 |
|
Приближённые методы решения алгебраического уравнения
sp; [pic]
(10.5)
Таким образом, функция ((x) удовлетворяет на отрезке [c-(, c+(] (
[a, b] условию Липшица с постоянной (=0.5<1. Это означает, что уравнение
(5.5) можно решать методом итераций: при любом выборе нулевого приближения
x0 на отрезке [c-(, c+(] существует бесконечная последовательность {xn},
xn+1=((xn), n=0, 1, 2, …, сходящаяся к корню x=c.
Теперь нам остаётся заметить, что итерационной
последовательностью для уравнения (5.5), сходимость которой мы только что
установили, является последовательность (3.5) метода касательных. Теорема
доказана.
Требование близости нулевого приближения x0 к искомому корню c
является существенным для метода касательных. На рис.2.5 изображён график,
где х0 выбрано неправильно, то есть расстояние сх0>ас, так как ас<( и
затем продолжают расчёт до тех пор, пока | xn+ 1-xn | убывают. Первое же
возрастание обычно означает начало «разболтки»; тогда расчёт прекращают и
последнюю итерацию не используют.
8. Метод хорд, или линейной аппроксимации
Рассмотрим задачу решения уравнения (1.1) методом хорд.
Этот метод состоит в следующем. График функции f(x) заменяется
её хордой, т. е. отрезком соединяющий концевые точки графика функции f(x):
точки (a, f(a)) и (b, f(b)). Абсцисса х1 точки пересечения этой хорды с
осью Ох и рассматривается, как первое приближение искомого корня (рис 1.8).
Далее берётся тот из отрезков [a, x1] и [x1, b], на концах которого,
функция f(x) принимает значения разного знака (далее будет показано, что
при сделанных предположениях f(x) ( 0 и, следовательно, такой отрезок
всегда существует), и к нему применяется тот же приём; получается
второе приближение корня х2
и т. д. В результате образуется последовательность хn, n=1, 2, …
которая, как это будет по-
казано, при сделанных ограничениях на функцию f(x), сходится к корню
уравнения f(x).
Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел хn, n=1, 2,…
Уравнение пря-
мой, проходящее через крайние точки графика функции f(x) имеет вид:
[pic] (1.8)
Обозначим его правую часть через l(x), т. е. Запишем уравнение в
виде:
y = l(x)
Найдём абсциссу х1 точки пересечения прямой (1.8) с осью Ох, т.
е. Решим уравнение l(x)=0; получим:
[pic]
(2.8)
Легко убедится, что:
a < x1 < b (3.8)
Это, например, следует из строгой монотонности и непрерывности
функции l(x) и того, что на концах отрезка [a, b] она принимает значения
разного знака: l(a)=f(a) и l(b)=f(b).
Аналогично находим
[pic] n=1, 2, …
(4.8)
Покажем, что последовательность {xn} стремится к корню уравнения
(1.0) монотонно.
Предположим для определённости, что f ((x) и f (((x) >0, a f(x), a > x > b
В частности, если х0 корень уравнения (1.1): f(x0) = 0, отсюда
следует, что
l(x0) > 0
C (3.8) и (4.8) получаем:
l(x) = 0, a > x1 > b
Таким образом,
l(x1)
< l(x0)
(5.8)
но линейная функция l(x) строго монотонно возрастает, так как
l(b) = f(b) > f(a) = l(a)
поэтому из (5.8) следует x1 < x0 , заменяя теперь отрезок [a, b] отрезком
[x1, b] и замечая, что f(x1) < 0 , аналогично можно доказать, что x1 < x2 <
x0, далее по индукции получим:
x1 < x2 < … < xn < … < x0,
Таким образом, последовательность {xn}, будучи монотонной, сходится. Пусть
lim xn = c, при n(( . Переходя к пределу при n(( в равенстве (4.8) получим
f(c)=0, т. е. последовательность {xn} сходится к корню уравнения (1.1).
| | |  скачать работу |
Приближённые методы решения алгебраического уравнения |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
