Исследование распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне
Другие рефераты
1. Постановка задачи
1. Физическая модель
В ряде практических задач возникает необходимость исследования
распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня,
помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование
может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение
температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей
математической модели.
В настоящей работе используются оба подхода.
Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной
температурой ?, на концах стержня поддерживается постоянная температура ?0.
1.2 Математическая модель
Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом
в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры
по стержню) мосле момента установления режима Т0.
Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при
этом измеряют температуру Ui стержня в нескольких точках стержня с
координатами xi. Результаты измерения Ui рассматривают как функцию
регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в
виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого
многочлена).
(1.1)
Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е.
коэффициентов a0 , a1 и a2 , например, методом наименьших квадратов.
Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные
данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться,
если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно
считать, что U(xi)=Ui
Третья математическая модель основана на использовании закона
теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:
(1.2)
где ? - коэффициент теплопроводности, ? - коэффициент теплоотдачи, D –
диаметр стержня, ? - температура потока, в который помещён стержень.
Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными
условиями:
(1.3)
на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, ?0 - постоянная
температура, поддерживаемая на концах стержня.
Коэффициент теплопроводности ? зависит от температуры:
(1.4)
где ?0 - начальное значение коэффициента теплопроводности, ?? -
вспомогательный коэффициент.
Коэффициент теплоотдачи ? вычисляют по формуле:
(1.5)
т.е. как среднее значение функции
за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь ?0 - значение ? при t
стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.
Время Т0, по истечении которого распределение температуры в стержне
можно считать установившимся определяется по формуле:
(1.6)
где а – коэффициент температуропроводности, ? - наименьший
положительный корень уравнения:
(1.7)
Задание курсовой работы
Вариант № 136
Исходные данные:
1. L = 0.0386 м
2. D = 0,00386 м
3. ? ’ 740 оС
4. ?0 ’ 74 оС
5. ?0 ’ 141,85 (Вт/м*К)
6. ?? ’ 2,703*10-4
7. ? ’ 6,789*10-7
8. ?0 ’ 3,383*102 (Вт/м2*К)
9. ? ’ 218 оС
10. А = 3,043*10-5 (м2/с)
11
|X, м |U, oC |
|0 |353 |
|0,00386 |343 |
|0,00772 |313 |
|0,01158 |261 |
|0,01544 |184 |
|0,01930 |74 |
2. Обработка результатов эксперимента.
2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.
Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с
помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум
квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных
значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам,
т.е. минимум величины S:
(2.1)
В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:
Где k = 0, 1, 2. (2,2)
Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:
(2.3)
Сумма
Система (2.3) примет вид:
(2.4)
В результате вычислений получаем Sk и Vj. Обозначим матрицу
коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:
Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p-1. В
результате получаем:
Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов ак, находим
минимальное значение суммы S:
Smin=0.7597
При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов
определяем предварительно точечные оценки.
Предполагается, что экспериментальные значения xi измерены с
пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины Ui
независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ?2,
которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры Ui неизвестная
дисперсия оценивается по формуле:
Где r – число степеней свободы системы, равное разности между
количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок
коэффициентов, т.е. r = 3.
Оценка корреляционной матрицы имеет вид:
Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:
Где Sk – минор соответствующего диагонального элемента матрицы
нормальной системы;
? - главный определитель нормальной системы.
В нашем случае:
S0=3.5438 10-22
S1=-8.9667 10-14
S2=6.3247 10-7
Откуда:
Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к.
линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.
Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные
величины:
Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.
Выбираем доверительную вероятность ?=0,9 и по таблице Стьюдента находим
критическое значение ?? равное 2,35, удовлетворяющее равенству:
Доверительные интервалы для коэффициентов:
(2.4*)
В нашем случае примут вид:
2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи
регрессии.
Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (xi;Ui).
Предполагаем, что ошибки измерения xi пренебрежимо малы, а случайные ошибки
измерения температур Ui подчинены нормальному закону с постоянной
дисперсией ?2. Мы выбрали функцию регрессии в виде:
Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е.
функцией вида:
(2.5)
C помощью МНК можно найти оценки этих функций и несмещённый оценки
дисперсии отдельного измерения Ui для этих случаев:
Где r1 = 4 (количество точек – 6, параметра – 2).
Нормальная система уравнений для определения новых оценок коэффициентов
функции (2.5)с помощью МНК имеет вид:
(2.7)
Решая эту систему методом Гаусса, получим:
(2.8)
Чем лучше функция регрессии описывает эксперимент, тем меньше для неё
должна быть оценка дисперсии отдельного измерения Ui, т.к. при плохом
выборе функции в дисперсию войдут связанные с этим выбором дополнительные
погрешности. Поэтому для того, чтобы сделать выбор между функциями U(x) и
U(1)(x) нужно проверить значимость различия между соответствующими оценками
дисперсии, т.е. проверить гипотезу:
Н0 – альтернативная гипотеза
Т.е. проверить, значимо ли уменьшение дисперсии при увеличении степени
многочлена.
В качестве статического критерия рассмотрим случайную величину, равную:
(2.9)
имеющую распределение Фишера с(r ; r1) степенями свободы. Выбираем
уровень распределения Фишера, находим критическое значение F*?,
удовлетворяющее равенству: p(F>F*?)=?
В нашем случае F=349.02, а F*?=10,13.
Если бы выполнилось практически невозможное соотношение F>F?, имевшее
вероятность 0,01, то гипотезу Н0 пришлось бы отклонить. Но в нашем случае
можно ограничиться многочленом
, коэффициенты в котором неодинаковы.
3. Нахождение коэффициента теплопроводности ?.
Коэффициент ? вычислим по формуле (1.5), обозначим:
(3.1)
Определим допустимую абсолютную погрешность величины интеграла I,
исходя из требования, чтобы относительная погрешность вычисления ? не
превосходила 0,1%, т.е.:
(3.2)
Т.к. из (3.1) очевидно, что ?>?0, то условие (3.2) заведомо будет
выполнено, если:
(3.3)
Т.е. в качестве предельно допустимой абсолютной погрешности вычисления
интеграла I возьмём ?’0,001Т (3.4)
Т=218 оС, следовательно, ?’0,218 оС.
3.1 Вычисление интеграла I методом трапеции
Использование теоретической оценки погрешности
Для обозначения требуемой точности количества частей n, на которые
нужно разбить отрезок интегрирования [0;T] определяется по формуле:
, где M2’[f”(t)], t e [0;T], f(t)=e-bt3
Учитывая формулу (3.4) получаем:
(3.5)
Дифференцируя f(t), получим:
А необходимое условие экстремума: f”(t)-f’’’(t)=0, откуда получаем:
Далее вычисляем значения f’’(t) при t=t1, t=t2, t=0 и t=T, получаем:
f’’(t1)=1.5886 10-4
f’&rsqu
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
