Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

ить  к  правой  части
произвольное мнимое число [pic]:

           [pic],       [pic].                  (19)

     Отделим   в   (18)   вещественную   и   мнимую    части,    так    как
вещественная

     [pic]

часть даст нам интеграл Пуассона для [pic]  и  мнимая  же  часть  доставляет
выражение [pic] через [pic].
     Для единичного круга [pic], имеет вид:

           [pic],                           (20)

где  [pic],   [pic]  -  представляет  значение  вещественной  части  искомой
функции в точке [pic].


                      б) Интегральная формула Пуассона.

  Задача Дирихле  об  определении  значений  гармонической  функции  внутри
     круга, если известны ее значения на границе, решается,  как  известно,
     интегралом Пуассона:
     [pic],                 (21)
где [pic] - полярные координаты точки, где ищется значение решения; [pic]  -
радиус окружности и [pic] - функция полярного угла [pic],  дающая  граничные
значения [pic]  [9].
                            Можно проверить разложением в ряд Тейлора, что
                       [pic],
                            ([pic], [pic])
                            Поэтому [pic] представима рядом:
                        [pic]
                        [pic]                (22)
      где [pic] и [pic] - коэффициенты Фурье [pic]:

    [pic];   [pic];   [pic]


     В центре окружности при [pic] мы получаем:
           [pic]               (23)

     Равенство (23) – теорема Гаусса  о  том,  что  значение  гармонической
функции в центре окружности  есть  среднее  арифметическое  ее  значений  на
самой окружности.



                  в) Интеграл Пуассона для внешности круга.

     Найти функцию, гармоническую и ограниченную  вне  окружности  [pic]  и
принимающую на самой окружности заданные значения [9]:
     [pic],  [pic]  ([pic]).
     Покажем, что искомую функцию [pic] может быть представлена  интегралом
типа Пуассрна, который может быть получен из (1).
     Пусть [pic], а [pic],
Функция [pic],  гармоническая  вне  окружности  [pic],  перейдет  в  функцию
[pic], гармоническую внутри круга радиуса [pic], принимающую на его  границе
значения
                      [pic].
     По формуле (1) она при [pic] представима интегралом Пуассона:
           [pic].
     Если в этом равенстве подставить вместо [pic]  и  [pic]  их  выражения
через [pic] и [pic] и заменить переменную интегрирования, положив [pic],  то
мы получим формулу Пуассона для внешности окружности:
           [pic],                     (24)
решающую поставленную задачу. Она отличается от (1) только тем,  что  в  ней
[pic] и [pic] переменились местами, так что ядро  интеграла  (4)  отличается
от ядра интеграла Пуассона (1) только знаком.
     Разложение искомой функции в тригонометрический ряд, подобный ряду
        (22), представляющей ее вне окружности:
           [pic].                        (25)
     Если в (25) [pic]([pic],  то  получим  теорему  Гаусса  для  внешности
окружности:
                 [pic],
             (26)
т.е.  значение  гармонической  функции   на   бесконечности   есть   среднее
арифметическое значений на граничной окружности.

                г) Задача Дирихле-Пуассона для полуплоскости.

     Аналитический  аппарат,  позволяющий  гармоническую   функцию   внутри
верхней полуплоскости по известным граничным значениям ее вещественной  оси,
можно получить  из  интеграла  Пуассона  путем  преобразования  круга  [pic]
плоскости [pic] на верхнюю полуплоскость [pic] при помощи функции
                                 [pic]
                    Граничные  значения  на  окружности  [pic]  перейдут   в
               граничные значения на вещественной оси и мы получим  искомую
               формулу в виде [1]:
               [pic],  ([pic])  (27)
                    При неточных графических расчетах формулу  (27)  удобнее
               употреблять в ином виде, взяв за  переменную  интегрирования
               не [pic], а угол [pic],  который  образует  прямая  [pic]  с
               перпендикуляром [pic] к оси [pic], опущенным из точки [pic],
               имеем:
                    [pic],   [pic]
               и окончательно имеем:
                      [pic].                (28)



                   д) Задача Дирихле для кругового кольца.

     Граничные значения гармонической функции [pic]  на  окружности  кольца
[pic] мы будем предполагать заданными в  форме  функций  от  полярного  угла
[pic] и обозначим их соответственно через [pic] и [pic].
     Сопряженная с [pic] гармоническая функция [pic] будет  вообще  говоря,
не однозначной, и фкп   [pic] будет состоять из двух слагаемых:  однозначной
составляющей, могущей быть разложенной в ряд Лорана  в  кольце,  и  логарифм
[pic] с вещественным коэффициентом:
           [pic],   [pic].                   (29)
     Отделяя вещественную и мнимую части, мы получим решение поставленной
        задачи – задачи Дирихле в кольце, но здесь суммируется не так
        просто.
     Существует более  компактная  и  эффективная  формула  –  интегральная
формула Вилля для кругового кольца [2], [3].



           §3. Интегральная формула Анри Вилля – проблема Дирихле
                       для кругового кольца   (1912).


    Пусть в плоскости комплексного переменного [pic] дано круговое кольцо
                      [pic], ограниченное окружностями

                            [pic],         [pic],
где заданное положительное число [pic]<1.
     Требуется найти регулярную и однозначную внутри области [pic]  функцию
[pic], если известны значения ее вещественной части на границах кольца.
     Для случая круга аналогичная задача решается известной формулой Шварца
        Г. (1869г)  (п.1)
     [pic],  ([pic], [pic]),
где с – действительная переменная.
     Здесь предполагается, что радиус круга равен 1, а положение  точки  на
окружности  определяется  аргументом  [pic]  этой  точки,  так   что   [pic]
представляет значение вещественной части искомой функции в точке [pic].
     Нашей задачей является переход от круга к кольцу и построение формулы,
аналогичной формуле (1).
     Обозначим через [pic] и  [pic]  значения  вещественной  части  искомой
функции [pic]  в  точках  с  аргументом  [pic]  на  внешней,  соответственно
внутренней, границе [pic].
     Основной нашей целью является выяснение того, как скажется на  формуле
переход от односвязной области к двусвязной.
     Величина
     [pic],
где интеграл справа берется по окружности радиуса [pic] ([pic]) с центром  в
точке [pic], очевидно, не зависит от [pic].  Тем  же  свойством  обладает  и
вещественная часть написанного интеграла.
     Отсюда,   приближая  вначале   [pic]   к   1,   а   замечая,   что   в
интеграле  можно

                      [pic]

сделать требуемые предельные переходы, получим:

                 [pic].            (30)

     Это условие, таким образом, необходимо для  разрешимости  поставленной
нами проблемы, и мы должны предположить, что она выполняется.
     Искомая функция [pic] может быть разложена в ряд Лорана

                 [pic].                      (31)

     Мы найдем разложения обеих функций [pic], [pic] в ряды Фурье. Из  этих
разложений получаются коэффициенты  [pic]  в  виде  некоторых  интегралов  и
подставляя в (31) получим известную формулу Анри Вилля для кругового  кольца
в форме Н.И.Ахиезера [7].

        [pic],   (32)

где  с  –  произвольная  вещественная  константа,   [pic]   -   произвольное
положительное  число,  а  чисто  мнимое  число  [pic]  находится  с  помощью
равенства
                 [pic],                                   (33)

[pic], [pic] и, наконец [pic] - функция Вейерштрасса.
     Формула (32), принадлежащая Вилли, представляет собой  аналог  формулы
Шварца для  кругового  кольца;  она  приведена  в  иной  форме,  например  в
монографии Н.Ахиезера  [7].

а) Преобразование интегральной формулы А.Вилля   (32).

Формула Анри Вилля в форме Н.И.Ахиезера  [7].

[pic],  (34)
где из (33) следует, что [pic], где  [pic]  -  положительное  действительное
число, можно придать более  компактную  форму,  если  несколько  преобразуем
(32), учитывая (33) и замечая,  что  [pic]  можно  выразить  через  [pic]  с
учетом граничных свойств:
      [pic]   [pic]   [pic],
      [pic]   [pic]   [pic]   [pic]   [pic],   [pic];         (35)
      [pic]   [pic]   [pic]   [pic]   [pic],   [pic].
     Таким образом, интегральная формула (32) с учетом (34) и  (35)  примет
следующий окончательный вид:
           [pic],                               (36)
где с – постоянная.
Формулу  (36)   можно   назвать   канонической,   компактной   и   контурной
интегральной формулой Анри Вилля для кругового кольца.

б) Функции Вейерштрасса.

     В виду важности трех функций Вейерштрасса [pic],  [pic]  и  [pic]  для
практического  применения  и  простоты  реализации  на  ЭВМ  мы   рассмотрим
следующие варианты представления данных функций [19] - [22]:
   1.   [pic]   (37)
     или
     [pic]           (38)
   2.   [pic],
      [pic] :             [pic]   ,   [pic]             (39)
                                         [pic]    ,    [pic]
для действительных нулей [pic] полинома  [pic]  возможны  следующие  частные
случаи:
      [pic] :             [pic]   ,   [pic]
                                         [pic]   ,    [pic]
     [pic].
   3.     [pic],
           [pic],
где [pic],  [pic],  [pic].
   4.   [pic]   (41)
где [pic];
     [pic]; [pic];  [pic].
   5.   [pic],  т.е.
                 [pic],                  (44)
где ([pic]),
      [pic],   [pic]            (45)
или
   6.   [pic]                    (46)
[pic]   – эллиптическая функция Вейерштрасса [pic].
     Функция Вейерштрасса  [pic],          (48)
так что [pic].
     Функция Вейерштрасса [pic] определяется с помощью равенства
           
12345След.
скачать работу

Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ