Термодинамика
РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ.
3.1. ЯЧЕЙКИ БЕНАРА .
Для того , чтобы экспериментально изучить структуры , достаточно иметь
сковороду , немного масла и какой ни будь мелкий порошок , чтобы было
заметно движение жидкости . Нальем в сковороду масло с размешанным в нем
порошком и будем подогревать ее снизу (рис. 3.1)
[pic]
Рис. 3.1. Конвективные ячейки Бенара.
Если дно сковороды плоское и нагреваем мы ее равномерно , то можно
считать , что у дна и на поверхности поддерживаются постоянные температуры
, снизу - Т1 , сверху - Т2 . Пока разность температуры (Т = Т1 - Т2
невелика , частички порошка неподвижны , а следовательно , неподвижна и
жидкость .
Будем плавно увеличивать температуру Т1 . С ростом разности температур
до значения (Тc наблюдается все та же картина , но когда (Т ( (Тc , вся
среда разбивается на правильные шестигранные ячейки (см. Рис. 3.1) в центре
каждой из которых жидкость движется вверх , по кроям вниз . Если взять
другую сковороду , то можно убедиться , что величина возникающих ячеек
практически не зависит от ее формы и размеров . Этот замечательный опыт
впервые был проделан Бенаром в начале нашего века , а сами ячейки получили
название ячеек Бенара .
Элементарное качественное объяснения причины движения жидкости
заключается в следующем . Из-за теплового расширения жидкость расслаивается
, и в более нижнем слое плотность жидкости (1 меньше , чем в верхнем (2
. Возникает инверсный градиент плотности , направленный противоположно силе
тяжести . Если выделить элементарный объем V , который немного смещается
вверх в следствии возмущения , то в соседнем слое архимедова сила станет
больше силы тяжести , так как (2 ( (1 . В верхней части малый объем ,
смещаясь вниз , поподает в облость пониженной плотности , и архимедова сила
будет меньше силы тяжести FA < FT , возникает нисходящее движение
жидкости . Направление движения нисходящего и восходящего потоков в данной
ячейке случайно , движение же потоков в соседних ячейках , после выбора
направлений в данной ячейке детерминировано . Полный поток энтропии через
границы системы отрицателен , то есть система отдает энтропию , причем в
стационарном состоянии отдает столько , сколько энтропии производится
внутри системы (за счет потерь на трение).
dSe q q T1 - T2
. = ( - ( = q ( ((( < 0 (3.1)
dt T2 T1 T1 ( T2
Образование именно сотовой ячеистой структуры объясняется минимальными
затратами энергии в системе на создание именно такой формы пространственной
структуры . При этом в центральной части ячейки жидкость движется вверх , а
на ее периферии - вниз.
Дальнейшее сверхкритическое нагревание жидкости приводит к разрушению
пространственной структуры - возникает хаотический турбулентный режим.
[pic]
Рис. 3.2. Иллюстрация возникновения тепловой
конвекции в жидкости .
К этому вопросу прикладывается наглядная иллюстрация возникновения
тепловой конвекции в жидкости .
2 ЛАЗЕР , КАК САМООРГАНИЗУЮЩАЯСЯ СИСТЕМА.
Во второй главе этот вопрос мы уже рассматривали . Здесь же , рассмотрим
простую модель лазера .
Лазер - это устройство , в котором в процессе стимулированного излучения
порождаются фотоны .
Изменение со временем числа фотонов n , или другими словами , скорость
порождения фотонов , определяется уравнением вида :
dn / dt = «Прирост» - «Потери» (3.2)
Прирост обусловлен так называемым стимулированном излучением . Он
пропорционален числу уже имеющихся фотонов и числу возбужденных атомов N .
Таким образом :
Прирост = G N n (3.3)
Здесь G - коэффициент усиления , который может быть получен из
микроскопической теории . Член , описывающий потери , обусловлен уходом
фотонов через торцы лазера . Единственное допущение , которое мы принимаем
, - это то , что скорость ухода пропорциональна числу имеющихся фотонов .
Следовательно ,
Потери = 2(n (3.4)
2( = 1/ t0 , где t0 - время жизни фотона в лазере .
Теперь следует учесть одно важное обстоятельство , которое делает (2.1)
нелинейным уравнением вида :
[pic] (3.5)
Число возбужденных атомов уменьшается за счет испускания фотонов . Это
уменьшение (N пропорционально числу имеющихся в лазере фотонов ,
поскольку эти фотоны постоянно заставляют атомы возвращаться в основное
состояние .
(N = (n (3.6)
Таким образом , число возбужденных атомов равно
N = N0 - (N (3.7)
где N0 - число возбужденных атомов , поддерживаемое внешней
накачкой , в отсутствии лазерной генерации.
Подставляя (3.3) - (3.7) в (3.2) , получаем основное уравнение нашей
упрощенной лазерной модели :
[pic] (3.8)
где постоянная k дает выражение :
k1 = (G
k = 2( - GN0 (( 0 (3.9)
Если число возбужденных атомов N0 (создаваемых накачкой) невелико , то
k положительно , в то время как при достаточно больших N0 k - может
стать отрицательным . Изменение знака происходит когда
GN0 = 2( (3.10)
Это условие есть условие порога лазерной генерации .
Из теории бифуркации следует , что при k > 0 лазерной генерации нет ,
в то время как при k < 0 лазер испускает фотоны.
Ниже или выше порога лазер работает в совершено разных режимах .
Решим уравнение (3.8) и проанализируем его аналитически :
- это уравнение одномодового лазера .
Запишем уравнение (3.8) в следующем виде :
[pic]
Разделим исходное уравнение на n2 .
[pic]
и введем новую функцию Z :
1/n = n-1 = Z ( Z1 = - n-2 следовательно уравнение примет вид :
[pic]
перепишем его в следующем виде :
[pic]
разделим обе части данного уравнения на -1 , получим
[pic] (3.11)
Уравнение (3.11) - это уравнение Бернулли , поэтому сделаем следующую
замену Z = U(V , где U и V неизвестные пока функции n , тогда
Z1 = U1 V + U V1 .
Уравнение (3.11) , после замены переменных , принимает вид
U1 V + UV1 - k UV = k1
преобразуем , получим
U1 V + U(V1 - k V) = k1 (3.12)
Решим уравнение (3.12)
V1 - k V = 0 ( dV/dt = k V
сделаем разделение переменных dV/V =k dt ( ln V = k t
результат V = ekt (3.13)
Отсюда мы можем уравнение (3.12) переписать в виде :
U1 ekt = k1
- это то же самое , что dU/dt = k1e-kt , dU = k1e -kt dt
выразим отсюда U , получим
[pic] (3.14)
По уравнению Бернулли мы делали замену Z = U V подставляя уравнения
(3.13) и (3.14) в эту замену , получим
[pic]
Ранее вводили функцию Z = n-1 , следовательно
[pic] (3.15)
Начальное условие n0=1/(c-k1/k) , из этого условия мы можем
определить константу с следующим образом
[pic]
Подставляя , найденную нами константу в уравнение (3.15) , получим
[pic] (3.16)
Исследуем функцию (3.16) при k = 0 , k < 0 , k > 0 .
При k(0 ; ekt ( 0 ; (ekt - 1)(0 , то есть (ekt - 1)(k1/k(0((
(неопределенность) , раскроем эту неопределенность по правилу Лопиталя .
Эту неопределенность вида 0(( следует привести к виду [pic] . При
этом , как и всегда при применении правила Лопиталя , по ходу вычислений
рекомендуется упрощать получившиеся выражения , следующим образом :
[pic]
n(k)при k(0 ( 0 , следовательно [pic]
Перепишем (3.16) в следующем виде
[pic]
Линеаризуем нелинейное уравнение , получим
[pic]
[pic]ln n = - kt + c ( [pic]
Построим график для этих условий
[pic]
Рис. 3.3 К самоорганизации в одномодовом лазере :
кривая 1 : k < 0 , режим лазерной генерации
кривая 2 : k = 0 , точка бифуркации , порог
кривая 3 : k > 0 , режим лампы.
При k = 0 уравнение (3.8) примет вид
[pic]
решая его , получим
[pic]
[pic] (3.8)
При условии [pic] ; n(t) = const , функция (3.8) приближается к
стационарному состоянию , не зависимо от начального значения n0 , но в
зависимости от знаков k и k1 (смотри рисунок 3.3).
Таким образом , функция (3.8) принимает стационарное решение
[pic]
3.3. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИИ .
О распространении и численности видов была собрана обширная информация .
Макроскопической характеристикой , описывающей популяцию , может быть число
особей в популяции . Это число играет роль параметра порядка . Если
различные виды поддерживаются общим пищевым ресурсом , то начинается
межвидовая борьба , и тогда применим принцип Дарвина
| |  скачать работу |
Термодинамика |
