Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах
ое представление в школьном курсе. В настоящее время этот вопрос
является открытой методической проблемой.
В отличие от дифференциальных функциональные уравнения (неизвестным в
которых, так же как и в дифференциальных, является функция) почти не
представлены в школьном курсе математики. Единичные задания, связанные с
этим классом уравнений, могут быть использованы при рассмотрении
показательной функции, в связи с понятием обратной функции и др.
В качестве последнего примера отметим взаимосвязь линии уравнений с
алгоритмической линией. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений
заключается прежде всего в возможности использования ее понятий для
описания алгоритмов решения уравнений и систем различных классов.
§ 3. Основные понятия линии уравнений
1. О трактовке понятия уравнения.
Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям.
Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и
строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к
овладению школьным курсом алгебры.
Логико-математическое определение уравнения можно привести в такой форме:
пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х —
переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется
предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)—термы относительно заданных
операций, в запись которых входит символ х. Аналогично определяется
уравнение от двух переменных и т. д.
Принятым в логике терминам «терм» и «предикат» соответствуют термины
школьной математики «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому
наиболее близко к приведенному формальному определению следующее
определение: «Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя
выражениями с этой переменной, называется уравнением»
Анализируя приведенное математическое определение уравнения, можно
выделить в нем два компонента. Первый состоит в том, что уравнение — это
особого рода предикат. Второй уточняет, какого именно рода: это равенство,
соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный специальный
вид. При изучении материала, относящегося к линии уравнений и неравенств,
оба компонента играют значительную роль.
Первый — смысловой компонент, важен прежде всего для уяснения понятия
корня уравнения. Кроме того, смысловой компонент почти всегда используется
при обоснованbи корректности того или иного преобразования уравнения.
Второй компонент относится к формальным особенностям записи, изображающей
уравнение. Назовем этот компонент знаковым. Он важен в случаях, когда
запись уравнения подвергается различным преобразованиям: зачастую такие
преобразования производятся чисто механически, без обращения к их смыслу.
Возможность использования в школьном обучении подхода к понятию
уравнения, включающего явно упоминание о предложении с переменной, зависит
от присутствия этого термина и терминов «истина», «ложь» в обязательном
материале курса математики. Если их нет, то привести подобное определение
невозможно. В этом случае смысловой компонент понятия уравнения переходит в
определение другого понятия, тесно связанного с понятием уравнения,— корня
уравнения. Получается система из двух терминов: термин «уравнение» несет в
себе признаки знакового компонента, а термин «корень уравнения» учитывает
смысловой компонент. Такое определение приведено, например, в учебнике
Колмогорова А. Н. "Алгебра и начала анализа"[с. 330]: «Равенство с
переменной называется уравнением. Значение переменной, при котором
равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется
корнем уравнения»..
Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие
уравнения вводится посредством выделения его из алгебраического метода
решения задач. В этом случае независимо от того, каков текст определения,
существенным оказывается подход к понятию уравнения, при котором оно
представляет косвенную форму задания некоторого неизвестного числа,
имеющего в соответствии с сюжетом задачи конкретную интерпретацию.
Например, понятие уравнения вводится на материале текстовой задачи:
«Конверт с новогодней открыткой стоит 17 к. Конверт дешевле открытки на 5
к. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения
осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи
.х+(х-—5)= 17, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме.
С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти
определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой,
называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение
неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство».
Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному
компоненту понятия уравнения — прикладному.
Помимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знакового,
прикладного), в школьной математике большую роль играет компонент, при
котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль
проявляется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в
известных нам учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу
определения уравнения.
Еще один подход к определению понятия уравнения получается при
сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно
множество корней уравнения — собственное подмножество его области
определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится
использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на
равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь
противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу
определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно
превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв,
называется уравнением»
Формирование понятия уравнения требует использования еще одного термина:
«решить уравнение». Различные варианты его определения отличаются друг от
друга, по существу, только наличием или отсутствием в них термина
«множество».
Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использовать
термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При
этом наряду с компонентами понятия уравнения, входящими в текст
определения, надо включать и все другие его компоненты по мере
развертывания материала данной линии.
В определении понятия уравнения используется один из двух терминов:
«переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что
переменная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально,
а неизвестное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа
(поэтому этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по
текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором одного их этих терминов
для использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя считать
окончательно решенными. Выбор того или иного из них влечет определенные
различия в развертывании содержания линии уравнений и неравенств. Так, с
термином «переменная» связана операция подстановки числа вместо буквы,
поэтому в уравнение а(х)=b[х) можно подставлять вместо х конкретные числа и
находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное
число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому
нелогично. Нахождение корней уравнения а{х)=b{х) с этой точки зрения должно
осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают
как верное и пытаются привести его к виду х=х0, где х0 — числовое
выражение.
При описании методики мы будем пользоваться термином «неизвестное»,
который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом решения
текстовых задач и тем самым с прикладной направленностью линии уравнений и
неравенств.
2. Равносильность и логическое следование.
Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения
уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие
равносильности.
Напомним, что уравнения называются равносильными, если равносильны
соответствующие предикаты, т. е. если выполнены условия: области
определения уравнений одинаковы и множества их корней равны. Имеются два
пути установления равносильности уравнений. Первый: используя известные
множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнения
х + 1=х + 2 и x2 + 1=x2 + 2 равносильны, потому что не имеют корней.
Второй: используя особенности записи уравнений, осуществить
последовательный переход от одной записи к другой посредством
преобразований, не нарушающих равносильности.
Очевидно, что для большинства заданий второй путь более характерен.
Это и понятно, ведь равносильность в теории уравнений как раз и
используется для того, чтобы указать конкретные правила для решения
уравнений. Однако в преподавании ограничиваться им нецелесообразно,
поскольку он относится только к практическому применению равносильности и
требует первого для своего обоснования. Вместе с тем усвоение понятия
равносильности как равносильности предикатов требует значительной культуры
мышления и не может быть усвоено на начальных этапах изучения школьного
курса алгебры без специальных значительных усилий.
В отношении формирования понятия равносильности и его применения к
решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы.
К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных
преобразований основано на явном введении и изучении понятия
равносильности; ко второй — те, в которых применение равносильных
преобр
| |  скачать работу |
Самостоятельная работа как средство обучения решению уравнений в 5-9 классах |
