Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля
Другие рефераты
Прямая и окружность
Прямая и окружность - две наиболее простые и вместе с тем наиболее
замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек знаком с прямой и
окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не думает, что ему
хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей. Знает ли он,
например, что если вершины двух треугольников АВС и A'B'C' лежат на трех
прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки М, К.,
L пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А'В', ВС с В'С' и
АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?
[pic]
Рис. 1. Рис. 2.
Читателю, конечно, известно, что точка М, которая движется по
плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных точек F1 и
F2 той же плоскости, т. е. так, что MF1= MF2; описывает прямую (рис. 2).
Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если ее
расстояние до точки F1 будет в определенное число раз превосходить
расстояние до точки F2 (например, вдвое, как на рис. 3). Оказывается, что
этой кривой является окружность. Следовательно, если точка М движется по
плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F1 и F2
плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки:
[pic]
Рис. 3.
MF1 = k MF2,
то М будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности
k равен единице), либо окружность (когда коэффициент пропорциональности
отличен от единицы).
[pic]
Рис. 4.
Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний этой
точки до двух неподвижных точек F1 и F2 остается неизменной. Возьмем нить,
концы ее привяжем к двум булавкам и воткнем эти булавки в лист бумаги,
оставляя сначала нить ненатянутой. Если оттянуть теперь нить с помощью
вертикально поставленного карандаша и затем передвигать карандаш, слегка
придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы нить была натянутой (рис.
4), то острие М карандаша опишет кривую овальной формы (похожую на
сплющенный круг); она называется эллипсом.
Чтобы получить полный эллипс, придется перекинуть нить на другую
сторону от булавок, после того как будет описана одна половина эллипса.
Очевидно, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных проколов
F1 и F2 остаётся неизменной во все время движения; эта сумма равна длине
нити.
[pic]
Рис. 5.
Проколы булавок отмечают на бумаге две точки, называемые фокусами
эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг», «огонь»; оно
оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.
Если изогнуть узкую полоску хорошо отполированного металла по дуге
эллипса и поместить точечный источник света («огонь») в одном фокусе, то
лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и во
втором фокусе будет также виден «огонь» - изображение первого (рис. 5.).
Циклоида
Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней
обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к
доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке
соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37),
называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному
обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM'M''N', если обруч
будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.
[pic]
Рис. 6.
Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную
при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим
на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.
.Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е.
длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на
некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления
изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на
данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться
на одну шестую полного оборота ^так как расстояние между соседними точками
деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел
будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 -
на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 -
на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1, M2, М3 и
т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от
точки касания, радиусом, равным
[pic]
Рис. 7.
1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 - две
засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три засечки и т. д.
Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки
М0, M1, М2, М3, M4, M5, M6
плавной кривой (на глаз).
Кривая кратчайшего спуска
Среди многих замечательных свойств циклоиды отметим одно, из-за
которого она заслужила громко звучащее мудреное название: «брахистохрона».
Это название составлено из двух греческих слов, означающих «кратчайший» и
«время».
Рассмотрим такой вопрос: какую форму следует придать хорошо
отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и В
(рис. 8.), чтобы полированный металлический шарик скатывался по этому
желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На первый взгляд кажется,
что нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как только вдоль него
шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речь идет не о кратчайшем
пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины пути, но
и от скорости, с которой бежит шарик. Если желоб прогнуть вниз, то его
часть, начиная от точки А, будет круче опускаться вниз, чем в случае
прямолинейного желоба, и шарик, падая по
[pic]
Рис. 8.
нему, приобретет скорость большую, чем на участке такой же длины
прямолинейного желоба. Но если сделать начальную часть очень крутой и
сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к точке В, будет очень
пологой и также сравнительно длинной; первую часть шарик пройдет быстро,
вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку
[pic]
Рис. 9.
В. Итак, желобу, по-видимому, нужно придавать вогнутую форму, но
делать выгиб не слишком значительным.
Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642) думал, что желоб
кратчайшего времени нужно выгибать по дуге окружности. Но швейцарские
математики братья Бернулли около трехсот лет тому назад доказали точным
расчетом, что это не так и что желоб нужно выгибать по дуге циклоиды
(опрокинутой вниз, рис. 9.). С тех пор циклоида и заслужила прозвище
брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили, началом новой отрасли
математики - вариационного исчисления. Последнее занимается отысканием вида
кривых, для которых та или иная интересующая нас величина достигает своего
наименьшего (а в некоторых вопросах - наибольшего) значения.
Спираль Архимеда
Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от
центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v
см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две -
120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от
центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол,
содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол
360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое
число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от
начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий
6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt
см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).
[pic]
Рис. 10.
Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в градусах)
и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:
r = (va)/6
Иными словами, r прямо пропорционально a, причем коэффициент
пропорциональности k = v/6.
Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую баночку с черной
краской и допустим, что краска, вытекая через крошечное отверстие,
оставляет на бумаге след от уносимого вместе со стрелкой жучка. Тогда на
бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые изученная Архимедом
(287 - 212 до н.э.). В его честь она называется спиралью Архимеда. Нужно
только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда и
часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII в.), ни
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
