Метод конечных разностей или метод сеток
Другие рефераты
Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным
уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики).
Установившиеся процессы различной физической природы описываются
уравнениями эллиптического типа.
Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся
получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном
приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов,
получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого
решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей
или метод сеток.
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения
аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое
называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента
рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и
называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное
уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при
этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой
линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных
уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы
решаются относительно неизвестной сеточной функции.
Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя
для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным
бигармоническим уравнением.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :
2
U = f
Заданное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы
краевые условия на границе области G .
U = 0 Y
x=0
b
Uxxx = 0
x=0
G
Ux = 0
x=a
Uxxx = 0 0
a X
x=a
U = 0 U = 0
y=0
y=b
Uy = 0 Uxx + Uyy = 0
y=0
y=b y=b
Надо решить эту задачу численно.
Для решения будем использовать итерационный метод Зейделя для решения
сеточных задач.
По нашей области G построим равномерные сетки Wx и Wy с шагами hx и hy
соответственно .
Wx={ x(i)=ihx, i=0,1...N, hxN=a }
Wy={ y(j)=jhy, j=0,1...M, hyM=b }
Множество узлов Uij=(x(i),y(j)) имеющих координаты на плоскости
х(i),y(j) называется сеткой в прямоугольнике G и обозначается :
W={ Uij=(ihx,jhy), i=0,1...N, j=0,1...M, hxN=a, hyM=b }
Сетка W очевидно состоит из точек пересечения прямых x=x(i) и y=y(j).
Пусть задана сетка W.Множество всех сеточных функций заданных на W
образует векторное пространство с определённом на нём сложениемфункций и
умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно
определитьразностные или сеточные операторы. 0ператор A преобразующий
сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU называется разностным или
сеточным оператором. Множество узлов сетки используемое при написании
разностного оператора в узле сетки называется шаблоном этого оператора.
Простейшим разностным оператором является оператор дифференцирования
сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка
с шагом h введённая на R т.е.
W={Xi=a+ih, i=0, + 1, + 2...}
Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Yi=Y(Xi)
, Xi из W, определяется по формулам :
L1Yi = Yi - Yi-1 , L2Yi=L1Yi+1
h
и называются соответственно левой и правой производной. Используется так же
центральная производная :
L3Yi=Yi+1 - Yi-1 = (L1+L2)Yi
2h
2
Разностные операторы A1, A2, A3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и
используются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные
производные n-ого порядка определяются как сеточные функции получаемые
путём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся
разностной производной n-1 порядка, например :
Yxxi=Yxi+1 - Yxi = Yi-1-2Yi+Yi+1
2
h h
Yxxi= Yxi+1-Yxi-1 = Yi-2 - 2Yi+Yi+ 2
2
2h 4h
которые используются при апроксимации второй производной. Соответствующие
разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.
Анологично не представляет труда определить разностные производные от
сеточных функций нескольких переменных.
Аппроксомируем нашу задачу с помощью разностных производных. И применим
к получившейся сеточной задаче метод Зейделя.
МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ
Одним из способов решения сеточных уравнений является итерационный
метод Зейделя.
Пусть нам дана система линейных уравнений :
AU = f
или в развёрнутом виде :
M
aijUj = fi , i=1,2...M
i=1
Итерационный метод Зейделя в предположении что диагональные элементы
матрицы А=(aij) отличны от нуля (aii<>0) записывается в следующем виде :
i (k+1) M (k)
aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M
j=1 j=i+1
(k)
где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве
начального приближения выбирается произвольный вектор.
Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1
(k+1) M (k)
a11Y1 = - a1jYj +f1
j=2
(k+1)
Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :
(k+1) (k+1) M (k)
a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2
j=3
(k+1) (k+1) (k+1)
(k+1)
Пусть уже найдены Y1 , Y2 ... Yi-1 . Тогда Yi находится
из уравнения :
(k+1) i-1 (k+1)
M (k)
aiiYi = - aijYj - aijYj +
fi (*)
j=1 j=i+1
Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост.
Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi.
Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации
одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по
формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления.
Поэтому реализация
2
одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.
Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет
место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного
шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу
неизвестных M.
Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим
матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней
треугольной матриц :
A = D + L + U
где
0 0 . . . 0
0 a12 a13 . . . a1M
a21 0
0 0 a23 . . . a2M
a31 a32 0
0 .
L = .
U= .
.
.
.
aM-1M
aM1 aM2 . . . aMM-1 0
0 0
И матрица D - диагональная.
(k) (k) (k)
Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2 ... YM ) вектор k-ого итерационного
шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :
( D + L )Yk+1 + UYk = f ,
k=0,1...
Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :
( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f ,
k=0,1...
Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя,
анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда
aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij
для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы,
размерность которых соответствует размерности матрицы aii.
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
