прямая, не принадлежащая
А, но () Р,Q,R ей не принадлежат.
П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две (). Но в ( каждая
прямая содержит еще и несобственную точку, поэтому она содержит не менее
трех точек.
2) Пополняя аффинную плоскость А из четырех (), мы получим проективную
плоскость S1 из семи точек.
Докажем это: Проверим выполнение четырех аксиом П1-П4.
Определим () пересечения прямых АВ(CD=N(, BC(AD=M(, АC(BC=P( N(, P(, M( (
одной несобственной прямой.
П1. Через две различные () плоскости можно провести единственную прямую.
Если А,В - собственные (), то через них можно провести только одну прямую
из А. () А,В ( несобственной прямой, поэтому и в S1 через них можно
провести единственную прямую.
Рассмотрим А- собственная () и N(- несобственная (). Через эти точки
проходит единственная прямая, так как () N( определена как пересечение
прямых АВ и CD(N((АВ.
Пусть имеем не собственные точки, через них проходит несобственная прямая
S1 и она единственная.
П2. ( две прямые пересекаются по меньшей мере в одной точке.
Справедливость аксиомы П2 следует из определения S1.
П3. ( три неколлинеарные точки.
Непосредственно следует из построения аффинной плоскости А. А мы
дополнили точками N(, P(, M( (несобственными, которые принадлежат одной
несобственной прямой). И поэтому точки не коллинеарные в А будут
неколлинеарные в S1.
П4. Каждая прямая плоскости А содержит хотя бы две точки. В S1 каждая
прямая содержит несобственную точку. Следовательно прямая в S1 содержит не
менее трех точек.
Все аксиомы проективной плоскости выполняются, следовательно, S1 -
проективная плоскость.
3) Связка прямых евклидова трехмерного пространства - модель проективной
плоскости, построенной на аксиомах П1-П4.
4) Действительная проективная плоскость (множество упорядоченных троек
действительных чисел, одновременно не равных нулю), рассмотренная ранее,
удовлетворяет аксиомам П1-П4.
3.4. Теорема Дезарга.
Одним из важных результатов проективной геометрии является теорема
Дезарга, которая утверждает следующее:
П5 (теорема Дезарга)
Если прямые проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников
пересекаются в одной (), то () пересечения соответственных сторон этих
трехвершинников лежат на одной прямой.
| |  скачать работу |
Различные подходы к определению проективной плоскости |
