Атомические разложения функций в пространстве Харди
Другие рефераты
Введение. Целью настоящей работы является изучение основных понятий и результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic], [pic] и [pic], раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее в выше перечисленном ряду объектов. Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во второй мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic] и двойственность пространств [pic] и [pic]. В работе мы рассматриваем случай [pic]периодических функций. Используемые обозначения имеют следующий смысл: [pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций; [pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых на [pic]функций; [pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых в степени р на [pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic]; [pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций; [pic]- носитель функции [pic]. В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции [pic] называется функция (r ( x ) = [pic] , где [pic] , t ( ((((((((((- ядро Пуассона. Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы неоднократно будем использовать в ряде доказательств: а) [pic] ; б) [pic] ; в) для любого (>0 [pic] Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении интеграла Пуассона [pic]при [pic]: Теорема 1. Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( , имеет место равенство[pic] [pic] ; если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то [pic]. Теорема 2 (Фату). Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда [pic] для п.в. [pic]. В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям: Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят, что функция [pic]аналитична на некотором множестве,если она аналитична в каждой точке этого множества. Определение2. Действительная функция двух действительных переменных [pic] называется гармонической в области [pic], если [pic] и удовлетворяет уравнению Лапласа: [pic]. Определение3. Две гармонические функции [pic] и [pic], связанные условиями Коши-Римана : [pic], [pic] , называются гармонически сопряженными функциями. Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается [pic] , [pic]. Определение5. Под нормой пространства [pic]понимается [pic] , [pic]. Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]). Модуль непрерывности ( соответственно интегральный модуль непрерывности) функции [pic] определяется равенством [pic], [pic]. ([pic], [pic]). Определение7. Последовательность [pic]функций, определенных на множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции [pic], если [pic] для почти всех [pic], т.е. множество тех точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль. В §I.2 мы рассматриваем пространства [pic] - это совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна норма [pic] . Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде [pic], [pic] , [pic], где [pic] для п.в. [pic] , при этом [pic] [pic] ; [pic] [pic]. Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих определениях: Определение8. Говорят, что действительная функция [pic], заданная на отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая постоянная [pic], что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками [pic] выполнено неравенство [pic]. Определение9. Действительная функция [pic], заданная на отрезке [a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого [pic] найдется число [pic]такое, что какова бы ни была система попарно непересекающихся интервалов [pic], [pic] с суммой длин, меньшей [pic]: [pic], выполняется неравенство [pic]. В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению пространств [pic] и [pic]. Пространство [pic]([pic]) представляет собой совокупность тех функций [pic], [pic], которые являются граничными значениями функций (действительных частей функций) из[pic], т.е. представимы в виде [pic] ([pic]). Здесь мы получаем следующие результаты: при [pic] пространство [pic] совпадает с [pic], а при р=1 [pic] уже, чем [pic], и состоит из функций [pic], для которых и [pic]. В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции [pic], аналитической в круге [pic] с нулями [pic], [pic] ([pic]) с учетом их кратности: [pic], где [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic]. Здесь доказывается, что каждая функция [pic] представима в виде [pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и [pic], [pic],а [pic] - произведение Бляшке функции [pic]. Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции . Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для [pic]положим [pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic]. Тут же мы доказываем теорему об оценке [pic]: если [pic] ([pic]), [pic], то [pic] и [pic]. Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году Харди и Литтлвудом. Во второй главе два параграфа. В §II.1 рассматривается пространство [pic]. Как ранее отмечалось, оно уже, чем [pic]. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству [pic]. Здесь вводится понятие атома: действительная функция [pic] называется атомом, если существует обобщенный интервал [pic] такой, что а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]. Атомом назовем также функцию [pic], [pic]. Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из [pic], либо множество вида[pic] [pic]([pic]). Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция [pic]тогда и только тогда, когда функция [pic] допускает представление в виде [pic], [pic], где [pic], [pic], - атомы. (*) При этом [pic], где inf берется по всем разложениям вида (*) функции [pic], а с и С [pic] - абсолютные константы. Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами. В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству [pic], легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств [pic] и [pic]. Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение [pic]: пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих условию [pic] , (91) где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] . А затем доказываем теорему о том, что [pic]. Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и пространствах [pic], [pic]и [pic] §I.1.Интеграл Пуассона. Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические, комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку [pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic] Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на (-(,(( и cn ( f(g ) = cn ( f )( c-n ( g ) , n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 ) где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции f ( x ) : cn (f)= [pic]-i n tdt , n = 0, (((((((( Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию (r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x , x ((((((((((( . ( 2 ) Так как [pic] для любых x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд [pic] сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций [pic] стремятся к нулю при [pic]), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х( равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это значит, что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic] (r ( x ) = [pic] , ( 3 ) где [pic] , t ( ((((((((((( ( 4 ) Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона . [pic][pic][pic][pic][pic] Следовательно, Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( . ( 5 ) Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = [pic], n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим : fr ( x ) = [pic] =[pic] , ( 6 ) где F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z = reix ) ( 7 ) - аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x ( [ -(, ( ] . При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой v (z) = Im F (z) = [pic] . ( 8 ) Утверждение1. Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z ((((((((( ( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( ) ( 10 ) Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция: [pic] =[pic], ( z ( ( (+ ( . Но тогда коэффициенты Фурье функции [pic] связаны с коэффициентами Фурье функции [pic] следующим образом : [pic] и равенство (10) сразу следует из (2) и (3). Прежде чем перейти
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
