Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия



 Другие рефераты
Задача коммивояжера Задача линейного программирования Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

1. Общетеоретическая часть

    Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр
отверстия примем за начало координат, а  оси  х1,  х2  направим  по  главным
направлениям упругости.  На  пластинку  действуют  некоторые  распределенные
нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей.

    Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом:
                                          [pic]                          (1)

Уравнения равновесия применительно  к  рассматриваемой  задаче,  т.е.  когда
напряжения зависят только от двух координат, запишутся так:

                                            [pic]                        (2)

В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора  напряжений
[pic]. Но в уравнения  равновесия  (2)  не  входит  [pic],  тем  самым  этой
функции определяется особая роль. Для  простоты  последующих  математических
выкладок примем следующие предположения. Пусть  для  f1(x1,x2)  и  f2(x1,x2)
существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2)  для  которой  выполняются
условия:

                                                 [pic]                   (3)
Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же
известная функция. Подставляя (3) в (2) получим:

                                            [pic]                        (4)

Введем также  еще  две  функции  F(x1,x2)  и  ((x1,x2),  которые  называются
функциями напряжений и вводятся следующим образом:

                                    [pic]

Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все  три
уравнения будут равны  нулю.  Теперь  если  мы  найдем  функции  F(x1,x2)  и
((x1,x2), то будут найдены и функции  компонент  тензора  напряжений,  кроме
компоненты [pic].
    Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так
как тензор  модулей  упругости  Сijmn  представляет  собой  матрицу  6х6  из
которых 21 компонента независимая,  то  для  тензора  напряжений  и  тензора
деформаций вводится матрица столбец:
                                    [pic]

Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом:
                                    [pic]

а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука:
                                       [pic]                             (5)
где  aij  -   компоненты  матрицы  независимых  постоянных  тензора  упругих
податливостей Dijmn.
    Обозначим [pic] как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона  Гука
следует, что:
                                    [pic]
а выражение для [pic] будет равно:
                                    [pic]
    Теперь введем приведенные  коэффициенты  деформации[pic],  для  которых
имеет место выражение:
                                       [pic], где i,j=1..6               (6)
Подставим выражение для [pic]  в  обобщенный  закон  Гука,  тогда  с  учетом
приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид:
                                    [pic]
    Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему:
                                                 [pic]                   (7)

Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В  этой
системе величины [pic]- константы,  величины  [pic]  и  D  зависят  от  двух
координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат.
    Система (7) является системой в частных производных относительно  ui  и
решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование  следует
проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3,  4  и
5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим:
                                                       [pic]             (8)

Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим:
                                                        [pic]            (9)
Аналогично с 5-ым уравнением:
                                                   [pic]                (10)
Подставляя полученные перемещения в неиспользованные  соотношения  уравнений
Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим:

                                                 [pic]                  (11)
                                                 [pic]                  (12)
                                                                 [pic]  (13)

Исходя из того, что:
                                    [pic]
функция D будет иметь вид:
                                   [pic]                                (14)
Тогда с учетом системы (7) получим:
                                                       [pic]            (15)

Исключая V1,  U1,  W1  (  путем  дифференцирования,  сложения  и  вычитания)
получим:
                                                 [pic]                  (16)
                                   [pic]                                (17)

Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для  напряжений
через функции F(x1,x2) и ((x1,x2) и группируя получим:
                                                                  [pic] (18)
где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных  4-го,  3-
го и 2-го порядков:
                                    [pic]

Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных  уравнений  в
частных производных.  Уравнения  -  линейные,  неоднородные,  с  постоянными
коэффициентами.
    Общее решение системы (18) для функций напряжения можно  представить  в
виде:
                                    [pic]
F0 и (0 - общее решение соответствующей однородной системы:
                                                [pic]                   (19)
F* и (* - частные  решения  неоднородной  системы  уравнений  (18).  Частные
решения  зависят  от  правых  частей  уравнений  и  если  эти  правые  части
несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно.
    Чтобы получить общее решение однородной системы (19)  исключим  из  нее
(0:
                                                [pic]                   (20)
В силу симметрии L их можно менять местами:
                                           [pic]                        (21)
Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го  порядка
для функции F. Аналогично находим уравнение для (:
                                           [pic]                        (22)
Оказалось, что F0 и (0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-
го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого  порядка  Dk  и
уравнение (21) представить в виде:
                                                    [pic]               (23)
Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и  x2
для Dk имеем:
                                           [pic]                        (24)
где  [pic]  -  это  корни  алгебраического  (характеристического)  уравнения
шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21).


    Интегрирование  линейного  уравнения  6-го  порядка  можно   свести   к
последовательному  интегрированию  шести  уравнений   первого   порядка.   В
результате получим следующие общие выражения:
                                    [pic]
    Если среди корней характеристического уравнения  есть  кратные,  задача
упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено  в  любом  случае
исходя из следующих рассуждений.
    Любые  6  вещественных  чисел  можно  принять   в   качестве   значений
независимых  компонент  тензора   напряжений   в   данной   точке   упругого
анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть  величина
положительная при любых вещественных и не равных  нулю  значениях  компонент
тензора напряжений в  данной  точке.  Исходя  из  этих  предположений  можно
доказать  теорему,  согласно   которой   алгебраическое   характеристическое
уравнение  системы  (21),  не  имеет  вещественных  корней.  Поэтому   можно
утверждать, что числа [pic]в общем решении системы (19), а также в  условиях
связи всегда комплексные или чисто мнимые.
    Наряду  с  комплексными  параметрами  вводят  и   систему   комплексных
переменных:
                                    [pic]
Введение комплексных переменных  позволяет  использовать  при  аналитическом
решении рассматриваемой задачи  об  упругом  равновесии  анизотропного  тела
математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти  методы,
применительно к  данной  задаче  являются  очень  эффективными  и  позволяют
получить  аналитическое  решение  многих  плоских  задач  теории   упругости
анизотропного тела.



                             2. Прикладная часть

    2.1 Физическая постановка задачи.
    Рассмотрим  бесконечную   пластинку   из   ортотропного   материала   с
эллиптическим  отверстием  в  центре.  Направление  главных   осей   эллипса
совпадает  с  главными  осями  упругости  материала,  усилия  приложены   на
бесконечности вдоль главных осей.

    Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b,  р  -
усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса  с=1/2.
Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а  вдоль  оси
2 -  сжимающее  -р.  Наша  задача  найти  напряжения  на  краю  отверстия  и
построить их эпюру.

    2.2 Упругие свойства материала.
    Пластинка  сделана   из   стеклопластика   C-II-32-50   со   следующими
характеристиками:

    Е1=13,0 ГПа;
    Е2=19,8 ГПа;
    Е3=7,8 ГПа;
    G12=4,05 ГПа;
    G13=6,4 ГПа;
    G23=3,2 ГПа;
    (13=0.25;
    (32=0.14;
    (12=0.176;
    (23=0.06.



    2.3 Математическая постановка задачи.
    Уравнения равновесия применительно к  нашей  задаче,  когда  напряжения
зависят только от двух координат и fi=0, запишутся так:

                                    [pic]

Граничные условия будут иметь следующий вид:
                                
12
скачать работу


 Другие рефераты
Третья мировая война
Борис Годунов
Диагностика стратегии предприятия
WINDOWS ортасындағы стандартты программалар


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ