Преобразования плоскости, движение
Другие рефераты
Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой
точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости,
причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке.
Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру
F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз
фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а
затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в
F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения
называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя.
Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным
отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры
соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно
однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры F взаимно однозначным
отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое
определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f
является тождественным отображением. Существует множество видов отображения
плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них:
Движения
. Параллельный перенос
. Осевая симметрия
. Поворот вокруг точки
. Центральная симметрия
Подобие
. Гомотетия
Движение
Движением называется отображение плоскости на себя при которром
сохранаяются все расстояния между точками. Движение имеет ряд важных
свойств:
Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки,
лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят
в три точки, не лежащие на одной прямой.
Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B',
C'. Тогда выполняются равенства
A'B'=AB , A'C'=AC , B'C'=BC (1)
Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка
B лежит между двумя другими. В этом случае AB+BC=AC, и из равенств (1)
следует, что A'C'+B'C'=A'C'. А из этого следует, что точка B' лежит между
точками A' и C'. Первое утверждение доказано. Второе утверждение докажем
методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной
прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то
есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства
треугольника:
AB0 называется отображение плоскости, при
котором любым двумя точкам X и Y соответсвуют такие точки X' и Y', что
X'Y'=kXY.
Отметим, что при k=1 подобие является движением, то есть движение есть
частный случай подобия.
Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует
подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'.
Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия
Гомотетия
Гомотетией с центром в точке O и коэффициентом k называется такое
отображение плоскости, при котором каждой точке X сопоставляется такая
точка X', что OX' = kOX, причем не ислючается и возможность k<0.
При k =(1 получается центральная симметрия с центром в точке O, при k =1
получается тождественное преобразование.
Основное свойство гомотетии
При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на (.
Подробнее: если точки ( и ( при гомотетии с коэффффициентом ( перешли в
точки (' и (', то
('(' = (((
Доказательство.
Пусть точка ( ( центр гомотетии. Тогда ((' = (((, ((' = (((. Поэтому ('('
= ((' ( ((' = ((( ( ((( = (((( ( (() = (((.
Из равнетсва ('(' = ((( следует, что A'B' = |k|AB, то есть гомотетия с
коэффициентом k является подобием с коэфффициентом |k|.
Отметим, что любое подобие с коэффициентом ( можно представить в виде
композиции гомотетии с коэффициентом ( и движения.
Некоторые свойства гомотетии
Гомотетия отрезок переводит в отрезок.
Гомотетия сохраняет величину углов.
.
Композиция двух гомотетий с общим центром и коэффициентами k1 и k2 ,будет
гомотетией с тем же центром и коэффициентом Преобразование, обратное
гомотетии с коэффициентом ( будет гомотетией с тем же центром и
коэффициентом 1/k.
Свойства подобия.
Подобие отрезок переводит в отрезок.
Подобие сохраняет величину углов.
Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны этих
треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны
В результате подобия с коэффициентом ( площади фигур умножаются на (2.
Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом
k1k2.
Подобие обратимо. Отображение, обратное подобию с коэффициентом ( есть
подобие с коэффициентом 1/(.
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
