Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Гамма функции



 Другие рефераты
Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования Геометрические построения Геометрия

1. Бэта-функции                                                  6

      Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

        [pic]=[pic][pic][pic]                                          (1.1)


сходятся при [pic].Полагая [pic]=1 – t получим:

      [pic]= -[pic] =[pic]

т.e. аргумент [pic] и [pic] входят в [pic] симетрично. Принимая во внимание
тождество

                                    [pic]

по формуле интегрирования почестям имеем


                                    [pic]


      Откуда

                     [pic]=[pic]                                       (1.2)


                                                                           7
      При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим

                                      [pic]                            (1.3)


при целых [pic]= m,[pic]= n,имеем

                                    [pic]
но B(1,1) = 1,следовательно:

                                    [pic]
      [pic][pic]
      Положим в (1.1) [pic] .Так как график функции [pic]симметрична
относительно прямой [pic],то

                                    [pic]


                                                                           8
и в результате подстановки  [pic],получаем

                                    [pic]
полагая в(1.1) [pic],откуда [pic],получим


                        [pic]                                          (1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и  от 1 до [pic] и применение
ко второму интегралу подстановки [pic],получим

                                 [pic]=[pic]



                                                            2. Гамма-функция
                                                                           9
      Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

        ((a) =[pic][pic]                            [pic]              (2.1)

сходящийся при [pic] 0.Положим [pic]=ty,t > 0 ,имеем

                                 ((a) =[pic]

и после замены [pic], через [pic] и t  через 1+t ,получим

                                    [pic]

      Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до[pic],
имеем:

                                    [pic]

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка
интегрирования ,получаем:

                                    [pic]

                                                                          10
откуда


                                               [pic]
                        (2.2)


заменяя в (2,1) [pic],на [pic] и интегрируем по частям

                                    [pic]

получаем рекурентною формулу

                                                              [pic]    [pic]
                                                                       (2.3)
        [pic]
так как

                                    [pic]

но при целом [pic] имеем

                  [pic]                              (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в
факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При
n=1 в (2.4) имеем
      [pic]


                 3. Производная гамма функции                             11

      Интеграл

      [pic]
      [pic]
сходится при каждом [pic],поскольку [pic],и интеграл [pic][pic] при
[pic]сходится.
      В области [pic], где [pic]- произвольное положительное число, этот
интеграл сходится равномерно, так как[pic] и можна применить признак
Веерштраса. Сходящимся при всех значениях [pic] является и весь интеграл
[pic] так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо
сходящимся при любом[pic].Легко видеть что интеграл сходится по[pic]в любой
области [pic] где [pic] произвольно.Действительно для всех указаных
значений [pic]и для всех [pic] [pic],и так как [pic]сходится, то выполнены
условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области [pic]интеграл
[pic]cходится равномерно.[pic]
      Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при[pic].Докажем
дифференцируемость этой функции при [pic].Заметим что
функция[pic] непрерывна при [pic] и[pic], и покажем ,что интеграл :
[pic]
                                                                          12
сходится равномерно на каждом сегменте [pic] , [pic] . Выберем число[pic]
так , чтобы [pic]; тогда [pic] при [pic].Поэтому существует число [pic]
такое , что [pic] и [pic] на[pic].Но тогда на [pic] справедливо неравенство

      [pic]
и так как интеграл [pic] сходится, то интеграл [pic] сходится равномерно
относительно [pic] на [pic]. Аналогично для [pic] существует такое число
[pic], что для всех [pic] выполняется неравенство [pic]. При таких [pic] и
всех [pic] получим [pic], откуда  в силу признака сравнения следует , что
интеграл [pic] сходится равномерно относительно  [pic] на [pic]. Наконец ,
интеграл

      [pic]

в котором подынтегральная функция непрерывна в области
      [pic], очевидно, сходится равномерно относительно [pic]на [pic]. Таким
образом , на  [pic] интеграл

      [pic]

                                                                          13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно
дифференцируема при любом [pic] и справедливо равенство
                 [pic][pic].

      Относительно интеграла [pic]можна повторить теже рассуждения и
заключить, что

      [pic]

      По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема
при[pic]и для ее я [pic]-ой производной справедливо равенство

      [pic]

      Изучим теперь поведение [pic]- функции и построим єскиз ее графика .
      Из выражения для второй производной [pic]-функции видно, что [pic] для
всех [pic]. Следовательно, [pic] возрастает. Поскольку [pic], то по теореме
Роля на сегменте [1,2]производная [pic] при [pic] и[pic] при [pic], т. е.
Монотонно убывает на [pic]и монотонно возрастает на [pic]. Далее ,
поскольку [pic], то  [pic]при [pic]. При [pic] из формулы [pic]следует ,
что  [pic] при [pic].


                                                                          14
      Равенство [pic], справедливое при [pic], можно использовать при
распространении [pic]- функции на отрицательное значение [pic].
      Положим для[pic], что [pic]. Правая часть этого равенства определена
для [pic] из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция [pic] принимает
на (-1,0) отрицательные значения и при [pic], а также при [pic]  функция
[pic].
          Определив таким образом [pic]на [pic], мы можем по  той же формуле
продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением [pic]
окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что
[pic][pic][pic]при [pic] и [pic]. Продолжая этот процесс, определим функцию
[pic], имеющею разрывы в целочисленных точках [pic](см. рис.1)
      Отметим еще раз, что интеграл

      [pic]

определяет Г-функцию только при положительных значениях [pic], продолжение
на отрицательные значения [pic]осуществлено нами формально с помощью
формулы приведения [pic][pic].



                                                                          15
[pic]

                                   (рис.1)



         4. Вычисление некоторых интегралов.                              16
                              Формула Стирлинга

        Применим гамма функцию к вычислению интеграла:


                                    [pic]

 где m > -1,n > -1.Полагая , что [pic],имеем

                                 [pic][pic]

и на основании (2.2) имеем

                                   [pic]                               (3.1)

В интеграле

                                    [pic]

         Где k > -1,n > 0,достаточно положить [pic]

                                 [pic][pic]

                                                                          17
        Интеграл
                                    [pic]

        Где s > 0,разложить в ряд

                               [pic][pic][pic]

                                   =[pic]

где [pic]дзетта функция Римана
         Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

                                    [pic]

связанные неравенством

                                    [pic]
      [pic]
         Разлагая,[pic] в ряд имеем
[pic]

                                                                          18

                                    [pic]


          Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности
приближенное значение  n! при больших значениях n ,рассмотрим
предварительно вспомогательную функцию

                          [pic]                                        (3.2)

          Непрерывна на интервале (-1,[pic]) монотонно возрастает от [pic]
до[pic] при изменении  [pic]  от   [pic]   до[pic] и обращаются в 0  при u
= 0.Так как

                                    [pic]

то   [pic]при u > 0 и   при u < 0 , далее имеем

                                    [pic]

         И так производная непрерывна и положительна во всем интервале
[pic],удовлетворяет условию

                                                                          19
                                    [pic]

       Из предыдущего следует, что существует обратная функция, [pic]
определенная на интервале [pic] непрерывная и монотонно возрастающая в этом
интервале,
      Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

                 [pic][pic]                                            (3.3)

        Формулу Стирлинга выведем из равенства

        [pic]

полагая [pic],имеем

                                    [pic]

         Положим далее [pic]введенная выше обратная функция, удовлетворяющая
условиям u = -1при [pic],и [pic] при [pic] .Замечая что(см.3.2)

      
12
скачать работу


 Другие рефераты
Наука и культура Китая
қазақстанның рекреациялық аймақтары
Бұршақ тұқымдасы
Международные финансовые организации


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ