 |
|
Приближённые методы решения алгебраического уравнения
0 и запишем в ней уравнение
касательной к графику функции f(x):
y=f(x0)+ f
((x) (x-x0) (1.5)
Графики функции f(x) и её касательной близки около точки касания,
поэтому естественно ожидать, что точка x1 пересечения касательной с осью Ox
будет расположена недалеко от корня c (рис. 1.5)
Для определения точки имеем уравнение:
f(x0)+ f ((x0) (x1-x0)=0
таким образом: x1=x0 – f (x0)/ f ((x0)
(2.5)
Повторим проделанную процедуру: напишем уравнение касательной к
графику функции f(x) при x=x1 и найдём для неё точку пересечения x2 с осью
Ox (см. рис.1.5) x2=x1 – f (x1)/ f ((x1). Продолжая этот процесс,
получим последовательность {xn}, определён- ную с помощью рекуррентной
формулы:
xn+ 1=xn – f (xn)/ f
((xn), n=0, 1, 2, … (3.5)
При исследовании этой последовательности, как и последовательности
метода итераций, встают два вопроса:
1) Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е.
будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?
2) Если процесс (3.5) бесконечен, то как ведёт себя
последовательность {xn} при n(( ?
рис. 1.5
Построение последовательности
{xn}по методу касательных
При анализе этих вопросов предположим, что корень x=c является
внутренней точкой отрезка [a, b] (a0, | f
(((x)|(M, x([a, b], (4.5)
и докажем следующую теорему.
Теорема о сходимости метода касательных.
Если функция f(x) удовлетворяет условиям, сформулированным п.1.,
то найдётся такое (: 0<((min(c–a, b–c), что при любом
выборе начального приближения на отрезке [c-(, c+(] ( [a,
b] существует бесконечная итерационная последовательность (3.5) и эта
последовательность сходится к корню c.
Доказательство. В силу предположения о дифференцируемости функции
f(x) и не равенстве нулю её производной f ((x) уравнение f(x)=0
эквивалентно на отрезке [a, b] уравне- нию:
x=((x), ((x)=x–
f (x)/ f ((x) (5.5)
так что корень x=c исходного уравнения является одновременно корнем
уравнения (5.4).
Исследуем возможность отыскания этого корня с помощью итераций.
Вычислим производную функции ((x):
[pic]
(6.5)
и оценим полученное выражение. Согласно неравенствам (4.5):
[pic]
(7.5)
Для дальнейшей оценки |[pic]| воспользуемся непрерывностью
функции f(x) и равенством её нулю в точке x= с:
[pic]
(8.5)
Положим (=m2/(2M)
Тогда в силу (8.5) для данного ( можно указать такое (: 0<(( min
(c–a, b–c), что для всех [pic] выполняется неравенство:
[pic]
(9.5)
Учитывая это, получим:
&nb
| |  скачать работу |
Приближённые методы решения алгебраического уравнения |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
