Приложения производной
казывает, на сколько
процентов изменится спрос на i-тый товар Qi если доход, предназначенный на
текущее потребление, изменится на 1%: [pic].
Можно привести и другие примеры использования производной при фокусировке
различных категорий и закономерностей. Дальнейшее раскрытие экономического
смысла хотелось бы осуществить через рассмотрение экономической
интерпретации математических теорем.
7.2. Применение производной в экономической теории.
Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что
многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления,
спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.
Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если
дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или
наименьшего значения во внутренней точке x0 этого промежутка, то
производная функции в этой точке равна нулю, то есть f’(x0) = 0.
Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для
производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных
издержек и предельного дохода".
То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если
MC(Qo)=MR(Qo), где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.
Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) — C(Q), где R –
прибыль, а C – общие издержки производства.
Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором
прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция
П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П’(Q) = 0.
Но П’(Q)=R’(Q) - C’(Q), поэтому R’(Qo) = C’(Qo), откуда следует, что MR(Qo)
= MC(Qo).
Другое важное понятие теории производства - это уровень наиболее
экономичного производства, при котором средние издержки по производству
товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: “оптимальный
объем производства определяется равенством средних и предельных издержек”.
Получим это условие как следствие сформулированной выше теоремы. Средние
издержки AC(Q) определяются как [pic], т.е. издержки по производству всего
товара, деленные на произведенное его количество. Минимум этой величины
достигается в критической точке функции y=AC(Q), т.е. при условии [pic],
откуда TC’(Q)Q—TC(Q) = 0 или [pic], т.е. MC(Q)=AC(Q).
Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в
экономической теории.
Один из наиболее знаменитых экономических законов - закон убывающей
доходности - звучит следующим образом: "с увеличением производства
дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает".
Иными словами, величина [pic], где (y - приращение выпуска продукции, а
(x - приращение ресурса, уменьшается при увеличении x. Таким образом, закон
убывающей доходности формулируется так: функция y= f(x), выражающая
зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией,
выпуклой вверх.
Другим базисным понятием экономической теории является функция полезности
U= U(x), где х - товар, а U – полезность (utility). Эта величина очень
субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная
для общества в целом. Закон убывающей полезности звучит следующим образом:
с ростом количества товара, дополнительная полезность от каждой новой его
единицы с некоторого момента убывает. Очевидно, этот закон можно
переформулировать так: функция полезности является функцией, выпуклой
вверх. В такой постановке закон убывающей полезности служит отправной
точкой для математического исследования теории спроса и предложения.
7.3. Использование производной для решения задач по экономической теории.
Задача 1.
Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен
ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента.
Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может
превышать 90 т. в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут
наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].
Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на
концах промежутках и в критической точке.
f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки
максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день
минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной
мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как
дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции
нельзя будет увеличить выпуск продукции.
Задача 2.
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции
в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от
объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать
потенциал предприятия.
Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100
функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема
производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем
накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства
приводит к сокращению финансовых накоплений.
Задача 3.
Спрос-это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара,
которое потребители готовы купить при каждой возможной цене, за
определенный период времени и при прочих равных условиях.
Зависимость спроса от цены описывается функцией [pic],
Данная функция исследуется с помощью производной: [pic]
Производная меньше нуля, если P>=0.
Определим точку перегиба функции. Такой точкой является точка (0,5;0,6),
т.е. при P<1/2 спрос убывает медленнее, а при P>1/2 спрос убывает все
быстрее.
[pic]
Задача 4.
Выручка от реализации товара по цене p составляет: [pic]
(Денежных единиц), где [pic]. Исследуем эту функцию с помощью производной.
Производная этой функции: [pic] положительна, если p<1/2 и отрицательна для
p>1/2, это означает, что с ростом цены выручка в начале увеличивается (
несмотря на падение спроса) и p=1/2 достигает максимального значения
[pic], дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т.как оно ведет к
сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной.
[pic]
[pic] темп положительный [pic]темп отрицательный
На промежутке (0,1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом
для [pic], а затем темп убывания становится положительным и для P>0,9
выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены.
Для наглядной демонстрации выше сказанного составим таблицу и построим
график.
|p |(0, 1/2) |1/2 |[pic] |[pic] |[pic] |
|U'(p) |+ |0 |- |-0,47 |- |
|U''(p) |- | |- |0 |+ |
|U (p) |возрастает |0,3 |убывает |0,2 точка |убывает |
| |выпукла |max |выпукла |перегиба |вогнута |
Вывод:
На промежутке (0, 1/2) функция возрастает все медленнее.
Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее
повышение цены не выгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным
темпом[pic], а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р >
0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном
увеличении цены. На промежутке [pic]функция U(p) вогнута. В точке
[pic] график перегибается (см. на рисунке):
[pic]
8. Применение производной в физике
В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или
наименьших значений для каких-либо величин.
Задача 1.
Лестница длиной 5м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец
находится на высоте 4м. В некоторый момент времени лестница начинает
падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с
постоянным ускорением 2 м/с2. С какой скоростью удаляется от стены
нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте
2м?
[pic]
Пусть верхний конец лестницы в момент времени t находится на высоте y(0)=
4м, а нижний на расстоянии x(t) от стенки.
Высота y(t) описывается формулой: [pic],так как движение равноускоренное.
В момент t: y(t) = 2, т.е. 2 = 4 - t2, из которого [pic];
В этот момент [pic] по т. Пифагора, т.е. [pic]
Скорость его изменения [pic]
Ответ:[pic]
Задача 2
Дождевая капля падает под действием силы тяжести; равномерно испаряясь так,
что ее масса m изменяется по закону m(t) = 1 - 2/3t. (m изменяется в
граммах, t - в секундах). Через сколько времени после начала падения
кинематическая энергия капли будет наибольшей?
Скорость капли [pic] , её кинетическая энергия в момент t равна [pic]
Исследуем функцию [pic] на наибольшее с помощью поизводной: [pic]
[pic]=0 t1=0 t2=1 (t>0)
При t =1 функция Ek(t) принимает наибольшее значение, следовательно
кинетическая энергия падающей капли будет наибольшей через 1сек.
Задача 3
Источник тока с электродвижущей силой Е=220 В и внутренним сопротивлением
r = 50 Ом подключен к прибору с сопротивлением R.Чему должно быть равно
сопротивление R потребителя, чтобы потребляемая им мощность была
наибольшей?
| |  скачать работу |
Приложения производной |
