Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Метод конечных разностей или метод сеток



 Другие рефераты
Метод Крамера Метод Симпсона Метод последовательных уступок (Теория принятия решений) Метод прогонки решения систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов

Значительнаое число задач физики и техники приводят к  дифференциальным
уравнениям  в  частных   прозводных   (уравнения   математической   физики).
Установившиеся   процессы   различной   физической    природы    описываются
уравнениями эллиптического типа.
    Точные  решения  краевых  задач  для  эллиптических  уравнений  удаётся
получить лишь в частных  случаях.  Поэтому  эти  задачи  решают  в  основном
приближённо.  Одним  из  наиболее  универсальных  и   эффективных   методов,
получивших в  настоящее  время  широкое  распространение  для  приближённого
решения уравнений математической физики, является метод  конечных  разностей
или метод сеток.
    Суть  метода  состоит  в  следующем.  Область  непрерывного   изменения
аргументов,  заменяется  дискретным  множеством   точек   (узлов),   которое
называется  сеткой  или  решёткой.  Вместо  функции  непрерывного  аргумента
рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки  и
называемые сеточными функциями.  Производные,  входящие  в  дифференциальное
уравнение и граничные  условия,  заменяются  разностными  производными,  при
этом краевая задача  для  дифференциального  уравнения  заменяется  системой
линейных или нелинейных алгебраических уравнений  (сеточных  или  разностных
уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами.  И  эти  схемы
решаются относительно неизвестной сеточной функции.
    Далее мы будем рассматривать применение  итерационного  метода  Зейделя
для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с  неоднородным
бигармоническим уравнением.



                              ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ


    Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :
                                      2
                                    U = f

    Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a,  0<=y<=b }. Пусть также заданы
краевые условия на границе области G .


    U     = 0                            Y
           x=0
                                b
    Uxxx       = 0
                   x=0
                                                         G

    Ux         = 0
        x=a
    Uxxx  = 0                                                         0
                                              a      X
          x=a

    U    = 0                      U   = 0
       y=0
                  y=b
    Uy        = 0                      Uxx  + Uyy    = 0
         y=0
                  y=b                  y=b



Надо решить эту задачу численно.
    Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя  для  решения
сеточных задач.
    По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx  и hy
соответственно .
                     Wx={ x(i)=ihx,  i=0,1...N,  hxN=a }
                     Wy={ y(j)=jhy,  j=0,1...M,  hyM=b }
    Множество  узлов  Uij=(x(i),y(j))  имеющих  координаты   на   плоскости
х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G  и обозначается :

       W={ Uij=(ihx,jhy),   i=0,1...N,   j=0,1...M,   hxN=a,  hyM=b }

Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i)  и y=y(j).
    Пусть задана сетка W.Множество всех  сеточных  функций  заданных  на  W
образует векторное пространство с определённом  на  нём  сложениемфункций  и
умножением  функции  на  число.  На  пространстве  сеточных  функций   можно
определитьразностные  или  сеточные  операторы.  0ператор   A  преобразующий
сеточную функцию  U  в  сеточную  функцию  f=AU  называется  разностным  или
сеточным  оператором.  Множество  узлов  сетки  используемое  при  написании
разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.
    Простейшим разностным оператором  является  оператор  дифференцирования
сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W -  сетка
с шагом  h введённая на R т.е.

                        W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2...}

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции   Yi=Y(Xi)
, Xi из W, определяется по формулам :

                     L1Yi  = Yi - Yi-1    , L2Yi=L1Yi+1
                                                               h

и называются соответственно левой и правой производной. Используется так  же
центральная производная :

                        L3Yi=Yi+1 - Yi-1  = (L1+L2)Yi
                                                                          2h
        2

Разностные операторы   A1,  A2,  A3  имеют  шаблоны  состоящие  2х  точек  и
используются  при  апроксимации  первой  производной  Lu=u’   .   Разностные
производные  n-ого порядка  определяются  как  сеточные  функции  получаемые
путём  вычисления  первой  разностной  производной  от  функции,  являющейся
разностной производной n-1 порядка, например :

                      Yxxi=Yxi+1 - Yxi = Yi-1-2Yi+Yi+1
                                          2
                                h                  h

                    Yxxi= Yxi+1-Yxi-1 = Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2
                                          2
                             2h                     4h

которые используются при апроксимации  второй  производной.  Соответствующие
разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.
    Анологично не представляет труда определить разностные  производные  от
сеточных функций нескольких переменных.
    Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим
к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.



                               МЕТОД   ЗЕЙДЕЛЯ


    Одним из способов  решения  сеточных  уравнений  является  итерационный
метод Зейделя.
    Пусть нам дана система линейных уравнений :

                                   AU  = f
или в развёрнутом виде :

                         M
                          aijUj   = fi  ,              i=1,2...M
                               i=1

Итерационный  метод  Зейделя  в  предположении  что  диагональные   элементы
матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде :

                  i               (k+1)        M          (k)
              aijYj       +       aijYj    = fi  ,   i=1,2...M
                 j=1                                 j=i+1
           (k)
где Yj - jая компонента  итерационного  приближения  номера  k.  В  качестве
начального приближения выбирается произвольный вектор.
    Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1

                             (k+1)         M          (k)
                          a11Y1 = -      a1jYj +f1
                                  j=2

                             (k+1)
Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :

                        (k+1)                 (k+1)      M              (k)
                    a22Y2 = - a21Y1 -         a2jYj  + f2
                                           j=3

                  (k+1)                   (k+1)                        (k+1)
            (k+1)
Пусть уже найдены  Y1        , Y2       ...   Yi-1 .    Тогда  Yi  находится
из уравнения :

                 (k+1)                          i-1                    (k+1)
 M                  (k)
             aiiYi   =   -            aijYj     -              aijYj      +
   fi                            (*)
                        j=1                                     j=i+1

Из формулы (*) видно ,  что  алгоритм  метода  Зейделя  черезвычайно  прост.
Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi.
    Оценим число арифметических действий, которое требуется для  реализации
одного итерационного шага. Если все aij не  равны  нулю,  то  вычисления  по
формуле (*)    требуют   M-1   операций    умножения   и   одного   деления.
Поэтому реализация


                             2
одного шага осуществляется за 2M -  M арифметических действий.
    Если отлично от нуля лишь m элементов,  а  именно  эта  ситуация  имеет
место для сеточных эллиптических уравнений, то на  реализацию  итерационного
шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число  действий  пропорционально  числу
неизвестных M.
    Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме.  Для  этого  представим
матрицу  A  в  виде  суммы  диагональной,  нижней  треугольной   и   верхней
треугольной матриц :

                                A = D + L + U

где

          0           0         .         .         .                     0
                0    a12  a13  .    .    . a1M
    a21                                                                   0
                0     0    a23  .    .    . a2M
    a31                               a32                                 0
                            0                    .
L                                   =                                      .
       U=                                          .
    .
                                                       .
    .
                                                 aM-1M
    aM1       aM2          .           .          .         aMM-1         0
        0                                  0


И матрица D - диагональная.
                           (k)     (k)                   (k)
    Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2  ...  YM  )  вектор  k-ого  итерационного
шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

                        (   D   +    L    )Yk+1    +     UYk    =    f    ,
k=0,1...

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

                       (   D   +   L   )(Yk+1   -   Yk)   +AYk   =   f    ,
k=0,1...

    Мы рассмотрели так называемый точечный  или  скалярный  метод  Зейделя,
анологично строится блочный или векторный метод  Зейделя  для  случая  когда
aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности,  а  aij
для i<>j - прямоугольные матрицы. В  этом  случае  Yi  и  fi  есть  векторы,
размерность которых соответствует размерности матрицы aii.



             
123
скачать работу


 Другие рефераты
Движение Талибан
Глобальное потепление
Образование в Германии
Локальные вычислительные сети. Операционная система NetWare фирмы Novell


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ