Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства
чество к упадку.
Тирания прямой стала абсолютной. Прямая линия - это нечто трусливое,
прочерченное по линейке, без эмоций и размышлений; это линия, не
существующая в природе. И на этом насквозь прогнившем фундаменте
построена наша обреченная цивилизация. Если даже и возникает где-то мысль,
что прямая линия напрямик ведет к гибели, ее курсу все равно продолжают
следовать дальше... Любой дизайн, основанный на прямой линии, будет
мертворожденным. Сегодня мы являемся свидетелями триумфа рационалистических
знаний и одновременно обнаруживаем, что оказались в пустоте. Эстетический
вакуум, пустыня однообразия, преступное бесплодие, утрата созидательных
возможностей.
Стандартизируется даже творчество. Мы стали бессильными. Мы больше не
способны творить. В этом наше невежество.
Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии
морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно
движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно
деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру,
приобретенную в процессе эволюции. Человеку, не связанному с наукой, может
показаться странным то, что такие привычные всем вещи с недавних пор
оказались в фокусе интенсивных научных исследований. Но привычность какого-
либо явления совсем не означает, что ученые могут правильно его объяснить.
Ребенку тоже привычны и его голубая колыбель, и голубое небо задолго до
того, как он осознает, что голубой цвет есть общее качество совсем разных
вещей. В его познавательном развитии наступит момент, когда он уже сможет
воспринять понятие цвета; он слышит, что небо является голубым и вдруг
“открывает”, что и некоторые другие вещи тоже являются голубыми.
Развитие нашего научного понимания мира происходит по такой же схеме.
Да, многие фракталы нам знакомы, но до самого последнего времени в нашем
научном представлении о мире им не находилось места. Это представление
восходит еще к Галилео Галилею, чье мастерство владения абстракцией,
вступающей в противоречие с интуицией, дает пример современного научного
рассуждения. Его кредо, сформулированное им самим в 1623 году, гласит:
Вся наука записана а этой великой книге - я имею в виду Вселенную, -
которая всегда открыта для нас, но которую нельзя понять, не научившись
понимать язык, на котором она написана. А написана она на языке
математики, и ее буквами являются треугольники, окружности и другие
геометрические фигуры, без которых человеку невозможно разобрать ни одного
ее слова; без них он подобен блуждающему во тьме. Понадобилось почти
350 лет, чтобы выйти за рамки галилеевского представления - до тех пор,
пока Бенуа Мандельброт не разработал понятие фрактала. Бросая взгляд в
прошлое, он размышлял в 1984 году:
Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин
заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или
берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега -
это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не
распространяется по прямой... Природа демонстрирует нам не просто более
высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных
масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
Математическое понятие фрактала выделяет объекты, обладающие
структурами различных масштабов, как больших, так и малых, и, таким
образом, отражает иерархический принцип организации. В основе этого
понятия содержится одна важная идеализация действительности: фрактальные
объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений
при разглядывании их через микроскоп с любым увеличением. Хотя эта
идеализация и может оказаться слишком большим упрощением
действительности, она на порядок увеличивает глубину нашего
математического описания природы. Исследования Мандельброта получили
широкую известность после открытия им в 1980 году множества, носящего
теперь его имя. Он обнаружил принцип, с помощью которого несколько
неожиданным путем образуется целый мир самоподобных структур.
Эта причудливая форма (см. рис.1) может оказаться одним из ключевых
элементов некоторой новой “натуральной” математики, так же, как прямая
линия является одним из основных элементов евклидовой геометрии.
Возможно, наиболее убедительный аргумент в пользу изучения фракталов
- это их бросающаяся в глаза красота.
Глава 2
МЫШЛЕНИЕ В ОБРАЗАХ
Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и
математических задачах. Все они имеют одно обшее - это конкуренцию
нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между
территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаше имеет
место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже
за самые малые участки.
Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы
существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного
состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей,
которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере
замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой
возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и
насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит
всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек,
которые неподвластны его притяжению. Это, так сказать, “диссиденты”, не
желающие “принадлежать”.
Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма
упрошенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые
свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной
структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное
число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип
самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей
и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в
иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту
фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт. На самом деле
процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в
математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна
и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной
итерации является начальным значением для следующей:
C
[pic]
[pic]
[pic]
и
и
Единственное, что при этом требуется - нелинейная зависимость между
результатом и начальным значением, т. е. динамический закон [pic] должен
быть более сложным, чем простая пропорциональность [pic]. Схематическая
диаграмма указывает на то, что правило[pic] зависит от параметра c,
влияние которого будет обсуждаться ниже.
Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого
произвольного значения [pic], то его результатом будет
последовательность[pic], поведение которой по истечении достаточно
большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет
ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению Х,
стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений,
которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все
время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и
конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?
Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так,
описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое
ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на
принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и
скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий
момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона.
Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам,
либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах
инфинитезимальных единиц времени: Natura non facit saltus (“Природа не
делает скачков”). Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать
изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно,
допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется
обстоятельствами.
Глава 3
СЦЕНАРИЙ ПРОНИКНОВЕНИЯ В ХАОС
Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно
описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного
прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина
остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон
роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например,
при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность
каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на
ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.
Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст,
сформулировав в 1845 году закон, с
| |  скачать работу |
Развитие и взаимное влияние математики, философии и искусства |
