Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия
Другие рефераты
1. Общетеоретическая часть
Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр
отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным
направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные
нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.
Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:
[pic] (1)
Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда
напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:
[pic] (2)
В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений
[pic]. Но в уравнения равновесия (2) не входит [pic], тем самым этой
функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических
выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2)
существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются
условия:
[pic] (3)
Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же
известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:
[pic] (4)
Введем также еще две функции F(x1,x2) и ((x1,x2), которые называются
функциями напряжений и вводятся следующим образом:
[pic]
Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три
уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и
((x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме
компоненты [pic].
Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так
как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из
которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора
деформаций вводится матрица столбец:
[pic]
Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:
[pic]
а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:
[pic] (5)
где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих
податливостей Dijmn.
Обозначим [pic] как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука
следует, что:
[pic]
а выражение для [pic] будет равно:
[pic]
Теперь введем приведенные коэффициенты деформации[pic], для которых
имеет место выражение:
[pic], где i,j=1..6 (6)
Подставим выражение для [pic] в обобщенный закон Гука, тогда с учетом
приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:
[pic]
Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:
[pic] (7)
Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой
системе величины [pic]- константы, величины [pic] и D зависят от двух
координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат.
Система (7) является системой в частных производных относительно ui и
решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует
проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и
5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:
[pic] (8)
Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:
[pic] (9)
Аналогично с 5-ым уравнением:
[pic] (10)
Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений
Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:
[pic] (11)
[pic] (12)
[pic] (13)
Исходя из того, что:
[pic]
функция D будет иметь вид:
[pic] (14)
Тогда с учетом системы (7) получим:
[pic] (15)
Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания)
получим:
[pic] (16)
[pic] (17)
Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений
через функции F(x1,x2) и ((x1,x2) и группируя получим:
[pic] (18)
где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-
го и 2-го порядков:
[pic]
Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в
частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными
коэффициентами.
Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в
виде:
[pic]
F0 и (0 - общее решение соответствующей однородной системы:
[pic] (19)
F* и (* - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные
решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части
несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.
Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее
(0:
[pic] (20)
В силу симметрии L их можно менять местами:
[pic] (21)
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка
для функции F. Аналогично находим уравнение для (:
[pic] (22)
Оказалось, что F0 и (0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-
го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и
уравнение (21) представить в виде:
[pic] (23)
Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2
для Dk имеем:
[pic] (24)
где [pic] - это корни алгебраического (характеристического) уравнения
шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21).
Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к
последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В
результате получим следующие общие выражения:
[pic]
Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача
упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае
исходя из следующих рассуждений.
Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений
независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого
анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина
положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент
тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно
доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое
уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно
утверждать, что числа [pic]в общем решении системы (19), а также в условиях
связи всегда комплексные или чисто мнимые.
Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных
переменных:
[pic]
Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом
решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела
математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы,
применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют
получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости
анизотропного тела.
2. Прикладная часть
2.1 Физическая постановка задачи.
Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с
эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса
совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на
бесконечности вдоль главных осей.
Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р -
усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2.
Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси
2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и
построить их эпюру.
2.2 Упругие свойства материала.
Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими
характеристиками:
Е1=13,0 ГПа;
Е2=19,8 ГПа;
Е3=7,8 ГПа;
G12=4,05 ГПа;
G13=6,4 ГПа;
G23=3,2 ГПа;
(13=0.25;
(32=0.14;
(12=0.176;
(23=0.06.
2.3 Математическая постановка задачи.
Уравнения равновесия применительно к нашей задаче, когда напряжения
зависят только от двух координат и fi=0, запишутся так:
[pic]
Граничные условия будут иметь следующий вид:
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
