Приложения производной
Другие рефераты
Введение
Понятие функции является одним из основных понятии математики. Оно не
возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и другие
фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического
развития. Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой
математике. Например, изменение площади, объема фигуры в зависимости от
изменения ее размеров. Однако древними греками идея функциональной
зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили перед
математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися методами
математики постоянных величин. Нужны были новые математические методы,
отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий
математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин (определения он
не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под функцией
изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким
образом, понятие функции носит у него "геометрический налет". В современных
терминах это определение связано с понятием множества и звучит так:
«Функция есть произвольный способ отображения множества А = {а} во
множество В = {в}, по которому каждому элементу а[pic]А поставлен в
соответствие определенный элемент в[pic]В. Уже в этом определении не
накладывается никаких ограничений на закон соответствия (этот закон может
быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным описанием). Главное в
этом определении: [pic]а[pic]А[pic]!b[pic]B. Под элементами множеств А и В
понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо считается
изобретение дифференциального и интегрального исчисления. Сформировалось
оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их ближайших учеников. Введение в
математику методов анализа бесконечно малых стало началом больших
преобразований. Но наряду с интегральными методами складывались и методы
дифференциальные. Вырабатывались элементы будущего дифференциального
исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с
помощью дифференцирования. В то время такие задачи были трех видов:
определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов
функций, отыскивание условий существования алгебраических уравнений
квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в
1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых
излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала,
объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю математику,
превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические, экономические,
экологические и др.) часто приводит к анализу и решению уравнений,
включающих как параметры системы, так и скорости их изменения,
аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения,
содержащие производные, называются дифференциальными.
В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях
производной.
1. Понятие производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей
знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического
процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют
производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и
обозначают символом
[pic]
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую
функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех
шагов:
1) даем аргументу x приращение ? x и определяем соответствующее
приращение функции ? y = f(x+? x) -f(x);
2) составляем отношение[pic]
3) считая x постоянным, а ? x (0, находим[pic], который обозначаем через
f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь
от того значения x, при котором мы переходим к пределу.
Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.
Таким образом, [pic], или [pic]
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение
[pic]при ? x(0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят,
что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не
дифференцируема в точке x=a.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки
x0
[pic]
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции -
точку А(x0, f (х0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)).
Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у;
tg?=?y/?x .
Так как АС || Ox, то (ALO = (BAC = ? (как соответственные при
параллельных). Но (ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tg? = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая
касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tg? =?y/?x, то получим[pic]
или tg( =f '(x0), так как [pic] (-угол наклона касательной к положительному
направлению оси Ох [pic], по определению производной. Но tg( = k - угловой
коэффициент касательной, значит, k = tg( = f '(x0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к
графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в
любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость
за промежуток времени [t0; t0+ ?t] равна отношению расстояния, пройденного
за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ?x/?t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ?t > 0.
lim Vср (t) = ((t0) - мгновенная скорость в момент времени t0, ?t > 0.
а lim = ?x/?t = x'(t0) (по определению производной).
Итак, ((t) =x'(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции
y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной
функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от
времени.
((t) = x'(t) - скорость,
a(f) = ('(t) - ускорение, или
a(t) = x"(t).
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно
найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
? = ?(t) - изменение угла от времени,
? = ?'(t) - угловая скорость,
? = ?'(t) - угловое ускорение, или ? = ?"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно
найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x ( [0; l], l - длина стержня,
р = m'(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических
колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины.
Положив ?2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника
х"(t) + ?2x(t) = 0,
где ? = ?k/?m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ?2y = 0 называется уравнением гармонических колебаний
(механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений
является функция
у = Asin(?t + ?0) или у = Acos(?t + ?0), где
А - амплитуда колебаний, ? - циклическая частота,
?0 - начальная фаза.
4. Правила дифференцирования
|(C)’= 0 С=const |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|(cos x)'=-sin x |[pic] |
|(sin x)'=cos x |[pic] |
|(tg x)'=[pic] |(ах)'=аx ln a |
|(ctg x)'=-[pic] |(ех)'=ex |
|[pic] | |
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Производная степенно-показательной функции
[pic], где [pic].
[pic].
Логарифмическое дифференцирование. Пусть дана функция [pic]. При этом
предполагается, что функция [pic] не обращается в нуль в точке [pic].
Покажем один из способов нахождения производной функции [pic], если [pic]
очень сложная функция и по обычным правилам дифференцирования найти
производную затруднительно.
Так как по первоначальному предположению [pic] не равна нулю в точке, где
ищется ее производная, то найдем новую функцию [pic] и вычислим ее
производную
[pic] (1)
Отношение [pic] называется логарифмической производной функции [pic]. Из
формулы (1) получаем
[pic]. Или [pic]
Формула (2) дает простой способ нахождения производной функции [pic].
5. Производные высших порядков
Ясно, что производная[pic]функции y =f (x) есть также функция от x
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
