Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
еще
следующее условие: угол, составляемый касательной к [pic] с
постоянным направлением, удовлетворяет условию H; иными словами, мы
будем считать, что L удовлетворяет условию Ляпунова [17,24].
Функция [pic] удовлетворяет условию H на этом множестве, если для
любых двух [pic] переменной [pic] на этом множестве
[pic] , (4)
где A и [pic] - положительные постоянные показатели Гельдера, А –
коэффициент, а [pic] - показатель условия Н и при [pic]=1 – условие
Липшица, функции, удовлетворяющие условию Н называются непрерывными
по Гельдеру и сильнее, чем обычное определение непрерывности.
г) Классическая задача Дирихле для многосвязных областей [24].
Найти (действительную) функцию u(x,y), гармоническую в [pic], по
граничному условию
u=f(t) на L,
(5)
где f(t) – заданная на L (действительная) непрерывная функция; в
случае бесконечной области от функции u(x,y) требуется еще, чтобы
она оставалась ограниченной на бесконечности, т.е. и стремится к
вполне определенному пределу, когда z уходит в бесконечность.
Напомним, что всякая функция u(z) гармоническая вне круга [pic] в ряд.
[pic], [pic])
абсолютно и равномерно сходящийся вне круга любого радиуса [pic]
поэтому u>[pic] при r>[pic].
Для некоторых применений не меньший интерес представляет и следующая
задача, которая называется "видоизмененной задачей Дирихле". Термин
этот введен в статье Н.И.Мусхелишвили и Д.З.Авазошвили [17].
Видоизмененная задача Дирихле – задача Дирихле
для многосвязных областей.
Найти функцию u(x,y), гармоническую в S+, непрерывную в [pic], по
следующим условиям:
1. u(x,y)=[pic]Ф(z) является действительной частью функции Ф(z),
голоморфной в S+;
2. она удовлетворяет граничному условию
u=f(t)+[pic](t) на L,
(6)
где f(t) – заданная на [pic] непрерывная функция [pic], [pic],
(7)
где [pic] постоянные не задаваемые заранее; в случае бесконечной
области требование u(x,y)=f(t)+[pic] на [pic] заменяются требованием
ограниченности u(x,y) на бесконечности.
Можно показать, что постоянные [pic] вполне определяются условиями
самой задачи, если (произвольно) фиксировать одну из них.
Если L состоит из единственного замкнутого контура, то различают два
случая:
а) р=0. Тогда S+ представляет собой конечную часть плоскости,
ограниченную контуром [pic];
б) р=1, а контур [pic] отсутствует. Тогда область S+ представляет
собой бесконечную часть плоскости, ограниченную контуром [pic].
Легко видеть, что в случае а) задачи А и В совпадают (если считать
[pic]=0) в случае б) эти задачи непосредственно сводятся одна к
другой.
Каждая из задач А и В не может иметь более одного решения (если
[pic]=0).
д) Общая формулировка задачи Дирихле.
Задача Дирихле – задача отыскания регулярной в области D гармонической
функции и которая на границе Г области D совпадает с наперед
заданной функцией [pic]. Задачу отыскания регулярного в области
решения эллиптического уравнения 2-го порядка, принимающего на перед
заданные значения на границе области, также называется задачей
Дирихле, или первой краевой задачей.
Вопросы связанные с этой задачей, рассматривались еще К.Гауссом, а
затем Дирихле. Для областей D с достаточно гладкой границей Г
решение задачи Дирихле можно представить интегральной формулой
[pic], (8)
где [pic] - производная по направлению внутренней нормали в точке
[pic] функции Грина [pic], характеризуемой следующими свойствами:
1. [pic], при [pic] 3 или
[pic], при [pic] 2,
где [pic] - расстояние между точками [pic] и [pic], [pic] - площадь
единичной сферы в [pic], [pic] - регулярная в [pic] гармоническая
функция как относительно координат [pic], так и относительно
координат [pic];
2. [pic], когда [pic], [pic].
Для шара, полупространства и некоторых других простейших областей
функция Грина строится явно и формула (8) дает эффективное решение
задачи Дирихле. Получаемые при этом для шара и полупространства
формулы носят название формул Пуассона.
Задача Дирихле является одной из основных проблем теории потенциала –
теории гармонических функций.
Для обобщенного по Винеру решения задачи Дирихле справедливо
интегральное представление в виде формулы Вилля-Пуассона
[pic], (9)
являющейся обобщением формулы (8). Здесь [pic] - гармоническая мера
множества [pic] в точке [pic]. Отсюда возникает возможность
рассмотрения обобщенной задачи Дирихле для произвольных граничных
функций [pic], при этом можно требовать удовлетворения граничного
условия лишь в некоторой ослабленной форме.
Например, если [pic] - область [pic] с достаточно гладкой границей Г,
а граничащая функция [pic] имеет только точки разрыва 1-го рода, то
можно требовать удовлетворения граничного условия лишь в точках
непрерывности [pic], для обеспечения единственности решения в точках
разрыва требуется ограниченность решения.
е) Задача Неймана.
Наряду с задачей Дирихле для некоторых приложений важно рассмотреть
так называемую вторую краевую задачу, или задачу Неймана:
Найти гармоническую в области [pic] функцию [pic], зная значения ее
нормальной производной на границе С:
[pic] (10)
и значение [pic] в какой-либо точке [pic] в области [pic].
Для определенности мы будем предполагать, что в (10) рассматривается
внешняя нормаль, что означает угол, образованный этой нормалью с
осью х. Функция [pic] может иметь на [pic] конечное число точек
разрыва 1-го рода, функция и ее частные производные первого порядка
предполагаются ограниченными.
Следующая теорема выражает от нормальной производной гармонической
функции:
Если функция [pic] гармонична в односвязной области [pic] и непрерывна
вместе со своими частными производными в [pic], то
[pic], (11)
где [pic] - граница области [pic] обозначает производную в
направлении нормали к [pic], а [pic] - дифференциал дуги.
Из этой теоремы следует, что для разрешимости задачи Неймана
необходимо выполнения соотношения
[pic]. (12)
Доказывается единственность решения задачи Неймана и при
доказательстве единственности решения задачи Неймана можно
ограничиться случаем, когда область [pic] представляет собой
полуплоскость ([pic]z, > 0).
В дополнительном предположении непрерывности частных производных в
[pic] решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле для
сопряженной гармонической функции.
Две гармонические в области [pic] функции [pic] и [pic], связанные
условиями Даламбера-Эйлера называются сопряженными.
Как мы знаем, для всякой функции [pic]гармонической в односвязной
области [pic], можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию
[pic]. Так как функция определяется своими частными производными с
точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех
гармонических функций [pic] сопряженных с [pic] дает формула:
[pic], (13)
где С – произвольная действительная постоянная.
Заметим, что в многосвязной области [pic] интеграл (13) по контуру
[pic], определяет, вообще говоря, многозначную функцию:
[pic], (14)
где [pic] - произвольные целые числа, а [pic] - интегралы вдоль
замкнутых контуров [pic], каждый из которых содержит внутри себя
одну связную часть границы [pic]:
[pic]. (15)
Постоянные [pic] называются периодами интеграла (13) или циклическими
постоянными.
Можно доказать, что решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной гармонической функции [pic], где [pic],
[pic] носят название соответственно силовой функции и потенциала
поля.
Функции [pic] и [pic], представляющие собой регулярные решения системы
Коши-Римана [6]:
[pic] , [pic] [pic] (16)
имеют частные производные всех порядков, т.е. аналитические функции
[pic] являются решением уравнения [pic]. (17)
Условие (17) – условие комплексной дифференцируемости функции [pic].
§2. О задачах Шварца-Пуассона.
а) Интеграл Шварца для круга
Как известно, по данным значениям вещественной (мнимой) части функции
находится с точностью до чисто мнимого слагаемого. Аналитический аппарат,
дающий выражение функции [pic], регулярной в области, через значения [pic]
на контуре, в том случае, когда область есть круг радиуса [pic], известен –
это есть так называемый интеграл Шварца [6, 8, 9]:
[pic] , ([pic], [pic]) (18)
Полагая здесь [pic], мы найдем для [pic] чисто вещественное значение
[pic], для которого мнимая часть обращается в нуль в начале координат.
Чтобы получить общее решение, мы должны добав
| |  скачать работу |
Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
