Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля



 Другие рефераты
Задача линейного программирования Задача о бесконечной ортотропной пластинке с эллиптическим отверстием и анализ НДС вблизи отверстия Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности Индексные системы и их логическая основа

Прямая и окружность

      Прямая и окружность - две наиболее простые и  вместе  с  тем  наиболее
замечательные по своим свойствам кривые. Любой человек  знаком  с  прямой  и
окружностью больше, чем с другими кривыми. Но пусть он не  думает,  что  ему
хорошо известны все важнейшие свойства прямых и окружностей.  Знает  ли  он,
например, что если вершины двух треугольников АВС и  A'B'C'  лежат  на  трех
прямых, пересекающихся в одной точке 5 (рис. 1), то тогда три точки  М,  К.,
L пересечения соответственных сторон треугольников АВ с А'В', ВС  с  В'С'  и
АС с А'С' должны находиться на одной и той же прямой?
                                    [pic]

                       Рис. 1.                              Рис. 2.

      Читателю,  конечно,  известно,  что  точка  М,  которая  движется   по
плоскости, оставаясь на равных расстояниях от двух неподвижных  точек  F1  и
F2 той же плоскости, т. е. так, что MF1= MF2;  описывает  прямую  (рис.  2).
Но, вероятно, он затруднится ответить, какую кривую опишет точка М, если  ее
расстояние  до  точки  F1  будет  в  определенное  число  раз   превосходить
расстояние до точки F2 (например, вдвое, как на рис.  3).  Оказывается,  что
этой кривой является окружность. Следовательно, если  точка  М  движется  по
плоскости так, что ее расстояние до одной из двух неподвижных точек F1 и  F2
плоскости будет изменяться пропорционально расстоянию до другой точки:
                                    [pic]

                                   Рис. 3.


                                MF1 = k MF2,

      то М будет описывать либо прямую (когда коэффициент пропорциональности
k равен единице),  либо  окружность  (когда  коэффициент  пропорциональности
отличен от единицы).
                                    [pic]
                                   Рис. 4.
      Рассмотрим кривую, описываемую точкой М так, что сумма расстояний этой
точки до двух неподвижных точек F1 и F2 остается неизменной.  Возьмем  нить,
концы ее привяжем к двум булавкам и  воткнем  эти  булавки  в  лист  бумаги,
оставляя сначала нить ненатянутой.  Если  оттянуть  теперь  нить  с  помощью
вертикально поставленного карандаша и  затем  передвигать  карандаш,  слегка
придавливая его к бумаге и следя за тем, чтобы  нить  была  натянутой  (рис.
4),  то  острие  М  карандаша  опишет  кривую  овальной  формы  (похожую  на
сплющенный круг); она называется эллипсом.
      Чтобы получить полный  эллипс,  придется  перекинуть  нить  на  другую
сторону от булавок, после того как  будет  описана  одна  половина  эллипса.
Очевидно, что сумма расстояний от острия М карандаша до булавочных  проколов
F1 и F2 остаётся неизменной во все время движения;  эта  сумма  равна  длине
нити.

                                    [pic]

                                   Рис. 5.

      Проколы булавок отмечают на  бумаге  две  точки,  называемые  фокусами
эллипса. Слово фокус в переводе с латинского означает «очаг»,  «огонь»;  оно
оправдывается следующим замечательным свойством эллипса.
      Если изогнуть узкую полоску хорошо  отполированного  металла  по  дуге
эллипса и поместить точечный источник света («огонь»)  в  одном  фокусе,  то
лучи света, отразившись от полоски, соберутся в другом фокусе; поэтому и  во
втором фокусе будет также виден «огонь» - изображение первого (рис. 5.).


                                  Циклоида

      Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить  по  ней
обруч или круг (картонный или  деревянный),  прижимая  его  к  линейке  и  к
доске.  Если  прикрепить  к  обручу  или   кругу   кусок   мела   (в   точке
соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис.  37),
называемую  циклоидой  (что  по-гречески  значит  «кругообразная»).   Одному
обороту обруча соответствует  одна  «арка»  циклоиды  MM'M''N',  если  обруч
будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.
                                    [pic]
                                   Рис. 6.
      Чтобы построить на бумаге приближенно одну  арку  циклоиды,  описанную
при качении обруча диаметром, равным, например,  трем  сантиметрам,  отложим
на прямой отрезок, равный 3х3,14 = 9,42 см.
      .Получим отрезок, длина которого равна  длине  обода  обруча,  т.  е.
длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на
некоторое число равных частей, например на 6, и для  каждой  точки  деления
изобразим наш обруч в том его  положении,  когда  он  опирается  именно  на
данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:
                            О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
      Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться
на одну шестую полного оборота ^так как расстояние между  соседними  точками
деления равно шестой части окружности).  Поэтому  если  в  положении  0  мел
будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке  M1  -
на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в  точке  М2  -
на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки  M1,  M2,  М3  и
т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная  от
точки касания, радиусом, равным
                                    [pic]
                                   Рис. 7.
      1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2  -  две
засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 - три  засечки  и  т.  д.
Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки
                         М0, M1, М2, М3, M4, M5, M6
      плавной кривой (на глаз).



                          Кривая кратчайшего спуска

      Среди  многих  замечательных  свойств  циклоиды  отметим  одно,  из-за
которого она заслужила громко звучащее мудреное  название:  «брахистохрона».
Это название составлено из двух греческих слов,  означающих  «кратчайший»  и
«время».
      Рассмотрим  такой  вопрос:  какую   форму   следует   придать   хорошо
отшлифованному металлическому желобу, соединяющему две заданные точки А и  В
(рис. 8.),  чтобы  полированный  металлический  шарик  скатывался  по  этому
желобу из точки А в точку В в кратчайшее время? На  первый  взгляд  кажется,
что нужно остановиться на прямолинейном желобе, так как  только  вдоль  него
шарик пройдет кратчайший путь от А до В. Однако речь идет  не  о  кратчайшем
пути, а о кратчайшем времени; время же зависит не только от длины  пути,  но
и от скорости, с которой бежит шарик.  Если  желоб  прогнуть  вниз,  то  его
часть, начиная от точки  А,  будет  круче  опускаться  вниз,  чем  в  случае
прямолинейного желоба, и шарик, падая по
                                    [pic]
                                   Рис. 8.
нему,  приобретет  скорость  большую,  чем  на  участке   такой   же   длины
прямолинейного желоба. Но  если  сделать  начальную  часть  очень  крутой  и
сравнительно длинной, то тогда часть, примыкающая к  точке  В,  будет  очень
пологой и также сравнительно длинной; первую  часть  шарик  пройдет  быстро,
вторую очень медленно и шарик может запоздать с приходом в точку
                                    [pic]
                                   Рис. 9.
      В. Итак, желобу,  по-видимому,  нужно  придавать  вогнутую  форму,  но
делать выгиб не слишком значительным.
      Итальянский физик и астроном Галилей (1564 - 1642)  думал,  что  желоб
кратчайшего времени  нужно  выгибать  по  дуге  окружности.  Но  швейцарские
математики братья Бернулли около трехсот  лет  тому  назад  доказали  точным
расчетом, что это не так  и  что  желоб  нужно  выгибать  по  дуге  циклоиды
(опрокинутой вниз, рис.  9.).  С  тех  пор  циклоида  и  заслужила  прозвище
брахистохроны, а доказательства Бернулли послужили,  началом  новой  отрасли
математики - вариационного исчисления. Последнее занимается отысканием  вида
кривых, для которых та или иная интересующая нас величина  достигает  своего
наименьшего (а в некоторых вопросах - наибольшего) значения.


                              Спираль Архимеда

      Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от
центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью  v
см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через  две  -
120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка  от
центра будет  равно  vt  см.  За  это  время  стрелка  повернется  на  угол,
содержащий 6 t° (ведь за одну  секунду  она  успевает  повернуться  на  угол
360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата  через  любое
число t секунд после  начала  движения  находится  так.  Нужно  отложить  от
начального положения стрелки в направлении ее вращения  угол  а,  содержащий
6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r  =  vt
см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).
                                    [pic]
                                  Рис. 10.
      Очевидно, что соотношение между углом поворота a стрелки (в  градусах)
и пройденным расстоянием r (в сантиметрах) будет такое:
                                 r = (va)/6
      Иными  словами,  r  прямо  пропорционально   a,   причем   коэффициент
пропорциональности k = v/6.
      Приладим к нашему бегуну маленькую, но неистощимую  баночку  с  черной
краской  и  допустим,  что  краска,  вытекая  через   крошечное   отверстие,
оставляет на бумаге след от уносимого вместе со  стрелкой  жучка.  Тогда  на
бумаге будет постепенно вырисовываться кривая, впервые  изученная  Архимедом
(287 - 212 до н.э.). В его честь она  называется  спиралью  Архимеда.  Нужно
только сказать, что у Архимеда не было речи ни о секундной стрелке (тогда  и
часов с пружиной не было: их изобрели только в XVII  в.),  ни 
123
скачать работу


 Другие рефераты
Культура эпохи Античности
Формальная и неформальные организация
Планирование персонала
География сабағы


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ