Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
лой [pic]. При [pic] производной
[pic] не существует.
Пример 2.
[pic][pic]
При [pic] [pic]3, решение [pic],
при [pic] [pic], решение [pic]:
x
При возрастании [pic] каждое решение доходит до прямой [pic]0. Поле
направлений не позволяет решению сойти с прямой [pic]0 ни вверх, ни вниз.
Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция [pic] не
удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нее[pic], а правая часть
уравнения при [pic] равна 1-sign 0=1[pic]0.
Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно
интегральному уравнению
[pic]
В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1),
решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному
уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с
другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
S
Решение x(t) попадающее при [pic] на поверхность разрыва S,
продолжается однозначно на значения [pic] и близкие к [pic]; пересекая S
решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой
решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0).
В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения
приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это
определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как
продолжится решение, попавшее на S (пример 2).
Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое
охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от
расположения линий и поверхностей разрыва.
§2. Определения решения.
Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи
[pic],
(1)
с кусочно-непрерывной функцией f в области G;[pic], [pic], M – множество
(меры нуль) точек разрыва функции f.
Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть
изложены следующим образом. Для каждой точки [pic] области G указывается
множество [pic] в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f
непрерывна, то множество [pic] состоит из одной точки, совпадающей со
значением функции f в этой точке. Если же [pic]-точка разрыва функции f, то
множество [pic] задается тем или иным способом.
Определение2. Решением уравнения (1) называется решение
дифференциального включения
[pic],
(2)
т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале
или отрезке I, для которого почти всюду на I
[pic].
Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется
как функция, у которой производная [pic] может принимать любые значения из
некоторого множества [pic].
Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью.
Функцию [pic] называют многозначной функцией, подчеркивая, что
значение[pic]- множество. Если для всех (t, x) множество[pic] состоит из
единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция [pic]
называется однозначной в точке [pic], если множество F[pic] состоит из
единственной точки.
Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы
является определение А.Ф. Филиппова.
А. Выпуклое доопределение.
Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного
рода, а также к некоторым системам с сухим трением.
Для каждой точки [pic] пусть [pic]- наименьшее выпуклое замкнутое
множество, содержащее все предельные значения вектор-функции[pic], когда
[pic] [pic] Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с
только что построенным [pic]. Т.к. [pic]- множество меры нуль, то при почти
всех [pic] мера сечения множества [pic] плоскостью [pic] равна нулю. При
таких [pic] множество [pic] определено для всех [pic][pic]. В точках
непрерывности функции [pic] множество [pic] состоит из одной точки [pic] и
решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка
[pic][pic] лежит на границах сечений двух или нескольких областей [pic],
…, [pic] плоскостью [pic], то множество [pic] есть отрезок, выпуклый
многоугольник или многогранник с вершинами [pic][pic], [pic], где
[pic][pic]= [pic][pic].
Все точки [pic][pic] ([pic]= 1, … , [pic] содержатся в [pic], но не
обязательно, чтобы все они являлись вершинами.
Определение 3.
Вектор-функция [pic], определенная на интервале [pic] называется
решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти
всех [pic] для любого [pic] вектор [pic] принадлежит наименьшему выпуклому
замкнутому множеству ([pic]-мерного пространства), содержащему все
значения вектор-функции [pic], когда [pic] пробегает почти всю [pic]-
окрестность точки [pic] в пространстве X (при фиксированном [pic]), т.е.
всю окрестность, кроме множества мера нуль.
Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности
разрыва.
Рассмотрим случай, когда функция [pic] разрывна на гладкой поверхности
[pic], задаваемой уравнением [pic]. Поверхность S делит свою окрестность в
пространстве на области [pic]и [pic]. Пусть при [pic] и приближении [pic] к
[pic]из областей [pic] и [pic] функция имеет предельные значения
[pic][pic]
Тогда множество [pic], о котором говорится в доопределении А, есть
отрезок, соединяющий концы векторов [pic] и [pic], проведенных из точки
[pic].
(Если этот отрезок при [pic] лежит по одну сторону от плоскости [pic],
касательной к поверхности [pic] в точке, то решения при этих [pic]
переходят с одной стороны поверхности [pic] на другую:
Рис. 1.
(Если этот отрезок пересекается с плоскостью [pic], то точка
пересечения является концом вектора [pic], определяющего скорость движения
[pic]
(3)
по поверхности [pic] в пространстве [pic]:
Рис. 2.
Причем касательный вектор к S [pic], следовательно [pic]. Это значит,
что функция [pic], удовлетворяющая уравнению (3) в силу доопределения А
считается решением уравнения (1). Разумеется, непрерывная функция [pic],
которая на данной части рассматриваемого интервала времени проходит в
области [pic](или в [pic]) и там удовлетворяет уравнению (1), а на
оставшейся части проходит по поверхности [pic]и удовлетворяет уравнению
(3), также считается решением уравнения (1) в смысле доопределения А.
В уравнение (3) [pic],
[pic] , ( [pic]),
[pic] - проекции векторов [pic] и [pic] на нормаль к поверхности [pic] в
точке [pic] (нормаль направлена в сторону области [pic]).
Вместе с тем множество F(t, x) можно было определить иначе. В качестве)
возьмем произвольное ограниченное выпуклое множество, содержащее отрезок
J:
Рис. 3.
При этом на касательной плоскости появляются векторы, отличные от
[pic]; это приводит к тому, что кроме решения Филиппова появляются и другие
решения.
Т.о. определение (А) А.Ф. Филиппова соответствует минимальному
возможному определению множества F(t, x) среди всех допустимых. Это удобно
в том отношении, что для решения в смысле Филиппова чаще, чем в других
случаях, имеет место единственность решения.
(Если весь отрезок с концами [pic] и [pic] лежит на плоскости P, то
скорость движения [pic] по поверхности разрыва S определяется неоднозначно.
При [pic], [pic]имеет место скользящий режим, о котором шла речь во
введение. Пусть уравнение идеального скольжения имеет вид (3). Вычисляя
[pic] для [pic] из условия [pic], находим уравнение
[pic], (4)
с помощью котрого и доопределяется движение в скользящем режиме
(начальные условия для (4) выбираются на поверхности разрыва, т. е.
S(x(0))=0).
Пример 3.
Решить систему
[pic]
Всякое решение этой системы рано или поздно попадает на прямую [pic]и
уже не может сойти с нее. Если точка М лежит на оси [pic], то в окрестности
этой точки вектор [pic], компоненты которого - правые части системы,
принимает два значения: [pic]при [pic], [pic](6,-2) при [pic]. Отложим из
точки М эти два вектора и соединим их концы отрезком АВ:
Этот отрезок и будет искомым множеством, в котором, согласно определению 3,
лежит конец вектора [pic] для точки М. В то же время вектор скорости [pic]
должен лежать на оси [pic]. Т.к. решение не может сойти с нее ни вверх, ни
вниз, следовательно, конец вектора лежит в точке пересечения отрезка АВ и
оси [pic]. Т.о., этот вектор определяется однозначно. Легко подсчитать, что
[pic]
Т.о., связь теорий уравнений (1) с разрывной правой частью с теорией
диф. Включений (2) очевидна. Имея уравнение (1) с разрывной f(t, x)
необходимо заменить значение [pic] в точке разрыва [pic] некоторым
множеством. Это множество должно быть ограниченным, выпуклым, замкнутым.
Кроме этого оно должно включать все предельные
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью |
