Задача Лагранжа
h(X) = r(.
В правой части - принятое обозначение условного экстремума: после
вертикальной черты выписывается условие.
Вспомним, что при обсуждении структуры лагранжиана мы интерпретировали
(g(Х) как составляющую, уравновешивающую возможный прирост максимума f(X)
при отклонении g(X) от нуля. Но отклонение g(X) от нуля есть отклонение
h(Х) от r. Если располагаемое количество ресурса получает приращение (r, то
мы должны ожидать приращение максимума функции f(X) на ((r.
В действительности это соотношение носит приближенный характер. Точный
результат мы получили бы в пределе при (r ( 0:
[pic]
Таким образом, множитель Лагранжа характеризует скорость изменения
максимума целевой функции при изменении ограничивающей константы r в
ограничении вида (6).
В рассмотренном в предыдущем пункте варианте задачи Дидоны ограниченным
ресурсом была длина веревки А. Максимальная площадь оказалось равной S(A) =
A2/8. Отсюда dS(А)/dА = А/4, что в точности соответствует найденному при
решении значению (.
[pic]рис. 4
Приведем еще одно рассуждение. Для всевозможных точек Х найдем значения
f(X) и h(Х) и отложим эти значения в виде точек в декартовых координатах
(рис. 4). Если при каждом значении h(Х) существует максимум функции f(Х),
то все точки расположатся ниже некоторой кривой, показанной на рисунке
жирной линией.
Нас интересуют точки, соответствующие условию h(X) = r. Максимум f(X)
помечен точкой М*; обозначим ( наклон кривой в этой точке. Если в качестве
ординаты брать не f(X), а L(X; () =f(X) - ( [h(X) — r], то новая верхняя
граница имела бы в точке М* горизонтальную касательную. Это значит, что в
исходном n-мерном пространстве соответствующая точка М — стационарная точка
функции L (X; () с данным значением параметра (. Таким образом, ( -
множитель Лагранжа.
Но жирная черная кривая — это график функции F(r), а ( - его угловой
коэффициент, откуда и следует равенство (7).
5. Простейшие модели управления запасами.
Рассмотренные ниже задачи связаны с оптимальным регулированием запасов.
Эти задачи можно сформулировать следующим образом:
1. Моменты времени, в которые принимаются заказы на пополнение запасов,
фиксированы. Остается определить объем и время заказов.
2. Необходимо определить и объем и время заказов.
Задача исследования состоит в отыскании оптимального решения этих задач.
Под оптимальным здесь понимается решение, минимизирующее сумму всех
расходов, связанных с созданием запасов. Эти расходы бывают трех типов:
1. Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или
производстве. Это величина, не зависящая от размера партии, и,
следовательно, переменная для единицы продукции.
2. Стоимость хранения единицы продукции на складе. Сюда включается
затраты, связанные с организацией хранения, устареванием и порчей,
расходы на страхование и налог.
3. Расходы (штрафы), возникает при истощении запасов, когда происходит
задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить.
Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться как функции
времени (например, в зависимости от сезона может быть различным штраф за
зависимость хранения единицы товара на складе).
В задачах управления запасами учитывается также характеристики спроса и
возможности пополнения запасов.
Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным или зависящем от
времени. Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной
(например, количество автомобилей), так и непрерывной.
Спрос на запасенные товары может возникать в определенные моменты времени
(спрос на мороженое на стадионе) или существовать постоянно (спрос на
мороженное в большом аэропорту).
Заказы на пополнение запасов в ряде случаев могут выполняться немедленно
(например, при заказе молока в небольшом магазине). В других случаях
выполнение заказа требует значительного времени. Заказы можно делать в
любые или только в определенные моменты времени.
Объем поступающий на склад продукции может измеряться дискретной или
непрерывной и может быть как постоянным, так и переменным. Само поступление
может быть дискретным и непрерывным и происходить равномерно или
неравномерно.
Примем следующие обозначения:
q - объем заказа (при пополнении запасов);
q0 - оптимальный размер заказа;
t - интервал времени;
ts - интервал времени между двумя заказами;
tso - оптимальный интервал времени между заказами;
T - период времени, для которого ищется оптимальная стратегия;
R - полный спрос за время Т;
C1 - стоимость хранения единицы продукции в единицу времени;
C2 - величина штрафа за нехватку одной единицы продукции (в определенный
момент времени).
Cs - стоимость заказа ( при покупке или производстве),
Cs - ожидаемые суммарные накладные расходы;
Qo - минимум ожидаемых суммарных накладных расходов;
So - оптимальный уровень запасов к началу некоторого интервала времени.
Модель I.
Пусть некий предприниматель должен поставлять своим клиентов R изделий
равномерно в течение интервала времени Т. таким образом, спрос фиксирован и
известен. Нехватка товара не допускается, т.е. штраф при неудовлетворенном
спросе бесконечно велик (C2 =(). Переменные затраты производства
складываются из следующих элементов: C1 - стоимость хранения одного изделия
(в единицу времени), C2 - стоимость запуска в производство одной партии
изделий.
Предприниматель должен решать, как часто ему следует организовывать
выпуск партии и каким должен быть размер каждой партии.
Уравнение цен и его аналитическое решение. Только что описанная ситуация
представлена графически на рис.5. Пусть q -размер партии, ts -
интервал времени между запусками в производство партии, а R - полный спрос
за всё времени планирования T.
Тогда R/q – число партий за время Т и
Если интервал ts начинается, когда на кладе имеется q изделий и
заканчивается при.
[pic]
отсутствии заказов, тогда q/2 – средний запас в течение ts (равенство
q/2= qср следует рассматривать как приближенное. Точность его тем выше, чем
больше R) q/2* C1 ts затраты на хранения в интервале ts.
Общая стоимость создания запасов в интервале ts равна сумме стоимости
запуска в производство
Для вычисления полной стоимости создания запасов за время Т следует эту
величину умножить на общее число партий за это время:
Подставляя сюда выражение для ts, получаем
или
Члены в правой части уравнений (44) представляют стоимость хранения и
полную стоимость заказа в производстве всех партий. С увеличением размера
партий первый член возрастает, а второй убывает. Решение задачи управления
запасами и состоит в определении такого размера партии qo, при котором
суммарная стоимость была бы наименьшей (рис. 6)
Найденное оптимальное значение qo размер партии
[pic]
Для оптимальных tsо и Qo имеем
Пример I: Пусть предприниматель должен поставлять своему заказчику 24000
единиц продукции в год. Так как получаемая продукция используется
непосредственно на сборочной линии и заказчик не имеет для нее специальных
складов, поставщик должен единично отгружать дневную норму. В случаи
нарушения поставок поставщик рискует потерять заказ. Поэтому нехватка
продукции недопустима, т.е. штраф при нехватке можно бесконечным. Хранение
единицы продукции в месяц стоит 0,1 долл. Стоимость запуска в производство
одной партии продукции составляет 350 долл.
Требуется определить оптимальный размер партии q0, оптимальный период и
tsо вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат Qо. В данном случае Т
= 12 месяцам, R = 24 000 единиц, Сs = 0,1 долл./партия Сs = 350
дол/партия. Подстановка этих значений в уравнения (9), (10) и (11) дает
нам.
[pic]
Модель II.
Рассмотрим теперь случай, который отличается от предыдущего только тем,
что превышение спроса над запасами уже допускается, т.е. штраф за нехватку
конечный.
Уравнение цен и его аналитическое решение. Рассматриваемая ситуация
изображена на рис. 7. В начале каждого интервала имеется уровень запасов.
Из подобия треугольников находим.
[pic]
Средний запас в течении t1, равен S/2. Поэтому затраты на хранение за всё
время t1
[pic]
составляют S/2 * t1 С1. Средняя нехватка (превышение спроса над уровнем
запасов) за врем t2 равна (q-S)/2, и штраф за время t2 равна (q – S)/2, и
штраф за время t2 составляет ((q – S)/2)* Q2 t2 .
Таким образом, ожидаемые суммарные расходы за всё время Т определяется
следующим выражением:
[pic]
Подставляя сюда найденные выше выражения для t1 и t2 учитывая полученное
раннее выражение для ts, имеем
[pic]
Из уравнения (12) можно найти оптимальные значения для q и S, при которых
полные ожидаемый расходы будут минимальными.
После дифференцирования уравнения (12) имеем:
[pic]
[pic].
Приравнивая эти частные производные нулю и упрощая, получаем выражения,
[pic]
Решая эту систему уравнений относительно S и q, находим
[pic]
и, следовательно,
[pic]
Что бы получить Qо, заменим, что
| |  скачать работу |
Задача Лагранжа |
