 |
|
Атомические разложения функций в пространстве Харди
из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей дугой окружности [pic], заключенной между точками касания. Теорема 7 утверждает, что [pic], поэтому нам достаточно найти такое разложение функции [pic] на атомы (70), что [pic], (76) где постоянные С и [pic]([pic]) не зависят от [pic]. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число [pic]: пусть, например, [pic]. Не ограничивая общности, мы можем считать, что [pic]. (77) Рассмотрим на отрезке [pic] множества [pic] , [pic] , [pic] (78) Так как при любом [pic] множество точек единичной окружности [pic] открыто, то ясно, что при [pic] множество [pic] (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов: [pic], [pic] при [pic], [pic] , [pic]. (79) Положим [pic] и при [pic] [pic] (80) Так как [pic] конечна для п.в. [pic], то из определения функций [pic], [pic], следует, что для п.в. [pic] [pic] при [pic], а значит, для п.в. [pic] [pic] . Отсюда, учитывая, что [pic], а следовательно из (80), [pic] при [pic], мы находим, что [pic], (81) где [pic]- характеристическая функция множества [pic]. Из (81), учитывая, что [pic], мы для функции [pic] получаем следующее разложение: [pic] для п.в. [pic], (82) где [pic], [pic], [pic] (83) С помощью функций [pic] мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при [pic], [pic] [pic] , [pic] . (84) Докажем теперь, что для п.в. [pic] [pic] , [pic] , (85) где постоянная [pic] зависит только от числа [pic], зафиксированного нами ранее. Так как из (65) и (75') [pic] для п.в.[pic] , то из (77) следует, что [pic]. Пусть теперь [pic], [pic] - один из обобщенных интервалов в представлении (79), тогда из (77) и (78) [pic] , и если [pic], [pic] - концевые точки дуги [pic] ([pic]) , то [pic], а значит, [pic], [pic]. (86) Из неравенств (86) согласно (75') следует, что [pic] при [pic]. (87) Легко видеть (учитывая, что [pic] и [pic]) , что множества [pic] и [pic] пересекаются в одной точке: [pic] с [pic] , [pic]. (88) Пусть [pic], [pic], - отрезок, соединяющий точки [pic] и [pic]. Так как [pic] , [pic], то из непрерывности функции [pic] при [pic]и неравенства (87) вытекает, что [pic], если [pic], [pic], и [pic]. Поэтому , учитывая (88) [pic] , [pic],[pic], [pic]. (89) |Рассмотрим область [pic], |[pic] | |ограниченную | | |отрезками [pic] и [pic] и дугой| | |[pic]; | | |пусть, далее, для [pic] | | |[pic] , | | |[pic], [pic]. | | По теореме Коши [5] [pic]. Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги [pic] справедливо равенство [pic], мы получим [pic]. Но в силу теорем 4 и 5 [pic], [pic], и так как [pic], [pic], то мы находим, что [pic] . (89') Легко видеть, что отношение [pic] ограничено сверху числом, зависящим только от (, поэтому [pic] , [pic]. (90) Так как [pic], то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для [pic], [pic], справедливо неравенство (85). Для п.в. [pic] неравенство (85) сразу следует из определения функций [pic] и множеств [pic]. Пользуясь оценкой (85) , из (83) мы получаем, что [pic], а это значит, что функции [pic] , [pic] , [pic], являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции [pic] на атомы: [pic] для п.в. [pic] , где [pic] , [pic]. Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем [pic][pic]. Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны. §II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic], двойственность [pic] и ВМО. Дадим описание пространства [pic], сопряженного к банахову пространству [pic]. Нам потребуется Определение II.10. Пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих условию [pic] , (91) где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] . Нетрудно убедится, что ВМО является банаховым пространством с нормой [pic] . (92) Ясно, что [pic] . В то же время ВМО содержит и неограниченные функции. Нетрудно проверить, например, что функция [pic]. Теорема 9. [pic], т.е. а) если [pic], и для произвольной функции [pic] рассмотреть ее разложение на атомы (по теореме 8): [pic], [pic] , [pic], [pic] - атомы*) (93) и положить [pic] , (94) то сумма [pic] ряда (94) конечна, не зависит от выбора разложения (93) и задает ограниченный линейный функционал на [pic]; б) произвольный ограниченный линейный функционал [pic] на [pic] представим в виде (94), где [pic]. При этом [pic] (С, С1 - абсолютные постоянные). Лемма 2. Пусть функция [pic] такова, что для любого обобщенного интервала [pic] найдется постоянная [pic], для которой [pic], где М не зависит от [pic]. Тогда [pic] и [pic]. Доказательство. Для любого обобщенного интервала [pic] мы имеем [pic], откуда согласно (91) получаем утверждение Леммы 2. Следствие 2. Если [pic], то [pic] и [pic]. (95) Следствие 2 непосредственно вытекает из леммы 2, если учесть, что [pic] для произвольного обобщенного интервала [pic]. Доказательство теоремы 9. а) Пусть [pic]. Положим [pic] Так как всегда [pic] , то, учитывая равенства [pic], [pic] , [pic] [pic], мы с помощью следствия 2 находим [pic], [pic] (96) Допустим, что [pic] ( по утверждению 2 и (66)). По теореме 8 существует разложение [pic], [pic] , (97) где функции [pic] являются атомами и [pic], и при [pic] [pic], [pic] , [pic]. (98) Из соотношений (96), (97) и (98) вытекает, что при [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic]. Отсюда, учитывая, что функции [pic], [pic], по модулю не превосходят суммируемой функции [pic] и для п.в. [pic] [pic], мы получим, что [pic][pic] . Таким образом, равенством [pic] , [pic], (99) определяется ограниченный линейный функционал на всюду плотном в [pic] линейном многообразии (плотность функций из [pic] в [pic] вытекает из теоремы 8, так как для всякой функции [pic] частные суммы разложения (70) сходятся к [pic] по норме [pic], и, очевидно, принадлежат пространству [pic]). Поэтому функционал [pic] можно единственным образом продолжить на все пространство [pic]: [pic], [pic]. (100) Остается доказать, что для любого разложения вида (93) функции [pic] ряд (94) сходится и его сумма равна [pic]. Последнее сразу следует из (99) и сходимости ряда (93), по норме [pic] к [pic]: [pic]. б) Пусть L - произвольный ограниченный линейный функционал на [pic]. Тогда из теоремы 4.1 и (67) для любой функции [pic] [pic] (С - абсолютная постоянная). Это значит, что L - ограниченный линейный функционал на [pic], а следовательно, найдется функция [pic] с [pic] , (101) для которой [pic] , [pic]. (102) В частности, равенство (102) выполняется, если [pic]- произвольный атом. Докажем, что [pic]. (103) Пусть I - произвольный обобщенный интервал, [pic] - произвольная функция с [pic]. Тогда функция [pic] , [pic] , является атомом и в силу теоремы 8 [pic]. Поэтому [pic] [pic] . Подбирая в последнем неравенстве функцию [pic] оптимальным образом, мы получим, что для любого обобщенного интервала I [pic], что с учетом соотношения [pic][pic] доказывает оценку (103). Таким образом, для [pic] значение функционала [pic] совпадает со значением ограниченного линейного функционала [pic] на элементе [pic] (см. (99) и уже доказанное утверждение а) теоремы 9). Так как пространство [pic] плотно в [pic], то, следовательно, [pic][pic] для любой функции [pic]. Полученное равенство завершает доказательство теоремы 9. Литература 1. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды — М.: Наука, 1984.—495с. 2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа — М.: Наука, 1989. — 623с. 3. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа — М.: Наука, 1988. —815с. 4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды —М.: Гос. издательство физико- математической литературы, 1961. —936с. 5. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций - М.: Наука, 1978. — 415с. 6. Дж.Гарнетт Ограниченные аналитические функции — М.: Мир, 1984. - 469с. 7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа — М.: Наука, 1964.—т.2,—463с. 8. Вартанян Г.М. Аппроксимативные свойства и двойственность некоторых функциональных пространств — Одесса, 1990 —111с. *) Мы считаем , что f (x) = 0 , если (x( ( ( . *) Так как функция [pic] определялась для функций [pic], заданных на [pic], то мы дополнительно полагаем [pic], если [pic]; [pic]при [pic] и [pic] при [pic]. *) В силу условий а) и в) в определении 9 [pic], [pic], поэтому ряд (70) сходится по норме пространства [pic] и п.в. *) Возможен случай, когда [pic] при [pic].
| |  скачать работу |
Атомические разложения функций в пространстве Харди |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
