Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Высшая математика, интегралы (шпаргалка)



 Другие рефераты
Волновые уравнения Высшая математика Вычисление интеграла фукции f (x) (методом Симпсона) Вычисление интегралов методом Монте-Карло

Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция [pic]называется равномерно непрерывной на
множестве [pic], если: [pic]. (в отличие от критерия Коши: [pic]).

Пояснение: [pic] Пусть: [pic]. Тогда: [pic] Т.е. функция [pic]не является
равномерно непрерывной на множестве [pic].
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на
нём.
 Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция [pic]определена и ограничена на отрезке [pic], и
если [pic]можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки
разрыва этой функции на [pic]. Причём общая длина этих интервалов меньше
[pic]. То [pic]- интегрируема на [pic].

Замечание: Очевидно, что если [pic]- интегрируема на [pic], а
[pic]отличается от [pic]только в конечном числе точек, то [pic]-
интегрируема на [pic]и [pic].
 
Существование первообразной
Определение 28.9: Пусть [pic]- интегрируема на [pic], [pic], тогда:
[pic]функция [pic]интегрируема на [pic]и функция [pic]называется интегралом
с переменным верхним пределом, аналогично функция [pic]- интеграл с
переменным нижним пределом.
Теорема 28.6: Если функция [pic]- непрерывна на [pic], то у неё существует
на [pic]первообразная, одна из которых равна: [pic], где [pic].

Замечание 1: Из дифференцируемости функции [pic]следует её непрерывность,
т.е. [pic]

Замечание 2: Поскольку [pic]- одна из первообразных [pic], то по
определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:
[pic]. Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть  для  вычисления  интеграла  [pic]от   непрерывной   функции   сделана
подстановка [pic].
Теорема. Если 1. Функция [pic]и ее производная [pic]непрерывны при [pic]
2. множеством значений функции [pic] при [pic]является отрезок [a;b]
3. [pic], то [pic]=[pic].
Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке  [a;b].  Тогда  по
формуле  Ньютона-Лейбница  [pic]=[pic].   Т.к.   [pic],   то   [pic]является
первообразной для функции [pic], [pic]. Поэтому по формуле  Ньютона-Лейбница
имеем
[pic]=[pic][pic].
Формула замены переменной в определенном интеграле.
   1. при вычислении опред.  интег-ла  методом  подстановки  возвращаться  к
      старой переменной не требуется;
   2. часто вместо подстановки [pic]применяют подстановку t=g(x)
   3.  не  следует  забывать  менять  пределы  интегрирования   при   замене
      переменных.
Интегрирование заменой переменной.
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл [pic]. Предположим, что существуют
дифференцируемая функция [pic]и функция [pic]такие, что подынтегральное
выражение [pic]может быть записано в виде:
[pic].
Тогда: [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к вычислению
интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей подстановке
[pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic].
Подстановка: [pic].
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл [pic], где [pic]. Введём новую
переменную формулой: [pic], где функция [pic]дифференцируема на [pic]и
имеет обратную [pic], т.е. отображение [pic]на [pic]- взаимно-однозначное.
Получим: [pic]. Тогда [pic]. Т.е. вычисление интеграла [pic]сводится к
вычислению интеграла [pic](который может оказаться проще) и последующей
подстановке [pic].
Пример: Вычислить [pic].
[pic], откуда: [pic].
Интегрирование по частям. Пусть [pic]- дифференцируемые функции, тогда
справедлива формула: [pic], или короче: [pic]. Эта формула используется в
тех случаях, когда подынтегральное выражение [pic]можно так представить в
виде [pic], что интеграл [pic]вычисляется проще исходного.
Пример: Вычислить [pic].
Положим [pic]. Тогда [pic]. В качестве [pic]выберем первообразную при
[pic]. Получим [pic]. Снова [pic]. Тогда [pic]. Окончательно получим:
[pic].

Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла [pic]методом интегрирования
по частям получается зависимость: [pic]. Откуда можно получить выражение
для первообразной: [pic].

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи:[pic][pic] [pic]
|1). [pic]                    |2). [pic]                        |
|3). [pic]                                                       |


т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1: Пусть [pic], тогда, если: [pic], где [pic], то [pic][pic]Из этой
теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции
необходимо уметь интегрировать следующие функции:
|1. [pic]      |2. [pic]    |3. [pic]     |4. [pic]      |5. [pic]     |
|6. [pic]      |7. [pic]    |8. [pic]     |9. [pic]      |10. [pic].   |


Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
[pic]
Сделав подстановку: [pic], получим: [pic].
тогда [pic]
[pic]
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена [pic]- комплексные, сделав подстановку: [pic],
получим: [pic].
2). Корни многочлена [pic]- действительные: [pic]. Подстановка: [pic],
получаем: [pic].
b). Подстановка: [pic], далее, если:
|1). [pic]подстановка - [pic]      |2). [pic]подстановка - [pic]                 |
|3). [pic]подстановка - [pic]                                                     |


c).
Если [pic]подстановка - [pic]


Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

[pic]
Универсальная подстановка: [pic], тогда: [pic]
[pic]подстановка: [pic]
[pic]или [pic]- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак
дифференциала
Интегрируется по частям



Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция [pic]называется первообразной для функции [pic]на
[pic], если: [pic].
Пусть [pic]и [pic]- первообразные функции [pic]на [pic]. Тогда:   [pic].
Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции [pic]на
[pic]называется объединение всех первообразных [pic]на этом интервале.
Обозначается: [pic].

Замечание 26.1: Если [pic]- одна из первообразных [pic]на [pic], то [pic].

Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из
себя полный дифференциал первообразной [pic]на [pic], т.е. [pic].

Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до
постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции.
Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется
дифференцированием.
[pic], [pic]
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой
функции и производной постоянной:
[pic]
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
[pic], где a[pic]0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций
равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
[pic]
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если[pic], то и [pic], где
u=[pic]- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.



Табличные интегралы



|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |
|[pic]      |[pic]              |



Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1: Множество точек отрезка [pic]таких, что: [pic]называют
разбиением отрезка [pic]. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
[pic]. Мелкостью разбиения [pic](читается – “дельта большое”) назовем
максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. [pic].
Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех [pic]точки [pic].
Интегральной суммой функции [pic]на отрезке [pic]с разбиением [pic]будем
называть сумму (зависящую от разбиения [pic]и выбора точек [pic]) вида:
[pic].
Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции [pic]на отрезке
[pic]назовём такое число [pic], что [pic]. Обозначается: [pic].
Определение 28.4: Функция [pic]называется интегрируемой на отрезке [pic],
если существует конечный предел её интегнральных сумм на [pic].
Обозначается: [pic].
Теорема 28.1: Если [pic]интегрируема на отрезке [pic], то она ограничена на
нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием
интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но
неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция,
была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие: [pic].
Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: [pic].
Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: [pic].
Определение 28.8: Определённым интегралом функции [pic]на [pic]называется
число [pic], равное пределу интегральных сумм [pic]на [pic]. Условие
интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
 
Свойства определённого интеграла
1. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то
[pic], т.е. пост. множитель с можно выносить за знак определенного интег-
ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на
[a;b] их сумма и разность
[pic], [pic]
3. Если [pic], то: [pic]
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a
скачать работу


 Другие рефераты
Империя. Российская империя
MICROSOFT ACCESS
Тәуелсіздіктің 20 жылдығы қарсаңында кем дегенде 20 қаланың байырғы атауын қайтарса… 02.11.2011 aslan
Бағалы қағаздар нарығының объектілері


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ