Развитие продуктивного мышления на уроках математики
иемов,
обобщение данной задачи — все это дает возможность школьникам учиться на
задаче.
Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые
математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить
определенный опыт, сформировать умения самостоятельно, и творчески
применять полученные знания.
О роли наблюдений и индукции при нахождении способов решения
нестандартных алгебраических задач.
Общеизвестна роль, которая отводится индукции и наблюдениям при
обучении математике учащихся младших классов. Позднее индуктивный метод
уступает место дедуктивному. При этом часто индуктивный способ решения
задачи не проводится, решение выполняется дедуктивным способом. В
результате от учащихся ускользают пути поиска решения задачи, что
отрицательно сказывается на математическом развитии.
К сожалению, как свидетельствуют данные нашего исследования, при
обучении учащихся математике (в частности, при обучении учащихся способам
решения нестандартных задач) наблюдение и индукция (в том числе и полная)
не заняли еще должного места. А между тем учитель должен знать, и по
возможности довести до сознания учащихся тот факт, что математика является
экспериментальной, индуктивной наукой, что наблюдение и индукция играли и
играют большую роль при открытии многих математических фактов. Еще Л. Эйлер
писал, что свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты
путем наблюдения и открыты задолго до того, как их истинность была
подтверждена строгими доказательствами.
Поэтому уже в младших классах школы при обучении математике (да и
другим предметам) надо учить школьников наблюдениям, прививать им навыки
исследовательской творческой работы, которые могут пригодиться в
дальнейшем, какой бы вид деятельности они не избрали после окончания школы.
Этой цели может служить, например, такое задание: «Число 6 представим в
виде суммы всех его делителей, исключая из их состава само это число (6 = 1
+ 2 + 3). Установите, сколько в первых двух десятках натуральных чисел (1,
2, 3, …, 20) существует чисел, равных сумме всех своих делителей (такие
числа называют совершенными)». Учащиеся путем перебора получают ответ. При
этом следует добиваться от них понимания того, что полученный вывод (в
первых двух десятках натуральных чисел содержится одно «совершенное» число
— число 6, ближайшим следующим «совершенным» числом, которое можно
обнаружить путем проб, является 28: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) является
строго (научно) обоснованным, так как примененный метод полной индукции
(так называемый метод перебора) является научным и широко применяется в
математике при доказательстве теорем и решении задач.
Методом полной индукции (рассмотрением всех возможных случаев) может
быть уже в младших классах школы доказана теорема: «В первой сотне
натуральных чисел содержится 25 простых чисел».
Подчеркивая роль дедуктивных доказательств (доказательств в общем
виде), учитель должен обратить внимание учащихся на роль наблюдений и
неполной индукции при «открытии» математических закономерностей, при
нахождении способа решения самых разнообразных математических задач, на
роль полной индукции при обосновании найденных индуктивным путем
закономерностей.
Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:
«Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть
простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел
быть простым числом?»
Прежде, чем решать эту задачу в общем виде, целесообразно на нескольких
частных примерах выяснить, каким числом (простым или составным) могут быть
указанные в задаче суммы. С помощью примеров можно получить гипотезы: а)
сумма пяти последовательных натуральных чисел — число составное; б) сумма
квадратов пяти последовательных натуральных чисел — число составное.
Полученные на примерах (с помощью неполной индукции) гипотезы легко
доказываются в общем виде.
Другая задача: «Может ли разность двух трехзначных чисел, из которых
второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть
квадратом натурального числа?»
На наших занятиях прежде чем решать эту задачу в общем виде, учащийся
должен был на частных примерах, с помощью неполной индукции, получить
предполагаемый ответ (высказать гипотезу): рассматриваемая разность не
может быть равна квадрату какого-либо натурального числа. Дедуктивное
обоснование этой гипотезы, как правило, не вызывает у учащихся затруднений.
Учащиеся должны понимать, что на частных примерах никакого утверждения
доказать нельзя. Частный пример ничего не доказывает в математике, но он
может подвести к правильному выводу.
В отличии от неполной индукции полная индукция имеет доказательную
силу, и ее роль при решении многих алгебраических задач (прежде всего на
делимость), трудно переоценить.
Приведем примеры. Пусть учащимся предложена задача: «Докажите, что
любую сумму большую 7 к., можно уплатить трех- и пятикопеечными монетами не
получая сдачи».
Для решения этой задачи достаточно проверить, что трех- и
пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 +
3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.
Решив таким образом задачу, следует добиться от учащихся ясного
понимания того, что задача решена с помощью полной индукции: все числа
большие 7, разбили на три непересекающихся класса — 8 + 3k, 9 + 3k, 10 +
3k, где k (N, в каждом из которых решение задачи существует.
Можно оформить решение задачи несколько иначе, представив любое
натуральное число п, большее 7, в одном из следующих видов:
п = 3k, где k (N, k ( 3;
п = 3k + 1, где k (N, k ( 3;
п = 3k + 2, где k (N, k ( 2.
Доказав в каждом из трех случаев возможность представления числа п
требуемым образом, решим задачу методом полной индукции.
Для закрепления способа решения задач методом полной индукции полезно
рассматриваемую задачу решить другим способом, разбив натуральные числа не
на 3, а на 5 классов.
Учащиеся должны понимать, что метод полной индукции является научно-
обоснованным методом и им можно пользоваться наряду с другими.
Ясно, что применять метод полной индукции можно лишь тогда, когда число
рассматриваемых в задаче случаев конечно и не слишком далеко. Но иногда
этим методом задачу можно решить много проще, чем другим.
О нахождении способов решения задач.
Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения
задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы.
Однако наши наблюдения показывают, что на уроках, как правило,
рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда
наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде
отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи
различными способами не имеет под собой основы: для математического
развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее
одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на
это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных
способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать
наиболее рациональный, красивый.
При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется
познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются
исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи
учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Учителю,
как нам кажется, важно поощрять поиск различных способов решения задач, а
не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны
стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать
у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи,
позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ
условий задачи являются залогом успешного ее решения.
Особое внимание, на наш взгляд, следует обратить на решение задач
арифметическим способом, так как именно решение задач арифметическим
способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.
Часто учащиеся, ознакомившись со способом решения задач с помощью
уравнения, не обременяют себя глубоким анализом условия задачи, стараются
побыстрее составить уравнение и перейти к его решению. При этом и введение
обозначений, и схема решений, как правило, соответствуют определенному
шаблону.
В этом случае задача учителя — показать учащимся на примерах, что
решение задач по шаблону часто приводит к значительному увеличению объема
работы, а иногда и к усложнению решения, в результате чего увеличивается
возможность появления ошибок. Поэтому учащимся полезно предложить, прежде
чем составлять уравнение для решения задачи, внимательно изучить условие
задачи, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует ее
условию, попытаться решить задачу без использования уравнений,
арифметическим способом.
К сожалению, довольно широко распространено мнение, что решение задач
повышенной трудности арифметическими методами излишне ввиду существования
более сильного метода решения задач с помощью составления уравнения.
Существует и другое мнение, опирающееся на наблюдения за учащимися,
| |  скачать работу |
Развитие продуктивного мышления на уроках математики |
