Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
[pic]
(7)
Устойчивость в системах с нефиксированными моментами
импульсного воздействия.
Определение 2.
Решение x(t) системы уравнений (7), определенное при всех t?t0,
называется устойчивым по Ляпунову, если для произвольных чисел [pic] и
[pic] существует такое число [pic], что для любого другого решения y(t)
уравнений (7) из того [pic], что следует, что[pic] при всех t?t0 таких, что
[pic], где [pic] – моменты пересечения интегральной кривой решения x(t)
поверхностей [pic].
Определение 3.
Решение x(t) системы уравнений (7) называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво в определенном выше смысле и если можно
указать такое число [pic], что для любого другого решения этой системы
уравнений, удовлетворяющего неравенству [pic] имеет место предельное
равенство: [pic].
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения уравнения (7), как
и в случае обыкновенных диф. уравнений, можно свести к вопросу исследования
устойчивости тривиального решения некоторой новой системы уравнений с
импульсным воздействием. Эта процедура описана в [12], в результате которой
получим систему диф. уравн. с импульсным воздействием:
[pic]
(8)
где [pic] т.е. решение x=x(t) системы (7) перешло в положение
равновесия системы (8).
Вопрос устойчивости нулевого решения системы (8) можно решить с помощью
прямого метода Ляпунова (метод функций Ляпунова).
Теорема 3.
Если существует положительно-определенная функция, удовлетворяющая в
некоторой области D неравенствами
[pic] (9)
то тривиальное решение системы уравнений (8) устойчиво.
Если же вместо второго из неравенств (9) потребовать, чтобы выполнялось
неравенство
[pic]
для всех [pic]- непрерывная при [pic] функция, [pic], то нулевое
решение уравнений (8) асимптотически устойчиво.
Пример 4.
Исследовать вопрос устойчивости нижнего положения маятника,
подверженного импульсному воздействию, динамика которого описывается
уравнениями:
[pic],
[pic]
В качестве функции Ляпунова возьмем полную механическую энергию
невозмущенного маятника [pic] находим
[pic].
Независимо от свойств поверхностей [pic] выполняются условия теоремы
(3), следовательно, нулевое решение исходной системы уравнений устойчиво.
§3. Связь рассматриваемых теорий.
Теория систем с разрывной правой частью может быть сведена к теории
диф. уравнений с импульсными возмущениями, а именно к системам с
нефиксированными моментами импульсного воздействия, определение которых
было дано в §2.
Пусть задана система
[pic]
(10)
где функция f(t, x) претерпевает разрыв на поверхности S: S(t, x)=0.
Тогда множества [pic], фигурирующие в определении импульсной системы, для
системы (10) примут вид:
[pic]
где оператор [pic] действует по закону
[pic]
Если S(t, x)=0 разрешимо относительно t: [pic], то систему (10) можно
записать в виде:
[pic] (11)
Второе уравнение системы (11) дает возможность решению уравнения (10)
сойти с поверхности разрыва. Т.о., диф. уравнения с разрывной правой частью
можно подвергнуть импульсному воздействию в момент прохождения изображающей
точки поверхности разрыва.
Решение X(t) системы (10), сведенной к системе (11) будет строиться
следующим образом. Пусть задано начальное условие [pic]. Тогда для [pic]
функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии [pic] Для [pic]
функция X(t) совпадает с решением системы (10) при условии [pic]; для [pic]
– с решением системы (10) при условии [pic] и т.д. Каждое решение x(t)
будет представлять собой непрерывную функцию.
Но указанный способ построения решения системы (10) не позволяет
доопределить f(t, x) на поверхности разрыва (как при доопределениях А, Б,
В), так как осуществляется перескок [pic]через поверхность [pic]. В этом
случае система (10) сводится к диф. включению
[pic]
(12)
где М – множество точек пересечения интегральной кривой поверхностей
разрыва [pic] в моменты [pic].
Тогда решение x(t) ([pic]) диф. включения (12) устойчиво по Ляпунову,
если для произвольных чисел [pic] существует такое число [pic], что для
любого другого решения [pic] включения (12) из того, что [pic]следует, что
[pic] при всех [pic] таких, что [pic], где [pic] – моменты пересечения
интегральной кривой решения x(t) поверхностей [pic].
Теорема 4. Достаточное условие отсутствия биения решений.
Пусть при [pic] функции [pic]2, 3,… непрерывны, а функции [pic]
удовлетворяют условию Липшица, т.е.
[pic] при всех i=1, 2, …, [pic],
и неравенству
[pic].
Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая любого решения
системы уравнений (8) x(t) , определенного при всех [pic] и лежащего в
области
[pic],
пересекает каждую поверхность [pic] только один раз.
Доказательство этой теоремы приведено в [12].
Теорема 5.
Если решение x(t) включения (12), определенное при всех [pic]
устойчиво по Ляпунову, то оно является устойчивым и для системы (8). Верно
и обратное.
Доказательство.
Пусть выполнены условия теоремы 4, т.е. исключим случай биения решения
уравнения (8) о поверхности [pic].
Решение x(t)=0 включения (12) устойчиво. Докажем, что оно будет
устойчивым и для системы (8).
Для диф. включения (12) существует определенно-положительная функция
V(t, x), удовлетворяющая неравенству
[pic].
При почти всех t производная [pic]существует и удовлетворяет включению
(12). При этих t существует и
[pic],
т.е. выполнено первое неравенство теоремы 3.
Т.к. [pic] где M – множество точек пересечения интегральной кривой
поверхностей разрыва [pic] в моменты [pic], то указанная функция V(t, x) ,
будет удовлетворять и второму неравенству :
[pic].
Т.о., выполнены условия теоремы 3 и решение x(t)=0 системы (8)
устойчиво.
Обратно доказывается аналогично.
Заключение.
В связи с теорией релейных систем, систем с переменной стуктурой,
реализацией законов оптимального управления и иных разрывных систем
управления изучается общая теория разрывных систем. Эта теория восходит к
задачам механики, где впервые изучались системы с сухим трением в трудах П.
Пенлеве (1895 г. “Лекции о трении”) и Аппеля П.
В теории систем с разрывной правой частью учитываются как инженерно-
физические, так и чисто математические соображения. Эта теория обеспечивает
возможность математического исследования указанных систем, т. е. включает
стандартные теоремы существования решений, их проджолжимости, теоремы
качественной теории. Во второй главе приведено определение решения
разрывных систем А.Ф. Филиппова. Как было отмечено, это определение
соответствует минимальному возможному построению множества F(t, x) среди
всех допустимых. Помимо определения Филиппова имеются и другие определения
решений разрывных систем и диф. включений: Айзермана и Пятницкого [1]
Викторовского [6], Матросова [8].
Теория систем с разрывными правыми частями основывается на теории
дифференциальных включений, развитой Маршо и Зарембой (1934 г.), затем
дополненной многочисленными авторами, в частности Важевским (1961 г.) и др.
Связь этих теорий указана в §2 главы II. В третьей главе эти системы
сводятся к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Сформулирована и доказана теорема об устойчивости таких систем.
Литература.
1. Айзерман М. А., Пятницкий Е. С. Основы теории разрывных систем I, II. –
Автоматика и телемеханика, 1974, № 7, 33-47, № 8, 39-61.
2. Алимов Ю. И. Об устойчивости в целом равновесного состояния нелинейных
систем автоматического регулирования. – Известия вузов, Радиофизика,
1959, 2, № 6.
3. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин Р.Э. Теория колебаний. – М.:
Физматгиз, 1959.
4. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. – М.: Наука, 1967.
5. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. Ктеории релейных дифференциальных уравнений.
– Известия вузов, сер. матем., 1962, № 1, 3-13.
6. Викторовский Е.Е. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для
разрывного поля направлений. – Математический сборник, 1954, 34, № 2,
213-248.
7. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с
неединственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978.
8. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными
правыми частями I, II. – Диф. уравн.,1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-
878.
9. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коледаний. –
М.: Наука, 1972.
10. Неймарк Ю.И. о скользящем режиме релейных систем автоматического
регулирования. – Автоматика и телемеханика, 1957, 18, № 1.
11. Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах.
– Диф. ур
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью |
