Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
Другие рефераты
Введение.
В данной дипломной работе исследованы некоторые интегральные формулы
(классические представления) аналитических и гармонических функций в
заданных многосвязных областях.
Даны новые методы решения классических краевых задач методом
интегральных представлений аналитических функций, используя метод
конформного отображения канонической области [pic](z) на соответствующие
области G[pic](w).
Используя фундаментальные интегральные формулы для круга и кругового
кольца, автор обобщает задачи Пуассона, Дирихле, Дини, Шварца, Кристофеля-
Шварца и Чизотти для многосвязных областей.
В частности, найдены интегральные формулы для эксцентрического
кругового кольца, двух-трехсвязных областей. И нашли применение их к
решению классических краевых задач типа Дирихле-Неймана.
Целью нашего исследования в предлагаемой работе являются:
1. Разобраться в вышеуказанных (непростых) известных классических задачах
типа Шварца, Дирихле, Пуассона и Чизотти [1] – [7].
2. Творчески изучая и классифицируя их, найти обобщение и решение этих
задач для конкретных многосвязных областей (см. оглавление).
Данная работа состоит из введения и 6 параграфов.
В введении обосновывается постановка задачи, показывается актуальность
рассматриваемой темы дипломной работы, дается краткий анализ и перечень
работ по данному исследованию (1 – 24).
Параграфы (§1, §2) не только вспомогательные материалы, необходимые
для понимания основного содержания дипломной темы, но и являются справочной
классификацией о задачах Дирихле (классическая, обобщенная, общая,
видоизмененная) для любой связности заданной области G[pic]= G[pic](w) и
задачах Шварца-Пуассона (для круга, кругового кольца, внешности кругов, для
полуплоскости).
В §3 интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле для кругового
кольца в форме Ахиезера преобразована и получена новая компактная,
контурная, структурная формула А.Вилля для кругового кольца. Здесь же,
ввиду важности трех функций I(u), [pic](u) и [pic](u) для практического
приложения и простоты реализации на ЭВМ, мы рассмотрели все варианты
представления рядов данных функций (37) – (48) по справочникам [19] – [22]
специальных функций (а), б)).
Параграфы §4 - §6 – основное содержание самостоятельной работы автора:
рассмотрены применение теории комфорного отображения к краевым задачам –
решение задачи Дирихле методом Чизотти для заданных областей (§4).
В §5 – интегральные представления Пуассона-Дирихле для круга,
кругового кольца и, наконец, §6 – интегральная формула Чизотти-Шварца-
Пуассона-Дирихле для конечных трехсвязных областей.
Оглавление – ясное представление о единстве всех классических задач и
о содержании предлагаемой работы (см. оглавление!).
В данной работе все найденные решения выписываются почти в явном виде
и параметры, фигурирующие в постановке задачи, определяются явно и
однозначно.
Основное содержание дипломной работы являются некоторыми обобщениями
курсовых работ и самостоятельной работы автора.
§1. О задачах Дирихле.
а) Задача Дирихле для круга – Задача Пуассона
(классическая формулировка).
1. Задача нахождения функции, гармонической в некоторой области была
названа Риманом задачей Дирихле. В классическом виде эта задача
формулируется следующим образом.
Пусть на границе [pic] области D+ задана непрерывная функция f([pic]).
Найти непрерывную в [pic] и гармоническую внутри области D+ функцию U(z),
принимающую на границе значения f([pic]). Таким образом, требуется, чтобы
U(z) стремилась к f([pic]), когда z [pic] D+ стремится к [pic][pic][pic],
u(z) > f([pic]), при z > [pic].
Задача Дирихле представляет интерес для физики. Так, потенциал
установившегося движения несжимаемой жидкости, температура,
электромагнитные и магнитные потенциалы – все являются гармоничными
функциями.
Примером физической задачи, приводящей к задаче Дирихле, служит
определение температуры внутри пластинки при известных ее значениях на
контуре.
Из других физических задач возникла формулировка задачи Неймана. Найти
гармоническую в области D+ функцию U(z) по заданным значениям ее нормальной
производной [pic] на [pic], а также смешанной задачи Дирихле-Неймана.
Найти гармоническую в D+ функцию по известным ее значениям на
некоторых дугах границы [pic] и значениям нормальной производной на
остальной части [pic].
Смешанная задача встречается главным образом в гидродинамике.
Различные приложения этих задач можно найти, например, в книге Лаврентьев
И.А. и Шабат Б.В. [1].
Итак, по многочисленности и разнообразию приложений задача Дирихле
занимает исключительное место в математике. К ней непосредственно сводится
основная задача в гидродинамике – задача обтекания, задачи кручения и
изгиба в теории упругости. С нею же тесно связаны основные задачи
статистической теории упругости. Мы будем заниматься плоской задачей,
которая представляет для нас особый интерес как по обилию приложений, так и
по большей разработанности и эффективности методов решения.
2. Совокупность гармонических функций – это совокупность всех решений
уравнения Лапласа
[pic], (1)
которое является одним из простейших дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка.
Подобно тому, как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений для
выделения одного определенного решения задают дополнительные условия, так и
для полного определения решения уравнения Лапласа требуются дополнительные
условия. Для уравнения Лапласа они формулируются в виде так называемых
краевых условий, т.е. заданных соотношений, которым должно удовлетворять
искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений искомой
гармонической функции в каждой точке границы области. Таким образом, мы
приходим к первой краевой задаче или задаче Дирихле:
Найти гармоническую в области D и непрерывную в [pic] функцию u(z),
которая на границе D принимает заданные непрерывные значения u([pic]).
К задаче Дирихле приводится еще, кроме вышеперечисленных, отыскание
температуры теплового поля или потенциала электростатического поля в
некоторой области при заданной температуре или потенциале на границе
области. К ней сводятся и краевые задачи других типов.
б) Обобщенная задача Дирихле.
В приложениях условие непрерывности граничных значений [pic], является
слишком стеснительным и приходится рассматривать обобщенную задачу Дирихле
[1]:
На границе [pic] области D задана функция [pic], непрерывная всюду,
кроме конечного числа точек [pic], где она имеет точки разрыва первого
рода. Найти гармоническую и ограниченную в области D функцию u(z),
принимающую значения u(z) = [pic] во всех точках непрерывности этой
функции.
Если заданная функция [pic] непрерывна, то обобщенная задача Дирихле
совпадет с обычной, ибо условие ограниченности функции u(z) следует из
условия ее непрерывности в [pic].
Теорема единственности решения обобщенной задачи Дирихле:
В данной области при заданной граничной функции [pic] существует не
более одного решения обобщенной задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле можно свести к решению обычной
задачи Дирихле.
Можно доказать, что:
1. для любой односвязной области D и любой кусочно-непрерывной с точками
разрыва первого рода граничной функции [pic] решение обобщенной задачи
Дирихле существует.
2. решение обобщенной задачи Дирихле для единичного круга дается
интегралом Пуассона
[pic] , [pic], [pic]) (2)
3. для произвольной области D, мы получим искомую формулу для решения
обобщенной задачи Дирихле интегральной формулой Дж.Грина [12, 18]:
[pic] , (3)
где [pic] - производная в направлении внутренней нормали к С,
ds - элемент длины [pic], соответствующей [pic],
[pic] - элемент внутренней нормали к [pic], [pic]- фиксированная
произвольная точка области D, а функция [pic]; [pic], реализующая
отображение D на единичный круг [pic] и [pic] - функция Грина для
области D, гармоническую всюду в D кроме точки [pic], где имеет
плюс.
Формула Грина (3) выражает решение задачи Дирихле для некоторой
области D через логарифм конформного отображения D на единичный
круг, т.е. сводит решение задачи Дирихле к задаче конформного
отображения. И обратное верно.
Итак, задача конформного отображения области на единичный круг и
задача Дирихле для той же области эквивалентны, они сводятся друг к
другу с помощью простых операций дифференцирования и интегрирования.
в) Видоизмененная задача Дирихле.
Пусть S+ - связная область, ограниченная простыми замкнутыми
непересекающимися гладкими контурами [pic], из которых первый
охватывает все остальные. Под L мы будем подразумевать совокупность
этих контуров [pic], ([pic]). Через [pic] - мы обозначим
совокупность конечных областей [pic] заключенных, соответственно,
внутри контуров [pic] и бесконечной области [pic], состоящей из
точек расположенных вне [pic]. На контуры [pic] мы наложим
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
