Исследование RC-генератора синусоидальных колебаний
Другие рефераты
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Выполнить исследование RC-генератора синусоидальных колебаний
(Рисунок. 1)
[pic]
Рисунок 1
Генератор состоит из пассивной линейной части, включающей резисторы с
сопротивлением R и конденсаторы с емкостью С, и электронного усилителя с
нелинейной характеристикой.
Передаточная функция линейной части
[pic],
где [pic].
Нелинейная зависимость выходного напряжения [pic]усилителя от его
входного напряжения [pic] приведена в таблице 1
Таблица 1
|U1 |-0,12|-0,1|-0,07|-0,0|-0,02|0 |0,02|0,05|0,07|0,1 |0,12|
| |5 | |5 |5 |5 | |5 | |5 | |5 |
|U2 |3 |2,75|2,4 |1,73|1 |0,02|-1 |-1,7|-2,4|-2,7|-3 |
| | | | | | | | |3 | |5 | |
Численными экспериментами на ЭВМ найти зависимости:
периода Т установившихся автоколебаний от параметра [pic] ,
амплитуды U2max выходного напряжения U2(t) от [pic] ,
амплитуды An n-ой гармоники [pic] выходного напряжения от ее номера n
[pic],
коэффициента усиления электронного усилителя в режиме установившихся
автоколебаний от [pic].
Найденные экспериментально зависимости аппроксимировать степенными
многочленами.
Из зависимости [pic] найти значение [pic], необходимое для получения
периода автоколебаний [pic], и расчетом колебаний проверить правильность
полученного значения параметра [pic].
Для вывода графиков и таблиц разрешается использовать библиотечную
подпрограмму KRIS. Все остальные программные модули разработать
самостоятельно.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЧАСТИ
Запишем систему дифференциальных уравнений линейной части RC-
генератора. Для этого преобразуем ее передаточную функцию
[pic] ( 1 )
[pic] ( 2 )
Введем первую вспомогательную переменную [pic], определяемую из
уравнения
[pic]
( 3 )
Подставляя ( 3 ) в ( 2 ), получаем
[pic] ( 4 )
Сокращая на [pic] и группируя в правой части члены, не содержащие
[pic], получаем
[pic] ( 5 )
Введем вторую вспомогательную переменную [pic], определяемую из
уравнения
[pic]
( 6 )
Подставляя ( 6 ) в ( 5 ), получаем
[pic] ( 7 )
Снова сокращая на [pic] и группируя в правой части члены, не
содержащие [pic], получаем
[pic] ( 8
)
Введем третью вспомогательную переменную [pic], определяемую из
уравнения
[pic]
( 9 )
Подставляя ( 9 ) в ( 8 ) и сокращая на [pic], получаем
[pic]
( 10 )
Переходя в уравнениях ( 10 ), ( 9 ), ( 6 ), ( 3 ) от изображений
переменных к их оригиналам, получаем систему уравнений
[pic]
( 11 )
[pic]
( 12 )
[pic]
( 13 )
[pic]
( 14 )
Здесь [pic] - функция, определяемая нелинейной характеристикой
усилителя.
Так как генератор должен самовозбуждаться, то решение системы ( 11 ) -
( 14 ) можно выполнять от любых начальных условий, в том числе и от
нулевых.
2 Уравнение усилителя
Уравнение ( 11 ) представляет собой нелинейное уравнение, которое
необходимо решать при каждом вычислении правых частей системы.
Можно решать это уравнение методом итераций. Но есть более простой
путь.
Найдем из характеристики усилителя разности [pic], а затем построим
характеристику [pic] Значение [pic] известно сначала из начальных условий,
а затем при каждом обращении к вычислению правых частей системы и из
построенной нами характеристики всегда можно вычислить [pic] для
подстановки в правые части остальных уравнений.
Вычисленная характеристика представлена в таблице 2.
Таблица 2
|z3 |-3,12|-2,8|-2,47|-1,7|-1,02|-0,02|1,025|1,78|2,475|2,85|3,12|
| |5 |5 |5 |8 |5 | | | | | |5 |
|U1 |-0,12|-0,1|-0,07|-0,0|-0,02|0 |0,025|0,05|0,075|0,1 |0,12|
| |5 | |5 |5 |5 | | | | | |5 |
3 Конечно-элементная модель усилителя
Для построения квадратичного конечного элемента используем
интерполяционную формулу Лагранжа
[pic] ( 15 )
Для вычисления выходной величины автогенератора необходимо также по
формуле Лагранжа по заданному значению [pic] находить [pic].
[pic] ( 16 )
Данные в этом случае необходимо выбирать из таблицы 3, полученной из таблиц
1 и 2.
Таблица 3
|z3 |-3,12|-2,8|-2,47|-1,7|-1,02|-0,02|1,025|1,78 |2,47|2,85|3,125|
| |5 |5 |5 |8 |5 | | | |5 | | |
|U2 |3 |2,75|2,4 |1,73|1 |0,02 |-1 |-1,73|-2,4|-2,7|-3 |
| | | | | | | | | | |5 | |
ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА
Функционально программный комплекс должен состоять из двух независимых
частей:
программы - модели RC - генератора;
набора программ обработки результатов моделирования автогенератора.
Модель RC - генератора должна, в свою очередь, включать:
модуль, вызывающий подпрограмму метода Рунге - Кутта;
модули метода Рунге - Кутта;
модуль - модель усилителя;
модуль правых частей ;
модуль вывода результатов одного шага интегрирования.
Для программной реализации метода Рунге - Кутта удобно использовать
два модуля:
модуль, выполняющий один заданный шаг метода;
модуль, управляющий величиной шага в зависимости от получаемой
погрешности решения.
Взаимодействие этих модулей таково. Вызывающий модуль вводит значение
параметра [pic] , начало и конец интервала интегрирования, максимальный
шаг, начальные условия и заданную погрешность. Затем этот модуль обращается
к модулю управления метода Рунге - Кутта. Последний задает величину шага
подпрограмме одного шага и ведет процесс интегрирования системы уравнений,
удерживая погрешность в заданных пределах. При выполнения шага, в
соответствие с методом Рунге - Кутта, модуль шага четырежды обращается к
модулю правых частей, а тот, в свою очередь, - к модели усилителя в виде
функции [pic]. После выполнения шага, удовлетворяющего условиям точности,
модуль управления вызывает подпрограмму вывода результатов шага, а она, в
свою очередь обращается к модели усилителя в виде функции [pic]. Модуль
управления заканчивает свою работу после достижения конца интервала
интегрирования. Тогда вызывающий модуль обращается к подпрограмме вывода
таблиц и графиков KRIS.
В набор подпрограмм обработки результатов моделирования необходимо
включить две независимые программы:
программу численного интегрирования по методу трапеций;
программу аппроксимации экспериментальных зависимостей степенными
многочленами методом наименьших квадратов.
МОДУЛИ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1 Описание метода Рунге - Кутта четвертого порядка
Сначала рассмотрим применение метода для решения дифференциального
уравнения, а затем для случая системы уравнений.
Пусть имеется уравнение
[pic] или [pic]
где
[pic] - неизвестная функция от независимой переменной [pic];
[pic] - известная функция.
Все численные методы решения задачи Коши основаны на приближенной замене
искомой функции степенными многочленами.
В методе Рунге-Кутта четвёртого порядка отыскивается приращение,
которое даёт приближающий многочлен на шаге интегрирования. Приращение
искомой функции вычисляется в виде произведения длины шага на значение
производной от этой функции. В качестве производной берется
средневзвешенное от значений производных [pic] вычисленных в специально
подобранных четырёх точках.
В качестве первой точки берут начальную точку шага [pic].
Производная в этой точке равна
[pic] ,
где [pic] - правая часть уравнения .
В качестве второй точки на плоскости решения [pic] выбирают точку с
координатами [pic].
Производная во второй точке равна
[pic]
Для третьей точки берут координаты [pic] и вычисляют производную
[pic]
Наконец, для четвёртой точки берут координаты [pic] и вычисляют производную
[pic]
По полученным четырём значениям производной находят средневзвешенное
значение
[pic]
Теперь, находят координаты конечной точки шага.
[pic]
При решении системы уравнений вычисления ведут параллельно для
каждого из уравнений.
2 Описание алгоритма одного шага
В алгоритме используются следующие идентификаторы
Таблица 4
|Имя |Тип |Назначение
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
