Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
значения [pic]при (t,
x)[pic]. После такой замены (для любой точки разрыва) вместо (1) получаем
диф. включение (2), в котором многозначная функция[pic] удовлетворяет
перечисленным требованиям.
Однако, в некоторых случаях множество [pic] в (2) в точках разрыва
функции [pic] нельзя определить, зная только значения функции [pic] в
точках ее непрерывности.
Пример 4.
В механической системе с сухим трением:
[pic],
[pic]масса тела, [pic]его отклонение, [pic]упругая сила, [pic]сила
трения, являющаяся нечетной и разрывной при [pic]=0 функцией скорости
[pic], [pic]-внешняя сила. Трение покоя [pic] может принимать любые
значения между своим наибольшим и наименьшим значениями [pic] и -[pic].
Если [pic]=[pic][pic], то применимо доопределение [pic]. Если же
[pic]>[pic][pic], то движение с нулевой начальной скоростью зависит не
только от значений функции в областях ее непрерывности, но и от величины
[pic]. Доопределение А тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно
записать в виде включения (2). Множество [pic] при [pic]– точка, а при v=0
– отрезок, длина которого зависит от [pic].
Следовательно, множество [pic] не всегда определяется предельными
значениями функции [pic]из (1), и в общем случае это множество надо
задавать, используя какие-то сведения о рассматриваемой системе.
Необходимость охватить такие системы приводит к следующему способу
построения множества F(t,x).
Рассмотрим систему
[pic],
(6)
где [pic], вектор-функция [pic] непрерывна по совокупности
аргументов, а скалярные или векторные функции [pic] разрывны соответсвенно
на множествах [pic], i=1,…,r, которые могут иметь общие точки и даже
совпадать. В каждой точке (t, x) разрыва функции [pic]задается замкнутое
множество [pic]- множество возможных значений аргумента [pic] функции
[pic]. Предполагается, что при [pic] аргументы [pic]и [pic]могут независимо
друг от друга пробегать соответственно множества [pic]и [pic]. Обычно, это
условие выполнено, если функции [pic]и [pic] описывают различные
независимые составные части (блоки) физической системы. В точках, где
функция [pic] непрерывна, множество [pic] состоит из одной точки [pic]. В
точках, разрыва функции [pic] необходимо, чтобы множество [pic] содержало
все точки, предельные для точек любой из последовательностей вида [pic],
где [pic] k=1,2,…(или [pic], где [pic][pic] k=1,2,…). Потребуем, чтобы
множество [pic] было выпуклым (если [pic] - скалярная функция, то [pic]-
отрезок или точка).
Пусть
[pic] (7)
множество значений функции [pic], когда t, x постоянны, а [pic]
независимо друг от друга пробегают соответственно множества [pic].
Определение 4.
Решением диф. уравн. (6) называют решение диф. включения (2), где
[pic](или [pic], где [pic]- наименьшее выпуклое множество, содержащее
множество [pic]).
Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) является
как доопределение А, так и изложенные ниже Б и В.
Б. Доопределение методом эквивалентного уравнения
(управления).
Применяется к уравнениям вида (6), где f – непрерывная вектор-функция,
[pic] - скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности
[pic]1,…, r. Допускоются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.
В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким
поверхноостям, например [pic],…, Sm ([pic], полагают (если решение не
может сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)
[pic], (8)
где эквивалентные управления [pic] определяются так, чтобы вектор
[pic] в (8) касался поверхностей [pic],…, Sm и чтобы значение
[pic]содержалось в отрезке с концами [pic], где [pic] – предельные значения
функции [pic] с обеих сторон поверхности [pic], i=1,…, m. Т.о., функции
[pic] определяются из системы уравнений
[pic].
Определение 5.
Решением (6) называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая
вне поверхностей [pic] удовлетворяет уравнению (6), а на этих поверхностях
и их пересечениях – уравнениям вида (8) (при почти всех t ).
Например, в случае [pic] конец вектора [pic] лежит на пересечении
касательной к S в точке x с дугой abc , которую пробегает конец вектора
f(t,x,u), когда u изменяется от [pic]до [pic]:
Рис. 4.
С геометрической точки зрения, метод эквивалентного управления
предполаглет замену разрывного управления на границе разрыва, где оно не
определено, ненпрерывным управлением, которое направляет вектор скорости в
пространстве состояний системы вдоль пересечения поверхностей разрыва.
Например, в системе c одной поверхностью разрыва [pic] для нахождения этого
вектора в некоторой точке (t, x) нужно построить годограф f(t, x, u),
изменяя скалярное управление от [pic], и найти точку его пересечения с
касательной плоскостью. Точка пересечения определяет [pic] диф. уравнения
(8) (для r=1 (8) примет вид [pic][pic]).
Уравнение (6), доопределенное указаным образом, сводится к диф.
включению [pic]. Множество [pic] определено в (7), где [pic] – отрезок с
концами [pic] и [pic]; для тех [pic], которые непрерывны в точке (t,x),
[pic] является точкой [pic].
Правая часть (8) есть вектор с концом в точке пересечения множества
[pic]с касательной к пересечению поверхностей [pic],…, Sm. На рис. 4
множество [pic] – дуга abc, а правая часть (8) – вектор xb.
Доопределение А было обосновано лишь для скалярного случая (u -
скалярная функция) и лишь с помощью предельных переходов для частных
случаев неидеальностей, доопределение Б применимо и в случае векторной
разрывной динамической системы (т.е. управляющее воздействия приложены к
различным точкам объекта и управление u является векторной величиной ),
описываемой уравнениями
[pic]
(9)
x,f - n-мерные векторы-столбцы, [pic] - координаты системы, [pic]-
непрерывные функции по всем аргументам ([pic]), u - m-мерный вектор-
столбец, каждая компонента которого [pic] претерпевает разрывы на
поверхности [pic]:
[pic]
i=1, …, m, [pic], [pic] ([pic]),[pic] - непрерывные функции. Если
положить [pic], то [pic].
Для доопределения уравнений идеального скольжения используют метод
эквивалентного управления [7]: в уравнение модели (9) вместо [pic]
подставить [pic], которые являются решениями уравнения
[pic],
где строки матрицы G={[pic]} размерности [pic] являются градиентами
функций [pic]. Очевидно, что при начальном значении [pic] в силу условия
(10) дальнейшее движение будет происходить по траекториям, лежащим на
многообразии S(x)=0.
Пример 5.
Получить уравнение скольжения для разрывной системы:
[pic]
В любой точке прямой разрыва S=0 (т.е. при [pic]) выполняются условия
возникновения скользящего режима [pic], а уравнение метода эквивалентного
управления (10) имеет вид:
[pic].
Найдем эквивалентное управление из уравнения [pic], откуда [pic],
подставим его в первое уравнение системы (учитывая [pic]):
[pic]
Замечание.
Метод Филиппова, примененный к рассматриваемой системе, согласно (4)
приводит к уравнению [pic] движения по прямой S=0.
В. Общее дополнение.
Оно применяется к уравнениям вида (6), где функция f непрерывна по t,x,
[pic], а каждая из функций [pic] разрывна только на поверхности [pic],
i=1,…, r.
Пусть [pic]и [pic] те же, что в Б, а [pic] – наименьшее выпуклое
замкнутое множество, содержащее множество [pic].
Определение 6.
Решением уравнения (6) называется решение включения
[pic]
(10)
Движение по поверхности разрыва S (S(x)=0) может происходить только со
скоростью [pic], где K(t,x)– пересечение множества с плоскостью,
касательной к S в точке x. На рис. 4 множество [pic]- наименьшее выпуклое
замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной
плоскости, то множество [pic] – сегмент между этой дугой и ее хордой,
заштрихованный на рисунке, а K(t,x) – отрезок, являющийся пересечением
этого сегмента с касательной к S в точке x.
Если функция f нелинейна по [pic], то, вообще говоря, множество K(t,
x) содержит более одной точки и скорость движения по S определяется
неоднозначно.
Сравнение определений.
Сравним определения А, Б, В.
Уравнение (6) можно записать в виде (1) и применить к нему определение
А. Т.к. при этом множнство [pic] содержит множества [pic] и [pic] из (2) и
(7), то каждое решение в смысле определения А и каждое решение в смысле
определения Б являются так же решением в смысле определения В. Обратно,
вообще говоря, неверно: на рис. 4 множество F – хорда ac, [pic] - дуга abc,
[pic]- заштрихованный сегме
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью |
