Интересные примеры в метрических пространствах
Другие рефераты
1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с
обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество
в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с
ребром (, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную [pic]-сеть в
исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого
куба.
1. Единичная сфера S в пространстве l2 дает нам пример ограниченного, но не
вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:
е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
…………………………,
еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
………………………….
Расстояние между любыми двумя точками еn и ем (n(m) равно ((. Поэтому
последовательность {еi} и любая ее подпоследовательность не сходятся.
Отсюда в S не может быть конечной (-сети ни при каком (<(2/2.
2. Рассмотрим в l2 множество П точек
x=(x1, x2, (, xn, ...),
удовлетворяющих условиям:
| x1|(1, | x2|(1/2, (,| xn|(1/2n-1, ...
Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым
кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример бесконечномерного
вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной
ограниченности поступим следующим образом.
Пусть (>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<(/2. Каждой точке x=(x1,
x2, (, xn, ...)
из П сопоставим точку x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...)
из того же множества. При этом
((x,x*)([pic]([pic]<1/2n-1<(/2.
Множество П* точек вида x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) из П вполне
ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в
П* конечную (/2-сеть. Она будет в то же время (-сетью во всем П. Докажем
это.
Доказательство: для ((((, выберем n так, что 1/2n-1<(/2.
(x(П: x=(x1, x2, (, xn, ...) сопоставим
x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...) и x*(П. При этом
((x,x*)<(/2. Из пространства П выберем x**:
((x*,x**)<(/2.
Тогда:
((x,x**)(((x,x*)+((x*,x**)<(/2+(/2=(.
Множество П* содержит точки вида
x*=(x1, x2, (, xn, 0, 0, ...), в этом
множестве выберем конечную (/2-сеть. Она будет (-сетью
в пространстве П, так как ((x,x**)<(.
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
