Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Гамма функции



 Другие рефераты
Вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников Вычисление площади сложной фигуры методом имитационного моделирования Геометрические построения Геометрия

1. Бэта-функции                                                  6

      Бэта – функции определяются интегралом Эйлера первого рода:

        [pic]=[pic][pic][pic]                                          (1.1)


сходятся при [pic].Полагая [pic]=1 – t получим:

      [pic]= -[pic] =[pic]

т.e. аргумент [pic] и [pic] входят в [pic] симетрично. Принимая во внимание
тождество

                                    [pic]

по формуле интегрирования почестям имеем


                                    [pic]


      Откуда

                     [pic]=[pic]                                       (1.2)


                                                                           7
      При целом b = n последовательно применяя(1.2)

Получим

                                      [pic]                            (1.3)


при целых [pic]= m,[pic]= n,имеем

                                    [pic]
но B(1,1) = 1,следовательно:

                                    [pic]
      [pic][pic]
      Положим в (1.1) [pic] .Так как график функции [pic]симметрична
относительно прямой [pic],то

                                    [pic]


                                                                           8
и в результате подстановки  [pic],получаем

                                    [pic]
полагая в(1.1) [pic],откуда [pic],получим


                        [pic]                                          (1.4)

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и  от 1 до [pic] и применение
ко второму интегралу подстановки [pic],получим

                                 [pic]=[pic]



                                                            2. Гамма-функция
                                                                           9
      Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

        ((a) =[pic][pic]                            [pic]              (2.1)

сходящийся при [pic] 0.Положим [pic]=ty,t > 0 ,имеем

                                 ((a) =[pic]

и после замены [pic], через [pic] и t  через 1+t ,получим

                                    [pic]

      Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до[pic],
имеем:

                                    [pic]

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка
интегрирования ,получаем:

                                    [pic]

                                                                          10
откуда


                                               [pic]
                        (2.2)


заменяя в (2,1) [pic],на [pic] и интегрируем по частям

                                    [pic]

получаем рекурентною формулу

                                                              [pic]    [pic]
                                                                       (2.3)
        [pic]
так как

                                    [pic]

но при целом [pic] имеем

                  [pic]                              (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в
факториал.Порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента.При
n=1 в (2.4) имеем
      [pic]


                 3. Производная гамма функции                             11

      Интеграл

      [pic]
      [pic]
сходится при каждом [pic],поскольку [pic],и интеграл [pic][pic] при
[pic]сходится.
      В области [pic], где [pic]- произвольное положительное число, этот
интеграл сходится равномерно, так как[pic] и можна применить признак
Веерштраса. Сходящимся при всех значениях [pic] является и весь интеграл
[pic] так как и второе слогаемое правой части является интегралом, заведомо
сходящимся при любом[pic].Легко видеть что интеграл сходится по[pic]в любой
области [pic] где [pic] произвольно.Действительно для всех указаных
значений [pic]и для всех [pic] [pic],и так как [pic]сходится, то выполнены
условия признака Веерштрасса. Таким образом , в области [pic]интеграл
[pic]cходится равномерно.[pic]
      Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при[pic].Докажем
дифференцируемость этой функции при [pic].Заметим что
функция[pic] непрерывна при [pic] и[pic], и покажем ,что интеграл :
[pic]
                                                                          12
сходится равномерно на каждом сегменте [pic] , [pic] . Выберем число[pic]
так , чтобы [pic]; тогда [pic] при [pic].Поэтому существует число [pic]
такое , что [pic] и [pic] на[pic].Но тогда на [pic] справедливо неравенство

      [pic]
и так как интеграл [pic] сходится, то интеграл [pic] сходится равномерно
относительно [pic] на [pic]. Аналогично для [pic] существует такое число
[pic], что для всех [pic] выполняется неравенство [pic]. При таких [pic] и
всех [pic] получим [pic], откуда  в силу признака сравнения следует , что
интеграл [pic] сходится равномерно относительно  [pic] на [pic]. Наконец ,
интеграл

      [pic]

в котором подынтегральная функция непрерывна в области
      [pic], очевидно, сходится равномерно относительно [pic]на [pic]. Таким
образом , на  [pic] интеграл

      [pic]

                                                                          13
сходится равномерно , а, следовательно , гаммма функция бесконечно
дифференцируема при любом [pic] и справедливо равенство
                 [pic][pic].

      Относительно интеграла [pic]можна повторить теже рассуждения и
заключить, что

      [pic]

      По индукции доказывается , что Г-функция бесконечно дифференцируема
при[pic]и для ее я [pic]-ой производной справедливо равенство

      [pic]

      Изучим теперь поведение [pic]- функции и построим єскиз ее графика .
      Из выражения для второй производной [pic]-функции видно, что [pic] для
всех [pic]. Следовательно, [pic] возрастает. Поскольку [pic], то по теореме
Роля на сегменте [1,2]производная [pic] при [pic] и[pic] при [pic], т. е.
Монотонно убывает на [pic]и монотонно возрастает на [pic]. Далее ,
поскольку [pic], то  [pic]при [pic]. При [pic] из формулы [pic]следует ,
что  [pic] при [pic].


                                                                          14
      Равенство [pic], справедливое при [pic], можно использовать при
распространении [pic]- функции на отрицательное значение [pic].
      Положим для[pic], что [pic]. Правая часть этого равенства определена
для [pic] из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция [pic] принимает
на (-1,0) отрицательные значения и при [pic], а также при [pic]  функция
[pic].
          Определив таким образом [pic]на [pic], мы можем по  той же формуле
продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением [pic]
окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что
[pic][pic][pic]при [pic] и [pic]. Продолжая этот процесс, определим функцию
[pic], имеющею разрывы в целочисленных точках [pic](см. рис.1)
      Отметим еще раз, что интеграл

      [pic]

определяет Г-функцию только при положительных значениях [pic], продолжение
на отрицательные значения [pic]осуществлено нами формально с помощью
формулы приведения [pic][pic].



                                                                          15
[pic]

                                   (рис.1)



         4. Вычисление некоторых интегралов.                              16
                              Формула Стирлинга

        Применим гамма функцию к вычислению интеграла:


                                    [pic]

 где m > -1,n > -1.Полагая , что [pic],имеем

                                 [pic][pic]

и на основании (2.2) имеем

                                   [pic]                               (3.1)

В интеграле

                                    [pic]

         Где k > -1,n > 0,достаточно положить [pic]

                                 [pic][pic]

                                                                          17
        Интеграл
                                    [pic]

        Где s > 0,разложить в ряд

                               [pic][pic][pic]

                                   =[pic]

где [pic]дзетта функция Римана
         Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

                                    [pic]

связанные неравенством

                                    [pic]
      [pic]
         Разлагая,[pic] в ряд имеем
[pic]

                                                                          18

                                    [pic]


          Переходя к выводу формулы Стирлинга , дающей в частности
приближенное значение  n! при больших значениях n ,рассмотрим
предварительно вспомогательную функцию

                          [pic]                                        (3.2)

          Непрерывна на интервале (-1,[pic]) монотонно возрастает от [pic]
до[pic] при изменении  [pic]  от   [pic]   до[pic] и обращаются в 0  при u
= 0.Так как

                                    [pic]

то   [pic]при u > 0 и   при u < 0 , далее имеем

                                    [pic]

         И так производная непрерывна и положительна во всем интервале
[pic],удовлетворяет условию

                                                                          19
                                    [pic]

       Из предыдущего следует, что существует обратная функция, [pic]
определенная на интервале [pic] непрерывная и монотонно возрастающая в этом
интервале,
      Обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

                 [pic][pic]                                            (3.3)

        Формулу Стирлинга выведем из равенства

        [pic]

полагая [pic],имеем

                                    [pic]

         Положим далее [pic]введенная выше обратная функция, удовлетворяющая
условиям u = -1при [pic],и [pic] при [pic] .Замечая что(см.3.2)

      
12
скачать работу


 Другие рефераты
Государство как субъект экономики
Развитие химии высокомолекулярных соединений
История появления компьютерных сетей
Компьютерные технологии на примере Apple Macintosh


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ