Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Приближённые методы решения алгебраического уравнения



 Другие рефераты
Преобразования плоскости, движение Преобразования фигур Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева Приближенное вычисление определенных интегралов

 1. Численное решение уравнений с одним неизвестным


          В данной работе рассматриваются  метода  приближённого  вычисления
действительных корней алгебраического или трансцендентного уравнения


f(x)=0
(1.1)

на заданном отрезке [a, b].

         Уравнение называется алгебраическим,  если  заданная  функция  есть
полином n-ой степени:

         f(x) = P(x) = a0xn + a1xn- 1 + … + an-1 x + an = 0,  a0 ( 0

         Требование a0 ( 0  обязательно,  так  как  при  невыполнении  этого
условия данное уравнение будет на порядок ниже.
         Всякое уравнение  (1.1)  называется  трансцендентным,  если  в  нём
невозможно явным образом найти неизвестное, а можно лишь приближённо.
         Однако в число алгебраических уравнений  можно  также  включить  те
уравнения,  которое  после  некоторых  преобразований,  можно   привести   к
алгебраическому.
          Те  методы,  которые  здесь  рассматриваются,  применимы,  как   к
алгебраическим уравнениям, так и к трансцендентным
.
         Корнем  уравнения (1.1) называется такое число (, где f(()=0.
         При определении  приближённых  корней  уравнения  (1.1)  необходимо
решить две задачи:

   1) отделение корней, т. е. определение достаточно  малых  промежутков,  в
      каждом из  которых  заключён  один  и  только  один  корень  уравнения
      (простой и кратный);

   2) уточнение корней с заданной точностью (верным  числом  знаков  до  или
      после запятой);

           Первую  задачу  можно  решить,  разбив   данный   промежуток   на
достаточно большое количество промежутков,  где  бы  уравнение  имело  ровно
один корень: на концах промежутков имело значения  разных  знаков.  Там  где
данное условие не выполняется, те промежутки откинуть.
         Вторая задача решается непосредственно в методах рассмотренных
ниже.

         При графическом отделении корней уравнения  (1.1)  нужно  последнее
преобразовать к виду:

(1(x)=(2(x)
(2.1)

и построить графики функций y1=(1(x),  y2=(2(x).

          Действительно,  корнями уравнения (1.1)

                          f(x) = (1(x) - (2(x) = 0

являются абсциссы точек пересечения этих графиков (и только они).
          Из всех способов, какими можно  уравнение  (1.1)  преобразовать  к
виду (2.1) выбираем тот, который обеспечивает  наиболее  простое  построение
графиков y1=(1(x) и  y2=(2(x). В частности можно взять (2(x)  =  0  и  тогда
придём к построению графика функции  (1.1),  точки  пересечения  которого  с
прямой y2=(2(x)=0, т. е. с осью абсцисс,  и  есть  искомые  корни  уравнения
(1.0).

          Условия, наложенные на функцию f(x) на  отрезке [a, b].
          Будем предполагать, что функция  f(x) непрерывна  на  отрезке  [a,
b] (для метода хорд  можно  потребовать  на  интервале)   и  имеет  на  этом
интервале первую и вторую производные,  причём  обе  они  знакопостоянны  (в
частности отличны от нуля). Будем  также  предполагать,  что  функция   f(x)
принимает на концах отрезка значения разного знака. В силу  знакопостоянства
первой производной функция f(x)  строго  монотонна,  поэтому  при  сделанных
предположениях уравнение (1.1) имеет в точности  один  корень  на  интервале
    (a, b).


                             2. Метод дихотомии

         Этот метод ещё называется методом вилки.

         Нам необходимо найти корень уравнения  (1.1)  на  отрезке  [a,  b].
Рассмотрим отрезок   [x0, x1]: [x0, x1]([a, b]. Пусть мы нашли  такие  точки
х0, х1, что f (х0) f(х1) ( 0, т. е. на  отрезке  [х0,  х1]  лежит  не  менее
одного корня уравнения. Найдём  середину  отрезка  х2=(х0+х1)/2  и  вычислим
f(х2).  Из двух половин  отрезка  выберем  ту,   для   которой   выполняется
условие
 f (х2) f(хгран.) ( 0, так как один из корней лежит на этой половине.  Затем
новый отрезок делим  пополам  и  выберем  ту  половину,  на  концах  которой
функция имеет разные знаки, и т. д.  (рис 1.2).

          Если требуется найти корень с точностью Е, то про-
должаем деление пополам до тех пор, пока  длина отрезка
не станет меньше 2Е. Тогда  середина последнего отрезка
даст значение корня с требуемой точностью.

          Дихотомия  проста  и  очень  надёжна.  К  простому
корню она  сходится  для  любых  непрерывных  функций
в том числе и не дифференцируемых; при этом она устой-
чива  к ошибкам округления. Скорость сходимости не ве-
лика; за одну итерацию  точность  увеличивается пример-
но вдвое, т. е. уточнение трёх  цифр требует 10 итераций.
Зато точность ответа гарантируется.
                            рис. 1.2

          Приступим к доказательству  того,  что  если  непрерывная  функция
принимает на концах некоторого отрезка [a, b]  значения  разных  знаков,  то
методом дихотомии однозначно будет найден корень.
         Предположим для определённости,  что  функция   f(x)  принимает  на
левом  конце  отрезка  [a,  b]  отрицательное  значение,  а  на   правом   –
положительное:

                            f(a) < 0,  f(b) > 0.

          Возьмём  среднюю  точку  отрезка  [a,  b],  h=(a+b)/2  и  вычислим
значение в ней функции f(x). Если f(h)=0, то утверждение  теоремы  доказано:
мы нашли такую точку, где функция обращается в нуль. Если f(h)( 0, тогда  из
отрезков [a, h] и [h, b] выберем один из них тот, где функция на его  концах
принимает значения разных знаков. Обозначим его  [a1,  b1].  По  построению:
f(a1)<0, f(b1)>0. Затем среднюю точку отрезка [a1, b1] точку h1  и  проведём
тот же алгоритм нахождения другого отрезка [a2, b2]  где  бы  по  построению
f(a2)<0, f(b2)>0.              Будем продолжать этот процесс.  В  результате
он либо оборвётся на некотором шаге n в силу того, что f(hn)=0,  либо  будет
продолжаться неограниченно. В первом случае  вопрос  о  существовании  корня
уравнения f(x)=0 решён, поэтому рассмотрим второй случай.

             Неограниченное  продолжение  процесса  даёт  последовательность
отрезков [a, b],        [a1, b1], [a2, b2

12345След.
скачать работу


 Другие рефераты
Консолидирование задолженности
Личность как субъект и объект политики
Стратегический маркетинг в организации
Тәуелсіздік бізге бәрінен де қымбат


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ