 |
|
Атомические разложения функций в пространстве Харди
к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) [pic] ; б) [pic] ; (11) в) для любого (>0 [pic] Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic] Теорема 1. Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic] [pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то [pic]. Доказательство. В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона [pic] . ( 12 ) Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим[pic] [pic][pic] [pic]. Следовательно, [pic][pic]. Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку [pic][pic][pic]. Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства [pic][pic]. Теорема 1 доказана. Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы. ОпределениеI.1. Пусть функция [pic], суммируема на любом интервале (a,b), a 0 [pic] , [pic]. Теорема 2 (Фату). Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда [pic] для п.в. [pic]. Доказательство. Покажем, что для [pic] и [pic] [pic] , ( 13 ) где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x)*). Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку [pic] (К - абсолютная константа). Пусть [pic]- такое число, что [pic]. Тогда для [pic] [pic] [pic][pic][pic] [pic][pic] [pic]. Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора [pic]. Используя его, найдем такую последовательность функций [pic] ,что [pic], [pic] ( 14 ) [pic] для п.в. [pic]. Согласно (13) при x( (-((() [pic] [pic] Учитывая , что по теореме 1 [pic] для каждого x( [-(( (] и (14) из последней оценки получим [pic] при r(1. Теорема 2 доказана. Замечание1. Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x( [-(( (] [pic], когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности [pic] пути. §I.2.Пространства Hp.[pic] Определение I.3. Пространство [pic]- совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма [pic] . (15) Пусть комплекснозначная функция [pic] удовлетворяет условиям [pic] [pic] (16) тогда функция F (z) , определенная равенством [pic] (17) принадлежит пространству [pic], причем [pic] . (18) [pic] [pic]Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства [pic] мы имеем [pic] (() С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=( в силу теоремы 2) [pic] . Отсюда [pic] ((() Учитывая (() и ((() , получим (18). Ниже мы докажем, что любую функцию [pic] [pic] можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется Теорема 3. Пусть комплекснозначная функция ( (t) имеет ограниченную вариацию на [ -(((] и [pic] (19) Тогда ( (t) абсолютно непрерывна на [-(((]. Замечание2. В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации ( (t) . Мы говорим, что ( (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл [pic] определен для каждой непрерывной на [-(((] функции f (t) , а также если [pic] - характеристическая функция замкнутого множества [pic]. Доказательство теоремы 3. Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества [pic], [pic] , [pic] (20) Для этой цели убедимся, что справедлива Лемма 1. Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем [pic] и [pic]. Тогда для всякого [pic] , существует функция [pic] вида [pic] , (21) обладающая свойствами: а) [pic] ; б) [pic] ; (22) в) [pic] . Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1. Пусть [pic] , где [pic] - конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F, и для [pic] [pic]. Очевидно, что [pic]- открытое множество и [pic]. Рассмотрим для данных [pic] функцию [pic], построенную в лемме 1 для числа ( и множества [pic]. Тогда нетрудно проверить[3], что если [pic], а [pic] , то разность [pic]. (23) Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно) [pic] , и мы получаем равенство (20). Перейдем к доказательству леммы 1. Нам понадобится ОпределениеI.4. Средние Фейера - это средние вида [pic] [pic], где [pic], [pic], [pic] - ядро Дирихле, [pic], [pic]- ядро Фейера. Отметим, что при [pic] ядро Фейера обладает следующими свойствами: а) [pic], [pic]; б) [pic], Мз которых вытекает, что для [pic] и [pic] [pic], [pic] Также известно [3], что средние Фейера [pic] равномерно сходятся к [pic]. Пусть f(t) - непрерывная на [-(, (] функция, для которой [pic][pic] и [pic] Так как средние Фейера [pic]равномерно сходятся к [pic] и [pic] , то существует тригонометрический полином [pic] (24) такой, что [pic] (25) Пусть [pic]. Рассмотрим для каждого ((( такую функцию [pic], что [pic], [pic] [pic] (функцию [pic] можно построить следующим образом: взять замкнутое множество [pic] с мерой [pic] , достаточно близкой к 2(, и положить [pic] ). Так как [pic] (здесь число m то же, что в (24)), то для достаточно малых ((( функция [pic] удовлетворяет соотношениям [pic] (26) При этом [pic], если [pic]. Тогда средние Фейера [pic] функции h(t) имеют вид [pic] и при достаточно большом N [pic] (27) Положим [pic] , [pic] (28) Так как h(t) - действительная функция, то [pic] , n=(((((((((. Поэтому [pic] и [pic]. (29) Определим искомую функцию g(t) : [pic] Ясно, что [pic], а из (24) и (28) следует, что [pic] при n<0, т.е. [pic] (30) В силу соотношений (25), (27) и (29) для [pic] [pic] , а для [pic] [pic] . Наконец, для любого [pic] [pic]. Таким образом, функция g(t) обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1 , а вместе с ней и теорема 3 доказаны. Теорема 4. Пусть функция [pic]. Тогда для п.в. [pic] существует предел [pic] (31) При этом 1) [pic] , [pic] , [pic] ; 2) [pic] [pic] ; 3) [pic] [pic]. Доказательство: Нам достаточно доказать, что для каждой функции [pic] найдется функция [pic] такая, что имеет место 1). Действительно, если [pic], то тем более [pic] и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. [pic]. При этом [pic] и по теореме 1 [pic] [pic]. Наконец, из 1) следует, что [pic] а тогда [pic]. Пусть [pic]. Для построения искомой функции [pic] положим [pic], [pic] , [pic]. Функции [pic], [pic], имеют равномерно ограниченную по r вариацию на [pic]: [pic]. Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации [pic] и последовательность [pic] , такие, что [pic] в каждой точке [pic] и [pic] (32) для любой функции [pic]. При этом для n=1,2,... [pic] (мы учли аналитичность функции F(z) в единичном круге) и , следовательно, по теореме 3 [pic] абсолютно непрерывна : существует функция [pic], для которой [pic], [pic] Тогда [pic] , [pic] (33) Зафиксируем число [pic] . Функция [pic], аналитична в круге [pic], поэтому согласно утверждению 1 [pic] , [pic]. В пределе при [pic] из последнего равенства вытекает, что [pic] , [pic] , [pic]. Равенство 1) , а вместе с ним и теорема 4 доказаны. §I.3.Пространства [pic] и [pic]. Обозначим через [pic] [pic] класс тех функций [pic], [pic], которые являются граничными значениями функций из [pic], т.е. представимы в виде [pic] для п.в. [pic], [pic]. В силу пунктов 3) и 2) теоремы 4 [pic] и каждая функция [pic] удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной [pic] с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из [pic]. Следовательно, [pic]. (34) Из (34) вытекает, что [pic](замкнутое) - подпространство пространства [pic], а [pic] - банахово пространство с нормой (15). Пусть [pic]. Положим [pic], [pic], (35) [pic] ОпределениеI.5. Если функция [pic], то сопряженной к ней функцией называется функция [pic], [pic], где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при [pic] интегралов [pic]. В дальнейшем нам понадобится Утверждение2. Для любой функции [pic] сопряженная функция [pic] существует и конечна п.в. на [pic]; при этом а) [pic] , y>0; б) если [pic], [pic], то [pic] и [pic]. Теорема 5. Следующие условия эквивалентны [pic]: а) [pic] ; б) [pic], [pic], [pic], [pic] ; в) [pic] ; г) [pic] , где [pic]- такая действительная функция, что ее сопряженная [pic] также принадлежит пространству [pic]: [pic]. (36) Доказательство: Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34), а эквивалентность условий а) и в) - из теорем 4 и 2. Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :[pic], имеют место равенства [pic], [pic] (37) Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что [pic], [pic], [pic], [pic] [pic]. Следовательно, равенства (37) выполняются, если [pic]- произвольный тригонометрический полином. Пусть [pic] фиксировано. Для произвольной функции [pic] и [pic] положим [pic] , [pic], где [pic], [pic], [pic]. Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера n вытекает из следующих свойств функций [pic] (наличие этих свойств мы установим ниже): 1) [pic], [pic], [pic]; 2) при [pic] функции [pic] , [pic], сходятся по мере к [pic]; 3) [pic] , [pic] , [pic], где С - абсолютная константа. Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) - 3). Легко видеть, что [pic], где [pic], поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций [pic],[pic]: [pic] по мере [pic]. (38) Для произвольного [pic] найдем тригонометрический полином [pic] такой, что [pic], [pic] . (39) Тогда согласно 3) [pic] (40) и при [pic] [pic]. (41) Так как [pic] - полином, то [pic] и [pic] . (42) Учитывая, что [pic], и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим [pic] , [pic], что вместе с (38) доказывает равенство (37). Докажем тепер
| |  скачать работу |
Атомические разложения функций в пространстве Харди |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
