Приложения производной
По закону Ома сила тока в цепи есть [pic] [pic]
выделяемая в потребителе мощность P=I2R, то есть [pic]
Исследуем функцию P(R) на наибольшее с помощью производной: [pic] P’(R) =
0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее
значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при
сопротивлении R =50 Ом.
Ответ: 50 Ом
9. Применение производной в алгебре
9.1. Применение производной к доказательству неравенств.
Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств
основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и
знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:
Теорема 1. Если функция [pic]на некотором интервале [pic]имеет
производную [pic]всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно возрастает; если
же [pic] всюду на [pic], то [pic]на [pic]монотонно убывает.
Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:
Теорема 2. Если на промежутке [pic] выполняется неравенство [pic],
функция [pic]и [pic]непрерывны в точке [pic] и [pic], то на [pic]
выполняется неравенство [pic].
Предлагаю несколько задач на доказательство неравенств с использованием
этих теорем.
Задача 1. Пусть [pic].Докажите истинность неравенства [pic]. (1)[pic]
Решение: Рассмотрим на [pic] функцию [pic]. Найдем ее производную: [pic].
Видим, что [pic]при [pic]. Следовательно, [pic] на [pic] убывает так, что
при [pic] [pic]. Но [pic] [pic] Следовательно неравенство (1) [pic]
верно.
Задача 2. Пусть [pic] и [pic]положительные числа, [pic] Тогда очевидно,
что [pic], [pic]. Можно ли гарантировать, что неравенство [pic] (2)
верно а) при [pic]; б) при [pic]?
Решение: а) Рассмотрим функцию [pic]. Имеем: [pic]
Отсюда видно, что при [pic]функция [pic]возрастает. В частности, она
возрастает на интервале [pic] Поэтому при [pic] неравенство (2)
справедливо.
б) на интервале [pic] [pic], т.е. [pic] убывает. Поэтому при любых [pic] и
[pic], для которых [pic], неравенство (2) неверно, а верно неравенство
противоположного смысла: [pic]
Задача 3. Доказать неравенство: [pic] при [pic] (3).
Воспользуемся теоремой 2. [pic] и [pic], верно неравенство [pic]: [pic]
на промежутке [pic]и выполнимо условие [pic] где [pic], в данном случае
равно 0. Следовательно неравенство (3) верно.
Задача 4. Доказать неравенство: [pic] [pic] (4).
Решение: [pic], [pic]; [pic]
Неравенство [pic] при любых [pic] верно. Значит неравенство (4) верно.
Задача 5. Доказать, что если [pic], то [pic] (5).
Решение: Пусть [pic] Тогда
[pic]
Чтобы найти, при каких значениях [pic] функция [pic]положительная,
исследуем ее производную [pic]. Так как при [pic] [pic] то [pic]
Следовательно, функция [pic]возрастает при [pic]. Учитывая, что [pic] и
[pic] непрерывна, получаем [pic], при [pic].
Поэтому [pic] возрастает на рассматриваемом интервале. Поскольку [pic]
непрерывна и [pic] то [pic] при [pic]. Неравенство (5) верно.
Задача 6. Выясним, что больше при [pic]: [pic] или [pic].
Решение: Предстоит сравнить с числом 1 дробь [pic].
Рассмотрим на [pic] вспомогательную функцию [pic].
Выясним, будет ли она монотонна на отрезке [pic]. Для этого найдем ее
производную (по правилу дифференцирования дроби):
[pic]
[pic] при [pic].
В силу теоремы 1 функция [pic] вырастает на отрезке [pic]. Поэтому, при
[pic] [pic] т.е. [pic]
[pic] при [pic].
При решении задачи (6) встретился полезный методический прием, если нежно
доказать неравенство, в котором участвует несколько букв, то часто
целесообразно одну из букв (в данном примере это была буква [pic]) считать
применимой (чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы ее заменяли буквой
[pic], а значение остальных букв (в данном случае значение буквы [pic])
считать фиксированными. Иногда приходится при решении одной задачи
применить указанный прием несколько раз.
Задача 7. Проверить, справедливо ли при любых положительных [pic]
неравенство: [pic] (6).
Решение: Пусть [pic] Рассмотрим функцию
[pic].
При [pic] имеем [pic].
Отсюда видно (теорема 1), что [pic] убывает на [pic] Поэтому при
[pic]имеем [pic] т.е. мы получили неравенство:
[pic] (7).
Теперь рассмотрим другую вспомогательную функцию [pic]. При [pic]
имеем: [pic]
Следовательно, [pic]убывает на [pic], т.е. [pic] при [pic] значит, [pic]
(8),
Из неравенств (7) и (8) следует неравенство (6). Для выяснения истинности
неравенств иногда удобно воспользоваться следующим утверждением, которое
непосредственно вытекает из теоремы 1:
Теорема 3: Пусть функция [pic] непрерывна на [pic]и пусть имеется такая
точка с из [pic], что [pic]на [pic] и [pic]на [pic]. Тогда при любом х из
[pic] справедливо неравенство [pic] причем равенство имеет место лишь при
[pic].
Задача 8. Проверьте, справедливо ли для всех действительных х следующее
неравенство: [pic][pic]
Решение: Выясним, где функция возрастает, а где убывает. Для этого найдем
производную:
[pic].
Видно, что [pic] на [pic] и [pic] на [pic]. Следовательно, в силу теоремы
3 т.е. неравенство (9) справедливо, причем равенство имеет место лишь при
[pic].
9.2. Применение производной в доказательстве тождеств.
Доказательства тождества можно достигнуть иногда, если воспользоваться
одним очевидным замечанием:
Если на некотором интервале функция тождественно равна постоянной, то ее
производная на этом интервале постоянно равна нулю:
[pic] на [pic] на [pic].
Задача 1. Проверить тождество:
[pic] (1)
Доказательство: Рассмотрим функцию
[pic]
Вычислим ее производную (по х):
[pic]
Поэтому (замечание) [pic]. Следовательно, [pic] что равносильно тождеству
(1).
Задача 2. Проверить тождество:
[pic] (2)
Доказательство: Рассмотрим функцию
[pic]
Докажем, что [pic]
Найдем ее производную:
[pic]
[pic][pic][pic]
Значит[pic]. При х=0 [pic],следовательно,тождество (2) верно.
В связи с рассмотренными примерами можно отметить, что при нахождении
постоянной, интегрирования С полезно фиксировать значения переменной, по
которой производится дифференцирование, таким образом, чтобы получить
возможно более простые выкладки.
9.3. Применение производной для упрощения алгебраических и
тригонометрических выражений.
Прием использования производной для преобразования алгебраических и
тригонометрических выражений основан на том, производная иногда имеет
значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она
легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного
выражения:
Задача 1 Упростить выражение: [pic]
Решение: Обозначив данное выражение [pic] будем иметь:
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Таким образом, заданное выражение (1) равно [pic].
Задача 2. Упростить выражение:
[pic]
Решение: Обозначив это выражение через [pic], будем иметь:
[pic]
отсюда [pic].
и при [pic]получаем: [pic]
Так что [pic]
Задача 3. Упростить запись функции:
[pic] (2)
Решение: Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к
относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться
производной:
[pic]
Отсюда [pic]
Найдём [pic]: [pic]
Таким образом функция (2) равна [pic]
Задача 4. Упростить запись многочлена:
[pic] (3)
Решение: Обозначим многочлен (3) через [pic] и найдём последовательно
первую и вторую производные этой функции:
[pic]
[pic]
Ясно, что [pic] Поэтому [pic], где [pic], найдём [pic]: при [pic] [pic],
[pic].
9.4.Разложение выражения на множители с помощью производной.
Задача 1. Разложить на множители выражение:
[pic] (1)
Решение: Считая [pic]переменной, а [pic] и [pic] постоянными
фиксированными (параметрами) и обозначая заданное выражение через [pic],
будем иметь:
[pic]
Поэтому [pic] (2)
где [pic]- постоянная, т.е. в данном случае - выражение, зависящее от
параметров [pic] и [pic]. Для нахождения [pic] в равенстве [pic] положим
[pic] тогда [pic].
Получим [pic]
Задача 2. Разложить на множители выражение:
[pic] (3)
Решение: Поскольку переменная [pic] входит в данное выражение в наименьшей
степени, рассмотрим его, как функцию [pic] и будем иметь:
[pic]
[pic] получим:
[pic]
Таким образом, исходное выражение (3) равно [pic]
Задача 3. Разложить на множители выражение:
[pic]
Решение: Обозначив данное выражение через [pic] и считая [pic] и [pic]
постоянными, получим:
[pic]откуда [pic], где [pic] зависит только от [pic] и [pic]. Положив в
этом тождестве [pic], получим [pic] и
[pic]
Для разложения на множители второго множителя используем тот же приём, но
в качестве переменной рассмотрим [pic], поскольку эта переменная входит в
меньшей степени, чем [pic]. Обозначая его через [pic] и считая [pic] и
[pic]постоянными, будем иметь:
[pic]
отсюда: [pic]
[pic]
[pic]
Таким образом исходное выражение (4) равно
[pic]
9.5. Применение производной в вопросах существования корней уравнений.
С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение.
Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение
её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных
функций:
Задача 1. Если функция [pic] возрастает или убывает на некотором
промежутке, то на этом промежутке уравнение [pic] имеет не более одного
корня.
[pic] (1)
Решение: Область определения данного уравнения - промежуток [pic]
определение на этом промежутке функцию [pic], полож
| |  скачать работу |
Приложения производной |
