Гамма функции
Другие рефераты
1. Бэта-функции 6
Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:
[pic]=[pic][pic][pic] (1.1)
сходятся при [pic].Полагая [pic]=1 – t получим:
[pic]= -[pic] =[pic]
т.e. аргумент [pic] и [pic] входят в [pic] симетрично. Принимая во внимание
тождество
[pic]
по формуле интегрирования почестям имеем
[pic]
Откуда
[pic]=[pic] (1.2)
7
При целом b = n последовательно применяя(1.2)
Получим
[pic] (1.3)
при целых [pic]= m,[pic]= n,имеем
[pic]
но B(1,1) = 1,следовательно:
[pic]
[pic][pic]
Положим в (1.1) [pic] .Так как график функции [pic]симметрична
относительно прямой [pic],то
[pic]
8
и в результате подстановки [pic],получаем
[pic]
полагая в(1.1) [pic],откуда [pic],получим
[pic] (1.4)
разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до [pic] и применение
ко второму интегралу подстановки [pic],получим
[pic]=[pic]
2. Гамма-функция
9
Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода
((a) =[pic][pic] [pic] (2.1)
сходящийся при [pic] 0.Положим [pic]=ty,t > 0 ,имеем
((a) =[pic]
и после замены [pic], через [pic] и t через 1+t ,получим
[pic]
Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до[pic],
имеем:
[pic]
или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка
интегрирования ,получаем:
[pic]
10
откуда
[pic]
(2.2)
заменяя в (2,1) [pic],на [pic] и интегрируем по частям
[pic]
получаем рекурентною формулу
[pic] [pic]
(2.3)
[pic]
так как
[pic]
но при целом [pic] имеем
[pic] (2.4)
то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в
факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При
n=1 в (2.4) имеем
[pic]
3. Производная гамма функции 11
Интеграл
[pic]
[pic]
сходится при каждом [pic],поскольку [pic],и интеграл [pic][pic] при
[pic]сходится.
В области [pic], где [pic]- произвольное положительное число, этот
интеграл сходится равномерно, так как[pic] и можна применить признак
Веерштраса. Сходящимся при всех значениях [pic] является и весь интеграл
[pic] так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо
сходящимся при любом[pic].Легко видеть что интеграл сходится по[pic]в любой
области [pic] где [pic] произвольно.Действительно для всех указаных
значений [pic]и для всех [pic] [pic],и так как [pic]сходится, то выполнены
условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области [pic]интеграл
[pic]cходится равномерно.[pic]
Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при[pic].Докажем
дифференцируемость этой функции при [pic].Заметим что
функция[pic] непрерывна при [pic] и[pic], и покажем ,что интеграл :
[pic]
12
сходится равномерно на каждом сегменте [pic] , [pic] . Выберем число[pic]
так , чтобы [pic]; тогда [pic] при [pic].Поэтому существует число [pic]
такое , что [pic] и [pic] на[pic].Но тогда на [pic] справедливо неравенство
[pic]
и так как интеграл [pic] сходится, то интеграл [pic] сходится равномерно
относительно [pic] на [pic]. Аналогично для [pic] существует такое число
[pic], что для всех [pic] выполняется неравенство [pic]. При таких [pic] и
всех [pic] получим [pic], откуда в силу признака сравнения следует , что
интеграл [pic] сходится равномерно относительно [pic] на [pic]. Наконец ,
интеграл
[pic]
в котором подынтегральная функция непрерывна в области
[pic], очевидно, сходится равномерно относительно [pic]на [pic]. Таким
образом , на [pic] интеграл
[pic]
13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно
дифференцируема при любом [pic] и справедливо равенство
[pic][pic].
Относительно интеграла [pic]можна повторить теже рассуждения и
заключить, что
[pic]
По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема
при[pic]и для ее я [pic]-ой производной справедливо равенство
[pic]
Изучим теперь поведение [pic]- функции и построим єскиз ее графика .
Из выражения для второй производной [pic]-функции видно, что [pic] для
всех [pic]. Следовательно, [pic] возрастает. Поскольку [pic], то по теореме
Роля на сегменте [1,2]производная [pic] при [pic] и[pic] при [pic], т. е.
Монотонно убывает на [pic]и монотонно возрастает на [pic]. Далее ,
поскольку [pic], то [pic]при [pic]. При [pic] из формулы [pic]следует ,
что [pic] при [pic].
14
Равенство [pic], справедливое при [pic], можно использовать при
распространении [pic]- функции на отрицательное значение [pic].
Положим для[pic], что [pic]. Правая часть этого равенства определена
для [pic] из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция [pic] принимает
на (-1,0) отрицательные значения и при [pic], а также при [pic] функция
[pic].
Определив таким образом [pic]на [pic], мы можем по той же формуле
продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением [pic]
окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что
[pic][pic][pic]при [pic] и [pic]. Продолжая этот процесс, определим функцию
[pic], имеющею разрывы в целочисленных точках [pic](см. рис.1)
Отметим еще раз, что интеграл
[pic]
определяет Г-функцию только при положительных значениях [pic], продолжение
на отрицательные значения [pic]осуществлено нами формально с помощью
формулы приведения [pic][pic].
15
[pic]
(рис.1)
4. Вычисление некоторых интегралов. 16
Формула Стирлинга
Применим гамма функцию к вычислению интеграла:
[pic]
где m > -1,n > -1.Полагая , что [pic],имеем
[pic][pic]
и на основании (2.2) имеем
[pic] (3.1)
В интеграле
[pic]
Где k > -1,n > 0,достаточно положить [pic]
[pic][pic]
17
Интеграл
[pic]
Где s > 0,разложить в ряд
[pic][pic][pic]
=[pic]
где [pic]дзетта функция Римана
Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)
[pic]
связанные неравенством
[pic]
[pic]
Разлагая,[pic] в ряд имеем
[pic]
18
[pic]
Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности
приближенное значение n! при больших значениях n ,рассмотрим
предварительно вспомогательную функцию
[pic] (3.2)
Непрерывна на интервале (-1,[pic]) монотонно возрастает от [pic]
до[pic] при изменении [pic] от [pic] до[pic] и обращаются в 0 при u
= 0.Так как
[pic]
то [pic]при u > 0 и при u < 0 , далее имеем
[pic]
И так производная непрерывна и положительна во всем интервале
[pic],удовлетворяет условию
19
[pic]
Из предыдущего следует, что существует обратная функция, [pic]
определенная на интервале [pic] непрерывная и монотонно возрастающая в этом
интервале,
Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие
[pic][pic] (3.3)
Формулу Стирлинга выведем из равенства
[pic]
полагая [pic],имеем
[pic]
Положим далее [pic]введенная выше обратная функция, удовлетворяющая
условиям u = -1при [pic],и [pic] при [pic] .Замечая что(см.3.2)
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
