Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
нт.
Если же функция f линейна по [pic], то [pic] и определения Б и В
совпадают. Если, кроме того, все поверхности [pic] различны и в точках их
пересечения векторы нормалей линейно независимы, то множества F, [pic]и
[pic]совпадают, тогда совпадают и все три определения А, Б, В.
Глава III
Исследование устойчивости для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями.
§1.Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова.
Теория устойчивости создана в 90-х годах 19 в. А.М. Ляпуновым (в 1892
г. появилась знаменитая докторская диссертация “Общая задача об
устойчивости движения”). Эта теория нашла широкое применение не только в
математике, механике, технике, но и в химии, термодинамике, синергетике.
Очень бльшую роль играет решение прроблемы устойчивости движения в небесной
механике. На теории Ляпунова базируется современная наука о полете
искусственных спутников Земли.
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости решений диф.
уравнений с непрерывной правой частью приводится, например, в [4]. Теория
устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов
на движение матариальной системы (под возмущающим фвкторами понимают силы,
не учитываемые при написании движения вследствие их малости по сравнению с
основными силами); устойчивость по Ляпунову – это близость законов
изменения состояния во времени для невозмущенного и возмущенного движений.
Сводя вопрос устойчивости невозмущенного движения к вопросу устойчивости
положения равновесия, А.М. Ляпунов связывал факт устойчивости или
неустойчивости с наличием функции V(t, x) – функции Ляпунова, производная
которой по времени, взятая согласно системе диф. уравнений, обладает
определенными свойствами. Метод функций Ляпунова является одним из наиболее
эффективных методов исследования систем автоматического управления.
Значение этого метода далеко не исчкрпывается возможностью установления
факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Но в данной
работе ограничимся только этим.
Метод функций Ляпунова переносится и на случай разрывной правой части
системы
[pic].
(1)
Как было показано в первой главе, уравнения (1) сводятся к диф.
включениям
[pic]
(2)
Для диф. включений имеются два типа устойчивости: устойчивость и слабая
устойчивость.
Определение 1.
Решение [pic] дифференциального включения (2) называется устойчивым
(соответственно слабо устойчивым), если для каждого [pic] существует такое
[pic], что для каждого такого [pic], что [pic], каждое решение
(соответственно некоторое решение) [pic] с начальным условием [pic] при
[pic] существует и удовлетворяет неравенству
[pic] ([pic]).
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость
определяются аналогично, но с дополнительным условием [pic]
Пример 1.
[pic]([pic]). Решение [pic]асимптотически устойчиво. При [pic] любое
другое решение достигает положения равновесия x=0 за конечное время, а при
[pic] за бесконечное время.
Пример 2.
[pic], F(x) – отрезок с концами kx и mx. [pic]- решение. Для других
решений имеем
[pic]
При [pic] асимптотически устойчиво,
при [pic] устойчиво,
при [pic] слабо асимптотически устойчиво,
при [pic] неустойчиво.
Для диф. уравнений с непрерывной правой частью известны теоремы
Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости [4]. В работе
[17] сформулированы подобные теоремы для разрывных систем (1). Но для
таких уравнений функция Ляпунова V(t,x) может не принадлежать [pic].
Для функции [pic] (т.е. имеются непрерывные производныепервого порядка)
определяются верхняя и нижняя производные в силу диф. включения (2):
[pic]
При почти всех t производная [pic]существует и удовлетворяет включению
(2). При этих t существует
[pic] (3)
Теорема 1.
Пусть в замкнутой области D ([pic]) для всех [pic] - непустое,
ограниченное, замкнутое, выпуклое множество и функция [pic]-непрерывна по
t, x; [pic] и существуют функции [pic], для которых[pic].
Тогда:
1) Если [pic] в D, то решение [pic] включения (2) устойчиво.
2) Если, кроме того, существуют функции [pic] [pic] причем [pic],
[pic], ([pic]),[pic], то решение [pic] асимптотически устойчиво.
Известные доказательства этих утверждений для диф. уравнений [4]
остаются справедливыми и для диф. включений; при этом для оценки сверху
функции V(t, x(t)) используют соотношение (3).
Теорема 2.
Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой [pic], то решение [pic]
слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в случае 2).
Доказательство теоремы 2 приведено в [17].
Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова [pic], но
удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой точки области D. Тогда
для любой абсолютно непрерывной функции x(t), значит и для любого решения,
сложная функция V(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду имеет
производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка
времени идти по линии или поверхности, на которой grad V не существует, и
производную dV/dt, нельзя, как в случае [pic], представить в виде
[pic]
Для [pic]:
[pic].
(4)
В случае функции V(t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и
нижнюю производные [pic] от функции V в силу включения (2) можно
определить как sup и inf правой части (4) по всем [pic]. Тогда теоремы 1и 2
сохраняются.
Пример 3.
Если [pic], то нельзя пренебрегать отысканием dV/dt на линиях
поверхностях разрыва функции f(t, x) даже в случае доопределения А.
[pic]
[pic]
Но этого недостаточно для применения теоремы 1, т.к. производные [pic]
разрывны на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы.
На оси Ox при доопределении А:
[pic]
[pic], и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается
по формуле (4) при h=0:
[pic].
Т.к. на оси Ox имеем [pic], то решения по оси удаляются от точки (0, 0)
со скоростью 1 и решение [pic] неустойчиво
§2. Некоторые сведения теории дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
При математическом описании эволюции процессов с кратковременными
возмущениями часто длительностью возмущения пренебрегают и считают, что эти
возмущения носят “мгновенный” характер. Такая идеализация приводит к
необходимости исследовать динамические системы с разрывными траекториями
или, как их еще называют, диф. уравн. С импульсным воздействием.
Определение таких систем приведено [12], они задаются
а) системой диф. уравн.
[pic]
(5)
б) некоторым множествам Ft, заданным в расширенном фазовом
пространстве,
в) оператором At, заданным на множестве Ft и отображающем его на
множество [pic].
Сам процесс происходит следующим образом: изображающая точка [pic],
выйдя из точки (t0, x0), движется по кривой {t, x(t)}, определяемой
решением x(t) = x(t, t0, x0) системы уравнений (1). Движение по этой кривой
осуществляется до момента времени t = t1 > t0, в который точка (t, x(t)),
встречается с множеством Ft (попадает в точку множества Ft). В момент
времени t = t1 точка Pt “мгновенно” перебрасывается оператором At из
положения [pic] в положение [pic]и движется дальше по кривой {t, x(t)},
которая описывается решением [pic] системы уравнений (1). Движение по
указанной кривой происходит до момента времени t2 > t1, в которой точка Pt
снова встречается с множеством Ft. В этот момент под действием оператора At
точка Pt мгновенно перескакивает из положения [pic] в [pic]и движется
дальше по кривой {t, x(t)}, описываемой решением [pic] системы уравнений
(1), до новой встречи с множеством Ft и т.д.
Совокупность соотношений а) – в) называют системой диф. уравнений с
импульсным воздействием.
Кривую {t, x(t)} описываемую точкой Pt называют интегральной кривой,
а функцию x = x(t), которая задает эту кривую – решением системы (1).
Систему диф. уравнений с импульсным воздействием (совокупность
соотношений а)- в)) можно записать в более компактной форме:
[pic]
(6)
Т.о., решение системы уравнений (2) [pic] - это функция,
удовлетворяющая уравнению (5) вне множества Ft и имеющая разрывы первого
рода в точках Ft со скачками
[pic]
[pic] - состояние системы до и после скачка в момент времени t1.
В зависимости от характера импульсного воздействия выделяют несколько
видов таких уравнений. Рассмотрим систему с нефиксированными моментами
импульсного воздействия, т.е. системы, подвергающиеся импульсному
воздействию в момент попадания изображающей точки Pt на заданные
поверхности [pic] расширенного фазового пространства. Тогда система (6)
примет вид:
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью |
