Интерполяция многочленами
Другие рефераты
Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому
значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение
этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как
решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х)
измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую
таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе
значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может
участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических
расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно
заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую
функцию ((х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто
вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)(((х).
Большая часть классического численного анализа основывается на
приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих
целей используются и другие классы функций.
Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё
выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого
критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать
вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе
и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.
Всё изложенное можно сформулировать в виде четырёх вопросов:
1. Какие узлы мы будем использовать?
2. Какой класс приближающих функций мы будем использовать?
3. Какой критерий согласия мы применим?
4. Какую точность мы хотим?
Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном
анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х,
х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше).
Второй класс образуют функции cos aix, sin aix. Этот класс имеет отношение
к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e-az.
Эти функции встречаются в реальных ситуациях. К ним, например, приводят
задачи накопления и распада.
Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия
является «точное совпадение в узловых точках». Этот критерий имеет
преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство
из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или
вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий
— это «наименьшие квадраты». Он означает, что сумма квадратов отклонений в
узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами,
минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы
получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем
Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное
отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.
Более конкретно ответить на поставленные 4 вопроса можно лишь исходя из
условий и цели каждой отдельной задачи.
Интерполяция многочленами
Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется
приблизительно заменить некоторой функцией ((х), свойства которой нам
известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим.
интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически
заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.
Методы интерполяции Лагранжа и Ньютона
Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея
этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который
принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко
видеть, сто функция
[pic]
является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если x=xj и 0, когда
x=xi, i(j. Многочлен Lj(x)(yj принимает значения yi в i-й узловой точке и
равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что [pic] есть многочлен
степени n, проходящий через n+1 точку (xi, yi).
Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод
позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном
виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома
Pn, аппроксимирующую функцию f(x):
P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+
(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn);
[pic] — разделённая разность 1-го порядка;
[pic] — разделённая разность 2-го порядка и т.д.
Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x)
Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином,
разница только в алгоритме его построения.
Сплайн-аппроксимация
Другой метод аппроксимации — сплайн-аппроксимация — отличается от
полиномиальной аппроксимации Лагранжем и Ньютоном. Сплайном называется
функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на отрезке
[a, b], а на каждом частном интервале этого отрезка [xi, xi+1] в
отдельности являются некоторым многочленом невысокой степени. В настоящее
время применяют кубический сплайн, то есть на каждом локальном интервале
функция приближается к полиному 3-го порядка. Трудности такой аппроксимации
связаны с низкой степенью полинома, поэтому сплайн плохо аппроксимируется с
большой первой производной. Сплайновая интерполяция напоминает лагранжевую
тем, что требует только значения в узлах, но не её производных.
Метод наименьших квадратов
Предположим, что требуется заменить некоторую величину и делается n
измерений, результаты которых равны xi=x+(i (i=1, 2, …, n), где (i — это
ошибки (или шум) измерений, а х — истинное значение. Метод наименьших
квадратов утверждает, что наилучшее приближённое значение [pic] есть такое
число, для которого минимальна сумма квадратов отклонений от [pic]:
[pic]
Один из наиболее общих случаев применения этого метода состоит в том,
что имеющиеся n наблюдений (xi, yi) (i=1, 2, …, n) требуется приблизить
многочленом степени m
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
