Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
ить к правой части
произвольное мнимое число [pic]:
[pic], [pic]. (19)
Отделим в (18) вещественную и мнимую части, так как
вещественная
[pic]
часть даст нам интеграл Пуассона для [pic] и мнимая же часть доставляет
выражение [pic] через [pic].
Для единичного круга [pic], имеет вид:
[pic], (20)
где [pic], [pic] - представляет значение вещественной части искомой
функции в точке [pic].
б) Интегральная формула Пуассона.
Задача Дирихле об определении значений гармонической функции внутри
круга, если известны ее значения на границе, решается, как известно,
интегралом Пуассона:
[pic], (21)
где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic] -
радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic], дающая граничные
значения [pic] [9].
Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
[pic],
([pic], [pic])
Поэтому [pic] представима рядом:
[pic]
[pic] (22)
где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]:
[pic]; [pic]; [pic]
В центре окружности при [pic] мы получаем:
[pic] (23)
Равенство (23) – теорема Гаусса о том, что значение гармонической
функции в центре окружности есть среднее арифметическое ее значений на
самой окружности.
в) Интеграл Пуассона для внешности круга.
Найти функцию, гармоническую и ограниченную вне окружности [pic] и
принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
[pic], [pic] ([pic]).
Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена интегралом
типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic], гармоническая вне окружности [pic], перейдет в функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его границе
значения
[pic].
По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:
[pic].
Если в этом равенстве подставить вместо [pic] и [pic] их выражения
через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic], то
мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
[pic], (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем, что в ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро интеграла (4) отличается
от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.
Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду
(22), представляющей ее вне окружности:
[pic]. (25)
Если в (25) [pic]([pic], то получим теорему Гаусса для внешности
окружности:
[pic],
(26)
т.е. значение гармонической функции на бесконечности есть среднее
арифметическое значений на граничной окружности.
г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.
Аналитический аппарат, позволяющий гармоническую функцию внутри
верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной оси,
можно получить из интеграла Пуассона путем преобразования круга [pic]
плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции
[pic]
Граничные значения на окружности [pic] перейдут в
граничные значения на вещественной оси и мы получим искомую
формулу в виде [1]:
[pic], ([pic]) (27)
При неточных графических расчетах формулу (27) удобнее
употреблять в ином виде, взяв за переменную интегрирования
не [pic], а угол [pic], который образует прямая [pic] с
перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic],
имеем:
[pic], [pic]
и окончательно имеем:
[pic]. (28)
д) Задача Дирихле для кругового кольца.
Граничные значения гармонической функции [pic] на окружности кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в форме функций от полярного угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].
Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет вообще говоря,
не однозначной, и фкп [pic] будет состоять из двух слагаемых: однозначной
составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана в кольце, и логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:
[pic], [pic]. (29)
Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной
задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так
просто.
Существует более компактная и эффективная формула – интегральная
формула Вилля для кругового кольца [2], [3].
§3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
для кругового кольца (1912).
Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо
[pic], ограниченное окружностями
[pic], [pic],
где заданное положительное число [pic]<1.
Требуется найти регулярную и однозначную внутри области [pic] функцию
[pic], если известны значения ее вещественной части на границах кольца.
Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца
Г. (1869г) (п.1)
[pic], ([pic], [pic]),
где с – действительная переменная.
Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение точки на
окружности определяется аргументом [pic] этой точки, так что [pic]
представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic].
Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы,
аналогичной формуле (1).
Обозначим через [pic] и [pic] значения вещественной части искомой
функции [pic] в точках с аргументом [pic] на внешней, соответственно
внутренней, границе [pic].
Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на формуле
переход от односвязной области к двусвязной.
Величина
[pic],
где интеграл справа берется по окружности радиуса [pic] ([pic]) с центром в
точке [pic], очевидно, не зависит от [pic]. Тем же свойством обладает и
вещественная часть написанного интеграла.
Отсюда, приближая вначале [pic] к 1, а замечая, что в
интеграле можно
[pic]
сделать требуемые предельные переходы, получим:
[pic]. (30)
Это условие, таким образом, необходимо для разрешимости поставленной
нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
Искомая функция [pic] может быть разложена в ряд Лорана
[pic]. (31)
Мы найдем разложения обеих функций [pic], [pic] в ряды Фурье. Из этих
разложений получаются коэффициенты [pic] в виде некоторых интегралов и
подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового кольца
в форме Н.И.Ахиезера [7].
[pic], (32)
где с – произвольная вещественная константа, [pic] - произвольное
положительное число, а чисто мнимое число [pic] находится с помощью
равенства
[pic], (33)
[pic], [pic] и, наконец [pic] - функция Вейерштрасса.
Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой аналог формулы
Шварца для кругового кольца; она приведена в иной форме, например в
монографии Н.Ахиезера [7].
а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля (32).
Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера [7].
[pic], (34)
где из (33) следует, что [pic], где [pic] - положительное действительное
число, можно придать более компактную форму, если несколько преобразуем
(32), учитывая (33) и замечая, что [pic] можно выразить через [pic] с
учетом граничных свойств:
[pic] [pic] [pic],
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic], [pic]; (35)
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic], [pic].
Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и (35) примет
следующий окончательный вид:
[pic], (36)
где с – постоянная.
Формулу (36) можно назвать канонической, компактной и контурной
интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.
б) Функции Вейерштрасса.
В виду важности трех функций Вейерштрасса [pic], [pic] и [pic] для
практического применения и простоты реализации на ЭВМ мы рассмотрим
следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:
1. [pic] (37)
или
[pic] (38)
2. [pic],
[pic] : [pic] , [pic] (39)
[pic] , [pic]
для действительных нулей [pic] полинома [pic] возможны следующие частные
случаи:
[pic] : [pic] , [pic]
[pic] , [pic]
[pic].
3. [pic],
[pic],
где [pic], [pic], [pic].
4. [pic] (41)
где [pic];
[pic]; [pic]; [pic].
5. [pic], т.е.
[pic], (44)
где ([pic]),
[pic], [pic] (45)
или
6. [pic] (46)
[pic] – эллиптическая функция Вейерштрасса [pic].
Функция Вейерштрасса [pic], (48)
так что [pic].
Функция Вейерштрасса [pic] определяется с помощью равенства
| | скачать работу |
Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |