Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Приближённые методы решения алгебраического уравнения

0  и  запишем  в  ней  уравнение
касательной к графику функции f(x):

                                                                 y=f(x0)+ f
((x) (x-x0)                                                       (1.5)

          Графики функции f(x) и её касательной близки около точки  касания,
поэтому естественно ожидать, что точка x1 пересечения касательной с осью  Ox
будет расположена недалеко от корня  c (рис. 1.5)

         Для определения точки имеем уравнение:

                          f(x0)+ f ((x0) (x1-x0)=0

таким образом:                                    x1=x0 – f (x0)/ f ((x0)
                                                       (2.5)

         Повторим  проделанную процедуру: напишем уравнение  касательной   к
графику функции f(x) при x=x1 и найдём для неё точку пересечения x2  с  осью
Ox  (см. рис.1.5)        x2=x1 – f (x1)/ f ((x1).  Продолжая  этот  процесс,
получим последовательность  {xn},  определён-  ную  с  помощью  рекуррентной
формулы:

                                                       xn+ 1=xn – f (xn)/ f
((xn), n=0, 1, 2, …                                        (3.5)


         При исследовании этой последовательности, как и  последовательности
метода итераций, встают два вопроса:

   1) Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать  неограниченно, т.  е.
      будут ли числа xn принадлежать  отрезку [a, b] ?
   2)   Если   процесс   (3.5)   бесконечен,    то     как     ведёт    себя
      последовательность {xn}  при n(( ?
                       рис. 1.5
      Построение последовательности

      {xn}по методу касательных



           При анализе этих вопросов предположим, что  корень  x=c  является
внутренней  точкой  отрезка  [a,  b]  (a0,  | f
(((x)|(M,  x([a, b],                                      (4.5)

и докажем следующую теорему.

         Теорема о сходимости метода касательных.

         Если функция f(x) удовлетворяет  условиям,  сформулированным  п.1.,
то найдётся  такое                  (:  0<((min(c–a,  b–c),  что  при  любом
выборе начального приближения на отрезке                  [c-(, c+(]  (  [a,
b]  существует  бесконечная  итерационная  последовательность  (3.5)  и  эта
последовательность сходится к корню c.

         Доказательство. В силу предположения о  дифференцируемости  функции
f(x)  и  не  равенстве  нулю  её  производной  f   ((x)   уравнение   f(x)=0
эквивалентно на отрезке [a, b] уравне-     нию:

                                                           x=((x), ((x)=x–
f (x)/ f ((x)                                                  (5.5)

так что корень x=c исходного уравнения является одновременно корнем
уравнения (5.4).
         Исследуем возможность отыскания этого корня с помощью итераций.
         Вычислим производную функции ((x):

                                           [pic]
  (6.5)

и оценим полученное выражение. Согласно неравенствам (4.5):

                                                              [pic]
                                               (7.5)
          Для  дальнейшей  оценки   |[pic]|   воспользуемся   непрерывностью
функции f(x) и равенством её нулю в точке x= с:

                                                                 [pic]
                                                 (8.5)

          Положим (=m2/(2M)
          Тогда в силу (8.5) для данного ( можно указать такое (:  0<((  min
(c–a, b–c), что для всех [pic] выполняется неравенство:

                                                           [pic]
                             (9.5)

          Учитывая это, получим:

   &nb
12345След.
скачать работу

Приближённые методы решения алгебраического уравнения

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ