Атомические разложения функций в пространстве Харди

ь, что для произвольной функции [pic] справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как [pic]. Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное [pic] и представим функцию [pic]в виде [pic], [pic], [pic] . (43) Из непрерывности функции [pic] легко следует, что [pic] равномерно по [pic]. Поэтому при достаточно больших [pic] с учетом (43) мы будем иметь [pic], [pic] (44) Кроме того, в силу 1) и (43) [pic] ; из этого неравенства и (44) вытекает, что при [pic] [pic]. Для доказательства оценки 3) заметим, что [pic], где [pic]. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции [pic]и учитывая, что [pic], получим 3). Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г). Пусть [pic] ([pic],[pic],[pic]) и [pic]. Тогда по теореме 4 [pic], [pic] и надо доказать только, что [pic] для п.в. [pic]. Так как ядро Пуассона - действительная функция, мы можем утверждать, что при [pic] и [pic] [pic], [pic]. С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого [pic], [pic], [pic]. (45) Согласно теореме 1 [pic]. (46) Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости [pic]([pic]) следует сходимость по мере функций [pic] к [pic]. Таким образом, [pic] по мере ([pic]), а потому , учитывая (46), [pic] для п.в. [pic]. Теорема 5 доказана. Следствие 1. а) Если [pic], то [pic]; б) если [pic] и [pic], то [pic]; в) если [pic], [pic], [pic], [pic], то [pic]. (47) Доказательство. Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5. Чтобы получить в), положим [pic], [pic]. Согласно теореме 5 [pic], [pic], а следовательно, [pic]. Но тогда (для п.в. [pic]) [pic], и из определения класса [pic] мы получим, что [pic]. (48) Из (48) непосредственно вытекает равенство (47). Замечание 3. Если [pic], то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство [pic] совпадает с [pic]. Для р=1 это не так. Пространство [pic] уже, чем [pic], и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций [pic], для которых и [pic]. [pic] - банахово пространство с нормой [pic]. (49) Полнота [pic] с нормой (49) следует из утверждения 2 и полноты пространства [pic]: если [pic] при [pic], то [pic], [pic], [pic], и так как [pic]по мере при [pic], то [pic]и [pic] при [pic]. Замечание 4. Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда [pic], [pic], [pic], [pic]. Отметим также, что, взяв в (47) вместо [pic] функцию [pic] и учитывая б), мы получим [pic], если [pic]. (50) §I.4.Произведение Бляшке, нетангенциальная максимальная функция. Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) - [pic] удовлетворяет условию [pic] , [pic], [pic]. (51) Рассмотрим произведение(произведение Бляшке) [pic]. (52) Для фиксированного [pic], [pic], при [pic] имеет место оценка [pic]. (53) Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге [pic], т.е. функция [pic] аналитична в единичном круге и имеет нули в точках [pic], [pic], и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством [pic] ([pic] , [pic]), мы находим [pic] , [pic]. (54) Допустим теперь, что [pic] ([pic]) - нули некоторой функции [pic] с [pic], причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим [pic] , [pic] Функция [pic] ([pic]) аналитична в круге радиуса больше единицы, и [pic], если [pic] . Следовательно, [pic] и согласно п.3 теоремы 4 [pic]. Но тогда [pic] и [pic], [pic] (55) Так как [pic], [pic], то из (55) вытекает сходимость произведения [pic], а значит, и сходимость ряда (51). ОпределениеI.6. Пусть [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic], [pic] ([pic]) - ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic]. Произведение [pic] (56) называется произведением Бляшке функции [pic]. Справедлива Теорема 6. Каждая функция [pic] представима в виде [pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и [pic], [pic], а [pic] - произведение Бляшке функции [pic]. Доказательство. Пусть [pic], [pic] ([pic]) - нули функции [pic] ( или, что то же самое, нули функции [pic]) Тогда, как отмечалось выше, [pic] - аналитическая в круге [pic] функция и [pic] , [pic]. (57) При этом функция [pic] также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и [pic] . Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56): [pic], [pic], [pic]. Так как [pic] для любого [pic], то по теореме 4 [pic] и [pic] , если [pic]. Устремив в последнем неравенстве число m к бесконечности и учитывая, что [pic] ([pic]) равномерно по [pic], мы получим [pic], [pic], т.е. [pic], [pic]. Теорема 6 доказана. ОпределениеI.7. Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic], область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для [pic]положим [pic] , [pic], где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется нетангенциальной максимальной функцией для [pic]. В силу теоремы 2 [pic] для п.в. [pic]. (58) Установим, что для произвольной функции [pic] величина [pic] не превосходит (по порядку) значения максимальной функции [pic]*) в точке х, т.е. [pic], [pic]. (59) Нам понадобится утверждение 3. а) если функция [pic], то для любого [pic] [pic]; б) если функция [pic],[pic] то [pic], где [pic] - постоянная, зависящая только от числа р. Пусть [pic] и [pic]. По определению интеграла Пуассона [pic] Положим [pic]. Тогда будем иметь [pic] и, в силу неравенства [pic], [pic], и периодичности [pic], [pic]. (60) Так как обе функции [pic] и [pic] положительны при [pic] и отрицательны при [pic] ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что [pic], мы получим [pic]. (61) Для [pic] имеют место оценки [pic], [pic]. Следовательно, для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что [pic] при [pic], (62) если [pic]. Пусть [pic], тогда [pic]. В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции [pic], [pic], [pic], (63) где [pic] - постоянная, зависящая только от [pic] . Теорема 7. Пусть [pic] ([pic]), [pic] и [pic] , [pic]. [pic]Тогда [pic] и [pic]. (64) Доказательство. Утверждение теоремы 7 в случае, когда [pic], есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь [pic]. По теореме 6 [pic], где [pic], [pic], если [pic] и [pic]. Из функции [pic] можно извлечь корень: существует функция [pic] такая, что [pic], и, следовательно из (64) при р=2, получим [pic]. Оценка снизу для [pic] вытекает из (58). Теорема 7 доказана. Глава II. Атомические разложения функции в пространстве [pic], пространство ВМО. §II.1.Пространство [pic], критерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic]. Рассмотрим [pic] ([pic]) - пространство функций [pic], являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства [pic]: [pic] для п.в. [pic], [pic]. (65) Ранее мы доказали, что [pic], [pic], (66) и что [pic]- банахово пространство с нормой [pic]; (67) при этом, если в (65) [pic], то [pic] ([pic]) . (68) В замечании 3 уже говорилось о том, что при [pic] пространство [pic] совпадает с пространством [pic] и из утверждения 2 следует, что [pic] ([pic]). Последнее соотношение теряет силу при [pic] - нетрудно проверить, что при [pic] [pic], где [pic] и, следовательно, существует функция [pic], для которой [pic]. Таким образом, [pic] - собственное подпространство в [pic]. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству [pic]. ОпределениеII. 8. Множество [pic] мы будем называть обобщенным интервалом, если [pic] - дуга на единичной окружности, т.е. [pic] - либо интервал из [pic], либо множество вида [pic] ([pic]). (69) Точку [pic] назовем центром обобщенного интервала [pic], если [pic] - центр дуги [pic]. Длиной обобщенного интервала [pic] естественно назвать величину [pic] Определение II.9. Действительную функцию [pic] назовем атомом, если существует обобщенный интервал [pic] такой, что а) [pic]; б) [pic]; в) [pic]. Атомом назовем также функцию [pic], [pic]. Теорема 8. Для того, чтобы выполнялось включение: [pic], необходимо и достаточно, чтобы функция [pic] допускала представление в виде*) [pic], [pic], (70) где [pic], [pic], - атомы. При этом [pic], (71) где inf берется по всем разложениям вида (70) функции [pic], а с и С [pic] - абсолютные константы. Доказательство. Достаточность. Пусть для функции [pic] нашлось разложение вида (70). Покажем, что [pic] и [pic] . Для этого достаточно проверить, что для любого атома [pic] имеет место неравенство [pic]. (72) Пусть [pic]- такой обобщенный интервал, что [pic], [pic] , [pic] (73) (случай [pic] тривиален). Так как [pic] , то нам остается доказать, что [pic]. (74) Для любого измеримого множества [pic], применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2 и соотношениями (73), мы находим [pic], (75) откуда сразу вытекает (74), в случае, когда [pic]. Допустим теперь, что [pic], и обозначим через [pic] обобщенный интервал длины [pic] с тем же центром, что и [pic]. Из (75) следует, что [pic]. Нам остается оценить интеграл [pic]. Мы воспользуемся очевидным неравенством [pic], [pic], где [pic]- длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки [pic] и [pic], а [pic] - абсолютная постоянная. В силу (73) при [pic] мы имеем [pic]где [pic]- центр обобщенного интервала [pic]. Из последнего соотношения, учитывая, что [pic] и [pic], мы находим [pic], [pic], где [pic] . Следовательно, [pic]. Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны. Необходимость. Построим для данной функции [pic] разложение (70), для которого [pic]. Пусть функция [pic] с [pic] такова, что выполнено соотношение (65), и пусть [pic] ([pic]) - нетангенциальная максимальная функция для [pic], т.е. [pic] , [pic], (75') где [pic]- область, ограниченная двумя касательными, проведенными

скачать работу


Погода в Алматы	на 10 дней	другой город

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы

Модератор сайта RESURS.KZ