Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Практическое применение производной



 Другие рефераты
Правильные многогранники Правильные многогранники или тела Платона Представление чисел в виде суммы двух квадратов Преобразования плоскости, движение

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского
математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в
ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться
в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого
Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

                          1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в
промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение
?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при
?x > 0, называется производной от функции f(x).
                                 y'(x)=[pic]

            1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

|C' = 0               |(xn) = nxn-1      |(sin x)' = cos x       |
|x' = 1               |(1 / x)' = -1 / x2|(cos x)' = -sin x      |
|(Cu)'=Cu'            |(?x)' = 1 / 2?x   |(tg x)' = 1 / cos2 x   |
|(uv)' = u'v + uv'    |(ax)' = ax ln x   |(ctg x)' = 1 / sin2 x  |
|(u / v)'=(u'v - uv') |(ex)' = ex        |(arcsin x)' = 1 / ? (1-|
|/ v2                 |                  |x2)                    |
|                     |(logax)' = (logae)|(arccos x)' = -1 / ?   |
|                     |/ x               |(1- x2)                |
|                     |(ln x)' = 1 / x   |(arctg x)' = 1 / ? (1+ |
|                     |                  |x2)                    |
|                     |                  |(arcctg x)' = -1 / ?   |
|                     |                  |(1+ x2)                |


                     2. Геометрический смысл производной

                          2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к
точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN,
если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При
некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на
кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его
значению соответствует значение функции  y0 + ?y = f(x0 + ?x).
Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и
обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.
Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к
0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться
вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к
некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным
направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее
угловой коэффициент:
                                    [pic]
То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно
тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox
касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное
определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция
задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут
равны частным производным f по x и y.

                  2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,
содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,
проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо
обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности
некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
                        x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в
тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство
инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение
по t:
                                    [pic]
Уравнения касательной  к кривой L в точке M имеют вид:
                                    [pic]
Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим
дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
                  F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
                     Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида
                                    [pic]
Решение:
                     Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
            Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

                    3. Использование производной в физике

скачать работу


 Другие рефераты
Жизненный путь Поля Гогена
Мухтар Ауэзов
Кения
Магнитные структуры в кристаллических и аморфных веществах


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ