Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Иррациональные уравнения и неравенства



 Другие рефераты
Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяция многочленами Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов Исследование RC-генератора синусоидальных колебаний

I. Введение

Я, Торосян Левон, ученик  11 «В» класса, выполнил реферат по теме:
«Иррациональные уравнения и неравенства».

Особенностью моей работы является  то,  что  в  школьном  курсе  на  решение
иррациональных уравнений отводится очень мало времени, а  ВУЗовские  задания
вообще не решаются. Решение иррациональных неравенств в  школьном  курсе  не
рассматри- вают, а на вступительных экзаменах эти задания часто дают.


Я  самостоятельно  изучил  правила  решения   иррациональных   уравнений   и
неравенств.


В реферате  показаны  решения  как  иррациональных  уравнений  и  неравенств
стандартного  типа,  так  и  повышенной  сложности.  Поэтому  реферат  можно
использовать как учебное пособие  для  подготовки  в  ВУЗ,  также  рефератом
можно пользоваться при изучении этой темы на факультативных занятиях.



II. Иррациональные  уравнения
Иррациональным называется уравнение, в  котором  переменная  содержится  под
знаком корня.
Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При  возведении
в  четную  степень  возможно  расширение   области   определения   заданного
уравнения. Поэтому при решении таких  иррациональных  уравнений  обязательны
проверка  или  нахождение  области  допустимых   значений   уравнений.   При
возведении  в  нечетную  степень  обеих  частей  иррационального   уравнения
область определения не меняется.
Иррациональные  уравнения   стандартного  вида    можно   решить   пользуясь
следующим правилом:
                                                [pic]
                                                          [pic]
                                                 [pic]

       Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение  [pic] = x – 2,
Решение.
[pic] = x – 2,
2x       –        1        =        x2        –        4x        +        4,
                 Проверка:
x2           –           6x           +           5           =           0,
           х = 5,      [pic] = 5 – 2,
x1                                   =                                    5,
                                          3 = 3
x2           =           1            –            постор.            корень
    х =  1,      [pic][pic]1 – 2 ,
Ответ:                                                                     5
     пост. к.            1 [pic]-1.


б) Решить уравнение  [pic] = х + 4,
Решение.
[pic] = х + 4,
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: -1


в) Решить уравнение  х – 1 = [pic]
Решение.
 х – 1 = [pic]
х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х = 0,
х(х2 – 4х + 4) = 0,
х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,
                                         (х – 2)2 = 0,
                                          х = 2
Ответ: 0; 2.


г) Решить уравнение  х – [pic] + 4 = 0,
Решение.
х – [pic] + 4 = 0,
х                +                4                 =                 [pic],
Проверка:
х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                           х  =  11,
         11 – [pic] + 4 = 0,
х2          –          17х           +           66           =           0,
                             0 = 0
х1                                   =                                   11,
 х = 6,               6 – [pic] + 4 = 0,
х2                                   =                                    6.
                                     0 = 0.
Ответ: 6; 11.

            Решение  иррациональных уравнений смешанного вида:

    . Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а) Решить уравнение [pic] = [pic]
Решение.
[pic]    =    [pic],                                  [pic]                –
       +

                                x

Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:

[pic]           или             [pic]

[pic][pic]                                                             [pic]

                              [pic]

[pic]                      [pic]
                                                                       [pic]

[pic]
Ответ: [pic]


б) Решить уравнение  [pic]
Решение.
[pic],[pic]                                              [pic]             –
            +
                x
Учитывая ноль подкоренного выражения, данное уравнение равносильно двум
системам:

[pic]            или             [pic]
[pic]                           [pic]
[pic]                                          [pic]
[pic]                                                       [pic]

Ответ:   [pic].

    . Иррациональные  показательные  уравнения:

а) Решить уравнение  [pic]

Решение.

[pic]             ОДЗ:  [pic]
[pic]
Пусть  [pic] = t,   t  > 0
[pic]
Сделаем  обратную  замену:
[pic] = 1/49,                             или                 [pic] = 7,
[pic] = [pic],                                                       [pic]
[pic]– (ур-ние не имеет решений)              x = 3.
Ответ: 3


б) Решить уравнение    [pic]

Решение.

Приведем  все степени к одному основанию  2:

[pic]

[pic]данное уравнение равносильно уравнению:

[pic]

Ответ:  0,7



    . Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:
Решить  уравнение   [pic]
Решение.
[pic] возведем обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2[pic]
2x – 2 = 2[pic]
x –1 = [pic]
x[pic]                                      Проверка:
x[pic]                      x = 3,      [pic]
4x[pic]
      1 = 1.
                                    x = 1,75   [pic]

Ответ: 3.



    . Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной
      степени:
Решить  уравнение  [pic]
Решение.
[pic] возведем  обе  части  уравнения  в  куб
[pic]
[pic] но  [pic], значит:
[pic]
[pic] возведем  обе  части  уравнения  в  куб
(25 + x)(3 – x) = 27,
[pic]
Ответ: –24; 2.


    . Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:


а) Решить уравнение  [pic]

Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t,   тогда [pic] = [pic],   где   t > 0
t – [pic]
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic]= 2, возведем  обе  части  в  квадрат
[pic]                        Проверка:  x = 2,5      [pic]
Ответ:  2,5.

б) Решить  уравнение  [pic]
Решение.
[pic]
Пусть [pic] = t,   значит [pic]= [pic],   где  t > 0
t[pic]+ t – 6 = 0,
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x[pic] + 8 = 16,
Проверка:
x[pic] = 8,                                                             x =
2,        [pic]
x = 2.
                     6 = 6
Ответ:  2.



в) Решить  уравнение   [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
Пусть  [pic] = t,   где   t  > 0
[pic]
Сделаем обратную замену:
[pic] = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат
[pic]                          Проверка:  [pic]       [pic]
[pic]                                                               [pic],
        [pic]

Ответ: –5; 2.


             Решение сложных  иррациональных уравнений:

    . Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:
Решить уравнение  [pic]
Решение.
[pic]  возведем  обе  части уравнения в  куб
[pic]
[pic] возведем обе  части  уравнения в  квадрат
[pic]
Пусть  [pic] = t
t 2– 11t + 10 = 0,
[pic]  [pic]
Сделаем  обратную  замену:
Проверка:
[pic]= 10,                          или          [pic]= 1,
   x = [pic], [pic]
x = [pic]-пост. корень                     [pic]
                         0 [pic] [pic]
Ответ:   1.
 x = 1,   [pic]
                                      1 = 1
    . Иррациональные  логарифмические уравнения:
а) Решить  уравнение  lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic]
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg[pic],
lg(3[pic] = lg[pic],
Учитывая  ОДЗ, данное  уравнение  равносильно  системе:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 32,75

б) Решить  уравнение  [pic]
Решение.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]                               [pic]
Ответ:  [pic]; – 2; 3.
  IV. Иррациональные неравенства
Неравенства   называются   иррациональными, если  его  неизвестное  входит
под  знак  корня (радикала).
Иррациональное  неравенство  вида [pic] равносильно системе неравенств:
[pic]
Иррациональное  неравенство  вида [pic] равносильно совокуп-ности двух
систем неравенств:
[pic]          и           [pic]



    Решение иррациональных неравенств стандартного вида:


а) Решить  неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]                         [pic]
[pic]
           +                –                     +

Ответ:     [1; 2).
                                          1                3
        x
б) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно двум системам  неравенств:

[pic]                                          [pic]
[pic]
Ответ:         [pic]


в) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]                                                  [pic]


Ответ:  нет решений[pic]


Решение иррациональных неравенств нестандартного вида:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
Ответ:   [pic]


б) Решить неравенство[pic]
Решение.
[pic]
Данное неравенство  равносильно  системе  неравенств:

[pic]
[pic]
[pic]


[pic]
[pic]                                           [pic]
[pic]
Ответ:     [pic]

    . Решение иррациональных неравенств с помощью правила знаков при
      умножении и делении:

а) Решить неравенство [pic]
Решение.
[pic]
Учитывая то, что [pic][pic] и правило знаков при делении данное  неравенство
 равносильно  си
12
скачать работу


 Другие рефераты
Мемлекеттік бюджет
Историчка
Өсімдіктердің температураға адаптациялануы
Ракетные двигатели


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ