Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне



 Другие рефераты
Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов Исследование RC-генератора синусоидальных колебаний Исследование свойств прямоугольного тетраэдра Исследование систем линейных уравнений неполного ранга

1. Постановка задачи

                            1. Физическая модель

    В ряде практических задач возникает необходимость исследования
распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня,
помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование
может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение
температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей
математической модели.
    В настоящей работе используются оба подхода.

    Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной
температурой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0.



                          1.2 Математическая модель

    Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с  началом
в середине стержня. Будем рассматривать  задачу  (распределения  температуры
по стержню) мосле момента установления режима Т0.
    Первая математическая модель использует экспериментальные  данные,  при
этом  измеряют  температуру  Ui  стержня  в  нескольких  точках  стержня   с
координатами  xi.  Результаты  измерения  Ui   рассматривают   как   функцию
регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно  искать  её  в
виде многочлена по  чётным  степеням  x  (ограничимся  4-ой  степенью  этого
многочлена).
                            (1.1)
    Задача  сводится  к  отысканию  оценок  неизвестных  параметров,   т.е.
коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.
    Вторая  математическая  модель,  также  использующая  экспериментальные
данные, состоит в применении интерполяционных формул и может  употребляться,
если погрешность измерений температуры  Ui  пренебрежимо  мала,  т.е.  можно
считать, что U(xi)=Ui
    Третья  математическая  модель   основана   на   использовании   закона
теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:
                            (1.2)
    где ? - коэффициент теплопроводности, ? - коэффициент теплоотдачи, D  –
диаметр стержня, ? - температура потока, в который помещён стержень.
    Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2)  с  граничными
условиями:
                            (1.3)
    на отрезке  [-L|/2;L/2],  где  L  –  длина  стержня,  ?0  -  постоянная
температура, поддерживаемая на концах стержня.
    Коэффициент теплопроводности ? зависит от температуры:
                            (1.4)
    где  ?0  -  начальное  значение  коэффициента  теплопроводности,  ??  -
вспомогательный коэффициент.
    Коэффициент теплоотдачи ? вычисляют по формуле:
                            (1.5)
    т.е. как среднее значение функции
    за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь ?0 -  значение  ?  при  t
стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.
    Время Т0, по истечении которого  распределение  температуры  в  стержне
можно считать установившимся определяется по формуле:
                            (1.6)
    где  а   –   коэффициент   температуропроводности,   ?   -   наименьший
положительный корень уравнения:
                            (1.7)



                           Задание курсовой работы

                                Вариант № 136
Исходные данные:
1. L = 0.0386 м
2. D = 0,00386 м
3. ? ’ 740 оС
4. ?0 ’ 74 оС
5. ?0 ’ 141,85 (Вт/м*К)
6. ?? ’ 2,703*10-4
7. ? ’ 6,789*10-7
8. ?0 ’ 3,383*102 (Вт/м2*К)
9. ? ’ 218 оС
10.   А = 3,043*10-5 (м2/с)
                                     11

|X, м          |U, oC         |
|0             |353           |
|0,00386       |343           |
|0,00772       |313           |
|0,01158       |261           |
|0,01544       |184           |
|0,01930       |74            |



                   2. Обработка результатов эксперимента.

              2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

    Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с
помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум
квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных
значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам,
т.е. минимум величины S:
                            (2.1)
    В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:
    Где k = 0, 1, 2.        (2,2)

    Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
                            (2.3)
    Сумма
    Система (2.3) примет вид:
                            (2.4)
    В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу
коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:
    Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В
результате получаем:
    Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим
минимальное значение суммы S:
                       Smin=0.7597
    При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов
определяем предварительно точечные оценки.
    Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с
пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui
независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ?2,
которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная
дисперсия оценивается по формуле:
    Где r – число степеней свободы системы, равное разности между
количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок
коэффициентов, т.е. r = 3.
    Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

    Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:
     Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы
нормальной системы;
    ? - главный определитель нормальной системы.
    В нашем случае:
                               S0=3.5438 10-22
                              S1=-8.9667 10-14
                               S2=6.3247 10-7
    Откуда:
    Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к.
линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.
    Известно, что эти оценки несмещённые  и  эффективные.  Тогда  случайные
величины:
     Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.
    Выбираем доверительную вероятность ?=0,9 и по таблице Стьюдента находим
критическое значение ??  равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
    Доверительные интервалы для коэффициентов:
                            (2.4*)
    В нашем случае примут вид:


     2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи
                                 регрессии.

    Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui).
Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки
измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной
дисперсией ?2. Мы выбрали функцию регрессии в виде:
    Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е.
функцией вида:
                            (2.5)
    C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки
дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:
    Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).
    Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов
функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:
                            (2.7)
    Решая эту систему методом Гаусса, получим:
                                                   (2.8)
    Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё
должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом
выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные
погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и
U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками
дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
    Н0 – альтернативная гипотеза

    Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени
многочлена.
    В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:
                            (2.9)
    имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем
уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*?,
удовлетворяющее равенству: p(F>F*?)=?
    В нашем случае F=349.02, а F*?=10,13.
    Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F?, имевшее
вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае
можно ограничиться многочленом
    , коэффициенты в котором неодинаковы.

               3. Нахождение коэффициента теплопроводности ?.

     Коэффициент ? вычислим по формуле (1.5), обозначим:
                            (3.1)
    Определим  допустимую  абсолютную  погрешность  величины  интеграла  I,
исходя из  требования,  чтобы  относительная  погрешность  вычисления  ?  не
превосходила 0,1%, т.е.:
                            (3.2)
    Т.к. из (3.1) очевидно, что  ?>?0,  то  условие  (3.2)  заведомо  будет
выполнено, если:
                            (3.3)
    Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности  вычисления
интеграла I возьмём               ?’0,001Т   (3.4)
                 Т=218 оС, следовательно, ?’0,218 оС.



                 3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции


                Использование теоретической оценки погрешности


    Для обозначения требуемой точности  количества  частей  n,  на  которые
нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:
    , где M2’[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3
    Учитывая формулу (3.4) получаем:
                            (3.5)
    Дифференцируя f(t), получим:
    А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:
    Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:
                             f’’(t1)=1.5886 10-4
                            f’&rsqu
12
скачать работу


 Другие рефераты
Пётр II Алексеевич Романов
Культура Руси (Времен XII века)
Көтерме сауда
Региональная экономика


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ