Дифференцированные уравнения
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(()=20lg A(()
L(()=20lgk
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим
их численные значения.
k=2
A(()=2
((()=0,1(
L(()=20lg2
U(()=2cos0,1(
V(()=-2sin0,1(
Вывод:
4.1.3. УСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на
ao:
[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)
T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2),
где k=[pic]-коэффициент передачи,
T1=[pic]-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку
p=[pic] .Получим:
(T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.
Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t)=Y(s)
[pic]=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=[pic] (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По
определению аналитическим выражением переходной функции является решение
уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по
преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic][pic]
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k[pic](1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=[pic]
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)(1
W(s)=[pic]= [pic]
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=[pic] e[pic] (1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя
исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и
временные характеристики:
k=2
T1 =0.62
h(t)=2[pic] (1(t)
w(t)=3.2e[pic](1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t)
указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени
t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на
величину[pic].
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной
функции (4) s на j(:
W(s)= [pic]
W(j()=[pic] (7)
W(j()=U(()+jV(()=[pic]=[pic]-j[pic]
U(()=[pic]
V(()=[pic]
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль
частотной передаточной функции,т.е.
A(()=(W(j()(
A(()=[pic]=[pic] (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной
передаточной функции, т.е.
((()=argW(j()
((()=arctgk - arctg[pic]
((()=-arctgT1 (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(()=20lg A(()
L(()=20lg[pic]
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим
их численные значения.
k=2
T1 =0.62
A(()=
((()=arctg0.62(
L(()=20lg
U(()=
V(()=
4.1.4. НЕУСТОЙЧИВОЕ АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
1-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a1 [pic]- aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a1=1,24
ao=2
bo=4
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на
ao:
[pic][pic]-y(t)=[pic]g(t)
T [pic]-y(t)=kg(t) (2),
где k=[pic]-коэффициент передачи,
T=[pic]-постоянная времени.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку
p=[pic] .Получим:
(T p-1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для апериодического звена.
Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) [pic]
[pic]=sY(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
T sY(s)-Y(s)=kG(s)
W(s)=[pic] (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По
определению аналитическим выражением переходной функции является решение
уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по
преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic][pic]
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k[pic](1(t) (5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=[pic]
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)(1
W(s)=[pic]= [pic]
Переходя к оригиналу, получим
w(t)=[pic] e[pic] (1(t) (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя
исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и
временные характеристики:
k=2
T =0.62
h(t)=2[pic] (1(t)
w(t)=3.2e[pic](1(t)
Переходная функция представляет собой экспоненту. Множитель 1(t)
указывает ,что экспонента рассматривается только для положительного времени
t>0. Функция веса - также экспонента, но со скачком в точке t=0 на
величину[pic].
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной
функции (4) s на j(:
W(s)= [pic]
W(j()=[pic] (7)
W(j()=[pic]=[pic]j[pic]=U(()+jV(()
U(()=[pic]
V(()=[pic]
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль
частотной передаточной функции, т.е.
A(()=(W(j()(
A(()=[pic]=[pic] (8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной
передаточной функции, т.е.
((()=argW(j()
((()=arctgk - arctg[pic]
((()=-arctg(-T() (9)
Для построения логарифмических частотных характеристик вычислим
L(()=20lg A(()
L(()=20lg[pic]
7. Построим графики частотных характеристик. Для этого сначала получим
их численные значения.
k=2
T =0.62
A(()=
((()=-arctg(-0.62()
L(()=20lg
U(()=
V(()=
4.1.5. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО 2-го ПОРЯДКА
1. Данное звено описывается следующим уравнением:
a2[pic]+a1 [pic]+ aoy(t) =bog(t) (1)
Коэффициенты имеют следующие значения:
a2=0,588
a1=50,4
ao=120
bo=312
Запишем это уравнение в стандартной форме. Для этого разделим (1) на
ao:
[pic][pic]+[pic][pic]+y(t)=[pic]g(t)
[pic][pic]+T1 [pic]+y(t)=kg(t) (2),
где k=[pic]-коэффициент передачи,
T1=[pic],T22=[pic]-постоянные времени.
Если корни характеристического уравнения для дифференциального
уравнения 2-го порядка вещественны (это выполняется при T1>2T2), то оно
является апериодическим 2-го порядка. Проверим это для нашего уравнения:
T1=0,42
2T2=0,14
0,42>014, следовательно, данное уравнение - апериодическое.
Запишем исходное уравнение в операторной форме, используя подстановку
p=[pic] .Получим:
([pic]p2+T1 p+1)y(t)=kg(t) (3)
2. Получим передаточную функцию для колебательного звена.
Воспользуемся преобразованиями Лапласа:
y(t) = Y(s) [pic]
[pic]=sY(s)
[pic]=s2Y(s)
g(t)=G(s)
По определению передаточная функция находится как отношение выходного
сигнала к входному. Тогда уравнение (2) будет иметь вид:
[pic] s2Y(s)+T1 sY(s)+Y(s)=kG(s)
W(s)=[pic] (4)
3. Найдем выражения для переходной функции и функции веса. По
определению аналитическим выражением переходной функции является решение
уравнения (2) при нулевых начальных условиях, т.е. g(t)=1 или по
преобразованиями Лапласа
h(t)=H(s)
H(s)=W(s)[pic]=[pic]=[pic] , где
T3,4=[pic]
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
H(s)=[pic]
=[pic]
Переходя к оригиналу, получим
h(t)=k(1(t)[pic] =
=k (1(t)[pic](5)
Функцию веса можно получить дифференцированием переходной функции
w(t)=[pic]
или из преобразований Лапласа
w(t)=w(s)
w(s)=W(s)(1=[pic]=[pic]
Разложив на элементарные дроби правую часть этого выражения, получим
w(s)= [pic]
=[pic]
Переходя к оригиналу, получим
w(t)= [pic]=
=[pic] (6)
4. Построим графики переходной функции и функции веса. Подставляя
исходные данные, вычислим коэффициент передачи, постоянные времени и
временные характеристики:
5. Получим частотную передаточную функцию, заменив в передаточной
функции (4) s на j(:
W(s)= [pic]
W(j()= [pic] (7)
Выделим вещественную и мнимую части :
W(j() =[pic]=
[pic]
U(()=[pic]
V(()=[pic]
6. Получим аналитические выражения для частотных характеристик. По
определению амплитудная частотная характеристика (АЧХ) - это модуль
частотной передаточной функции, т.е.
A(()=(W(j()(
A(()=[pic]=..............(8)
Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) - это аргумент частотной
передаточной функции, т.е.
((()=argW(j()
((()=................
((()=............... (9)
Для построения логарифмических част
| |  скачать работу |
Дифференцированные уравнения |
