Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле



 Другие рефераты
Об алгебраических уравнениях высших степеней Политические партии России в 1917 году Политические реформы 60-70 гг. Политический конфликт в истории человеческих отношений

Введение.

     В данной дипломной работе исследованы некоторые  интегральные  формулы
(классические  представления)  аналитических  и  гармонических   функций   в
заданных многосвязных областях.
     Даны  новые  методы  решения  классических   краевых   задач   методом
интегральных   представлений   аналитических   функций,   используя    метод
конформного отображения канонической  области  [pic](z)  на  соответствующие
области G[pic](w).
     Используя фундаментальные интегральные формулы для круга  и  кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини,  Шварца,  Кристофеля-
Шварца и Чизотти для многосвязных областей.
     В  частности,  найдены  интегральные  формулы   для   эксцентрического
кругового  кольца,  двух-трехсвязных  областей.  И  нашли  применение  их  к
решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
     Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых)  известных  классических  задачах
   типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя  их,  найти  обобщение  и  решение  этих
   задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
     Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
     В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы,  дается  краткий  анализ  и  перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).
     Параграфы (§1, §2) не только  вспомогательные  материалы,  необходимые
для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются  справочной
классификацией  о  задачах   Дирихле   (классическая,   обобщенная,   общая,
видоизмененная) для любой связности заданной  области  G[pic]=  G[pic](w)  и
задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов,  для
полуплоскости).
     В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для  кругового
кольца  в  форме  Ахиезера  преобразована  и  получена   новая   компактная,
контурная, структурная формула  А.Вилля  для  кругового  кольца.  Здесь  же,
ввиду важности трех функций I(u),  [pic](u)  и  [pic](u)  для  практического
приложения и  простоты  реализации  на  ЭВМ,  мы  рассмотрели  все  варианты
представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19]  –  [22]
специальных функций (а), б)).
     Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения  к  краевым  задачам  –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
     В  §5  –  интегральные  представления  Пуассона-Дирихле   для   круга,
кругового кольца и,  наконец,  §6  –  интегральная  формула  Чизотти-Шварца-
Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
     Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач  и
о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
     В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном  виде
и  параметры,  фигурирующие  в  постановке  задачи,  определяются   явно   и
однозначно.
     Основное содержание дипломной работы являются  некоторыми  обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.



                           §1. О задачах Дирихле.

                а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
                        (классическая формулировка).

     1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой  области  была
названа  Риманом  задачей  Дирихле.   В   классическом   виде   эта   задача
формулируется следующим образом.
     Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области  D+  функцию  U(z),
принимающую на границе значения f([pic]). Таким  образом,  требуется,  чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+  стремится  к  [pic][pic][pic],
u(z) > f([pic]), при z > [pic].
     Задача  Дирихле  представляет  интерес  для  физики.  Так,   потенциал
установившегося     движения     несжимаемой     жидкости,      температура,
электромагнитные  и  магнитные  потенциалы  –  все   являются   гармоничными
функциями.
     Примером  физической  задачи,  приводящей  к  задаче  Дирихле,  служит
определение температуры внутри  пластинки  при  известных  ее  значениях  на
контуре.
     Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти
гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее  нормальной
производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.
     Найти  гармоническую  в  D+  функцию  по  известным  ее  значениям  на
некоторых  дугах  границы  [pic]  и  значениям  нормальной  производной   на
остальной части [pic].
     Смешанная  задача  встречается  главным   образом   в   гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например,  в  книге  Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В.  [1].
     Итак, по многочисленности и  разнообразию  приложений  задача  Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней  непосредственно  сводится
основная задача в  гидродинамике  –  задача  обтекания,  задачи  кручения  и
изгиба  в  теории  упругости.  С  нею  же  тесно  связаны  основные   задачи
статистической  теории  упругости.  Мы  будем  заниматься  плоской  задачей,
которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так  и
по большей разработанности и эффективности методов решения.
     2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех  решений
уравнения Лапласа
                   [pic],                         (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений  с  частными
производными второго порядка.
     Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так  и
для полного определения решения уравнения Лапласа  требуются  дополнительные
условия. Для уравнения Лапласа  они  формулируются  в  виде  так  называемых
краевых условий, т.е. заданных  соотношений,  которым  должно  удовлетворять
искомое решение на границе области.
     Простейшее из  таких  условий  сводится  к  заданию  значений  искомой
гармонической функции в каждой точке  границы  области.  Таким  образом,  мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:
     Найти гармоническую в области D и непрерывную в  [pic]  функцию  u(z),
которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).
     К задаче Дирихле приводится еще,  кроме  вышеперечисленных,  отыскание
температуры  теплового  поля  или  потенциала  электростатического  поля   в
некоторой  области  при  заданной  температуре  или  потенциале  на  границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.



                        б) Обобщенная задача Дирихле.

     В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является
слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную  задачу  Дирихле
[1]:
     На границе [pic] области D задана функция  [pic],  непрерывная  всюду,
кроме конечного числа точек [pic],  где  она  имеет  точки  разрыва  первого
рода.  Найти  гармоническую  и  ограниченную  в  области  D  функцию   u(z),
принимающую  значения  u(z)  =  [pic]  во  всех  точках  непрерывности  этой
функции.
     Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная  задача  Дирихле
совпадет с обычной, ибо  условие  ограниченности  функции  u(z)  следует  из
условия ее непрерывности в [pic].
     Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
     В данной области при заданной граничной функции  [pic]  существует  не
более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
     Решение обобщенной задачи  Дирихле  можно  свести  к  решению  обычной
задачи Дирихле.
     Можно доказать, что:
  1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с  точками
     разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи
     Дирихле существует.
  2.  решение  обобщенной  задачи  Дирихле  для  единичного  круга   дается
     интегралом Пуассона
     [pic] ,   [pic], [pic])                  (2)
  3. для произвольной области D, мы получим  искомую  формулу  для  решения
     обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
     [pic] ,                                        (3)

     где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С,
      ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic],
        [pic]    - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная
        произвольная точка области D, а функция [pic];  [pic],  реализующая
        отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция  Грина  для
        области D, гармоническую всюду в D кроме  точки  [pic],  где  имеет
        плюс.
     Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой
        области D через логарифм конформного отображения D на единичный
        круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного
        отображения. И обратное верно.
     Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и
        задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к
        другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.

                      в) Видоизмененная задача Дирихле.

     Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми
        непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый
        охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность
        этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим
        совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно,
        внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из
        точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим
12345След.
скачать работу


 Другие рефераты
Проблема солнечных нейтрино
Судебная реформа 1864 года
Системный подход в управлении
Компания Apple: история развития, основные продукты


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ