Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Приложения производной



 Другие рефераты
Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых) Призма Применение двойных интегралов к задачам механики и геометрии Применение информатики, математических моделей и методов в управлении

Введение

   Понятие функции является одним из основных  понятии  математики.  Оно  не
возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а,  как  и  другие
фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и  исторического
развития.  Идея  функциональной  зависимости  восходит   к   древнегреческой
математике. Например, изменение площади,  объема  фигуры  в  зависимости  от
изменения  ее  размеров.  Однако  древними   греками   идея   функциональной
зависимости осознавалась интуитивно.
   Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили  перед
математикой  задачи,  которые  нельзя  было   решить   имеющимися   методами
математики постоянных  величин.  Нужны  были  новые  математические  методы,
отличные от методов элементарной математики.
   Впервые  термин  "функция"  вводит  в  рассмотрение  знаменитый  немецкий
математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот  термин  (определения  он
не  дал  вообще)  он  употребляет  в  узком  смысле,  понимая  под  функцией
изменение ординаты кривой в зависимости  от  изменения  ее  абсциссы.  Таким
образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В  современных
терминах  это  определение  связано  с  понятием  множества  и  звучит  так:
«Функция   есть  произвольный  способ  отображения  множества  А  =  {а}  во
множество В  =  {в},  по  которому  каждому  элементу  а[pic]А  поставлен  в
соответствие  определенный  элемент  в[pic]В.  Уже  в  этом  определении  не
накладывается никаких ограничений на закон соответствия  (этот  закон  может
быть задан Формулой, таблицей, графиком,  словесным  описанием).  Главное  в
этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А  и  В
понимаются при этом элементы произвольной природы.
   В математике XVII в. самым же большим достижением  справедливо  считается
изобретение дифференциального  и  интегрального  исчисления.  Сформировалось
оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение  в
математику  методов  анализа  бесконечно   малых   стало   началом   больших
преобразований. Но наряду с интегральными  методами  складывались  и  методы
дифференциальные.   Вырабатывались   элементы   будущего   дифференциального
исчисления при решении  задач,  которые  в  настоящее  время  и  решаются  с
помощью  дифференцирования.  В  то  время  такие  задачи  были  трех  видов:
определение  касательных  к  кривым,  нахождение  максимумов   и   минимумов
функций,  отыскивание   условий   существования   алгебраических   уравнений
квадратных корней.
   Первый в мире печатный курс дифференциального  исчисления  опубликовал  в
1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия  и  10  глав,  в  которых
излагаются определения постоянных  и  переменных  величин  и  дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
   Появление анализа бесконечно малых  революционизировало  всю  математику,
превратив ее в математику переменных величин.
   Исследование  поведения  различных  систем  (технические,  экономические,
экологические  и  др.)  часто  приводит  к  анализу  и  решению   уравнений,
включающих  как  параметры   системы,   так   и   скорости   их   изменения,
аналитическим выражением  которых  являются  производные.  Такие  уравнения,
содержащие производные, называются дифференциальными.
   В  своей  же  работе  я  хочу  подробнее   остановится   на   приложениях
производной.



1. Понятие производной

  При решении различных задач геометрии, механики, физики и других  отраслей
знания возникла необходимость с помощью  одного  и  того  же  аналитического
процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию,  которую  называют
производной  функцией  (или  просто  производной)  данной  функции  f(x)   и
обозначают символом
                                    [pic]
  Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех
шагов:

  1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее
приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);

  2) составляем отношение[pic]
  3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через
f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь
от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

  Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.

  Таким образом, [pic],  или  [pic]
  Заметим, что если при некотором значении x, например  при  x=a,  отношение
[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом  случае  говорят,
что функция f(x) при x=a (или в точке  x=a)  не  имеет  производной  или  не
дифференцируема в точке x=a.

2. Геометрический смысл производной.


Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки
x0

[pic]

  Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x;          ВС =?у;
tg?=?y/?x .
  Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.
  Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]
или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох [pic], по  определению производной. Но tg( = k - угловой
коэффициент касательной, значит,  k = tg( = f '(x0).
  Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
  Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.


3. Физический смысл производной.


  Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного
за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве   при ?t > 0.

lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0,  ?t > 0.

а lim  = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).

Итак, ((t) =x'(t).
  Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции
y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
  Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от
времени.
((t) = x'(t) - скорость,
a(f) = ('(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
  Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) - изменение угла от времени,
? = ?'(t) - угловая скорость,
?  = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).
  Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x ( [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х"(t) + ?2x(t) = 0,
где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,
?0 - начальная фаза.


4. Правила дифференцирования



|(C)’= 0      С=const                |[pic]                               |
|[pic]                               |[pic]                               |
|(cos x)'=-sin x                     |[pic]                               |
|(sin x)'=cos x                      |[pic]                               |
|(tg x)'=[pic]                       |(ах)'=аx ln a                       |
|(ctg x)'=-[pic]                     |(ех)'=ex                            |
|[pic]                               |                                    |

[pic]                                    [pic]
[pic]                                     [pic]
Производная степенно-показательной функции
[pic], где [pic].
[pic].
 Логарифмическое дифференцирование. Пусть  дана  функция  [pic].  При  этом
предполагается, что функция [pic]  не  обращается  в  нуль  в  точке  [pic].
Покажем один из способов нахождения производной функции  [pic],  если  [pic]
очень  сложная  функция  и  по  обычным  правилам  дифференцирования   найти
производную затруднительно.
 Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке,  где
ищется ее  производная,  то  найдем  новую  функцию  [pic]  и   вычислим  ее
производную
 [pic]     (1)
 Отношение [pic] называется логарифмической производной функции  [pic].  Из
формулы (1) получаем
 [pic].    Или   [pic]
Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].


5. Производные высших порядков

  Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x
12345След.
скачать работу


 Другие рефераты
Апоптоз - программируемая клеточная смерть
Психологические трактовки культуры
Линейный ускоритель
Образование древнерусской государственности


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ