Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
ирихле
для заданных областей.
Пусть [pic], [pic], [pic] - нормированная функция дает конформное
отображение канонической области [pic] плоскости [pic] на соответствующую
область [pic] плоскости [pic]. Простоты ради будем считать, что [pic].
В силу конформности отображения [pic] мы имеем, что [pic] всюду в
[pic] и, как легко видеть реальная (действительная) часть голоморфной в
[pic] функции
[pic] равна [pic] на окружностях [pic]:
[pic], (72)
где [pic] при [pic], ([pic]), (73)
[pic], [pic] - угол наклона касательной к [pic]в точках [pic],
соответствующих [pic] при отображении [pic]. Область [pic]ограничена
гладкими кривыми типа Ляпунова [pic], а в каждой точке [pic] контура
области [pic] плоскости [pic] известен угол наклона [pic].
Здесь вещественные числа [pic] и комплексные числа [pic], [pic] таковы
для конечной [pic] - связной области, что
[pic] [pic], [pic], ([pic], [pic]). (74)
При этом будем считать, что [pic] - внешняя, а [pic] - внутренние
кривые, и будем считать, что [pic], [pic] [5].
Из существования отображающей функции [pic] следует,
что функция [pic] регулярная, однозначная и эффективная в
канонической области [pic]согласно равенству (64),
представляется по интегральной формуле Шварца [5] в форме
Александрова-Сорокина в следующем виде:
[pic]. (75)
Функция [pic] регулярна и действительные части на граничных
компонентах [pic] принимают непрерывные значения [pic], определяемые
равенством (65), а [pic] - ядро определяется следующими формулами [5]:
[pic], (76)
[pic], (77)
1, при [pic]
-1, при [pic], с – вещественное число.
Если мы в (67) отделим вещественную и мнимую части, то мы получим две
интегральные формулы Пуассона для [pic] - связных круговых областей [pic];
что мы и делаем, следуя вычислениям Александрова-Сорокина [5], т.е. решаем
задачу Дирихле-Пуассона: об определении значений гармонической функции
внутри канонической области [pic], если известны ее значения на границах
[pic], [pic] - функция полярного аргумента, дающая граничные значения
[pic].
[pic], (78)
[pic], (79)
где [pic], [pic], [pic].
Рассмотрим некоторые частные задачи Дирихле-Пуассона для [pic].
Следствие 1. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим
формулу Пуассона – интеграл Пуассона для круга [ ]:
[pic], ([pic]) (80)
[pic], ([pic]) (81)
Следствие 2. Если в формулах (72) и (73) положить [pic], то мы получим
две интегральные формулы Пуассона для кругового кольца:
[pic], (82)
[pic], (83)
где (74) и (75) – реальные и мнимые части компактной интегральной формулы
Вилля-Шварца для кругового кольца [2], [pic] - функция Вейерштрасса, [pic]
- угол наклона касательной к [pic] в точке [pic], [pic], [pic] - периоды, с
– произвольная постоянная, [pic] ([pic]).
Так как функция [pic]) представляется быстро сходящимися рядами, то
формулы (74) и (75) можно с успехом использовать для приближенного решения
соответствующих граничных задач.
Следствие 3. Если в формулах (70) и (71) [pic] - задана нормальная
(касательная) производная, то мы получим две интегральные формулы Дини-
Шварца для соответствующих областей, т.е. получим непосредственное
обобщение интеграла Дини, дающее решение граничной задачи Неймана для
заданных рассмотренных областей.
В случае единичного круга [pic] эта формула имеет вид[1, 9]:
[pic], (84)
где действительная функция [pic] при [pic], под [pic] понимается
дифференцирование по направлению внутренней нормали, а с – произвольная
постоянная. Формула (76) имеет место при условии, что
[pic]. (85)
Условие (77) – необходимое и достаточное условие дл разрешимости
рассматриваемой граничной задачи и при его выполнении искомая однозначная
аналитическая функция определяется с точностью до произвольного
комплексного постоянного слагаемого.
А из (76) следуют формулы Дини:
[pic],
[pic].
В случае кругового кольца [pic], имеем
[pic], (87)
где [pic], [pic]
[pic], [pic].
Формула (80) – формула Дини-Шварца или интегральная формула Дини-
Шварца для кругового кольца.
Если в равенстве (79) отделить действительные и мнимые части, то мы
получим непосредственное обобщение интегральной формулы Дини, дающее
решение граничной задачи Неймана для кругового кольца:
[pic],
[pic],
где [pic], [pic], [pic].
Формулу (81) можно назвать формулой Дини-Вилля для кругового кольца.
Аналогично можно найти интегральные формулы Пуассона, Шварца-Дини для
любых ([pic]) связных (конечных и бесконечных) областей, используя формулы
(70) и (71).
§6. Интегральная формула Чизотти-Пуассона-Дирихле
для конечных трехсвязных областей.
Формула Чизотти для многосвязных круговых областей дает выражение
функции, реализующей конформное отображение области [pic] ограниченной
окружностями [pic], ([pic], [pic]0, 1, 2 и [pic]) на многосвязную
область [pic] плоскости [pic], ограниченную гладкими кривыми [pic] [pic].
Если в каждой точке [pic], где [pic], контура [pic] области [pic]
плоскости [pic] известен угол наклона [pic] касательной к [pic], где [pic],
[pic] - внешняя, [pic] - внутренние, [pic], [pic].
Построим функцию [pic] дающую конформное отображение области [pic] на
[pic], где [pic]. тогда [pic] голоморфна в [pic] и действительная часть
голоморфной функции [pic] равна [pic] на окружности [pic], т.е.
[pic], [pic], (90)
где [pic] - угол наклона касательной к [pic] в точках [pic] соответствующих
при отображении функцией [pic].
Из существования отображающей функции следует, что функция [pic] в
области [pic] согласно (82) можно представить по формуле Шварца для
многосвязных областей. Функция [pic] регулярна и однозначна в области [pic]
и ее действительная часть на [pic] принимает непрерывные значения [pic].
Тогда с помощью формулы Шварца, с учетом (82) функция [pic] принимает вид:
[pic], (91)
где [pic], [pic], [pic], [pic] - заданная плотность по граничному
условию (81), [pic] - ядро, определяемое следующими формулами:
[pic], где:
[pic];
[pic];
[pic];
[pic]; [pic]; [pic].
[pic]; [pic],
где [pic] ядра, зависящие от натурального параметра.
Определив [pic], мы сможем из (82) найти [pic]:
[pic], (93)
где А – произвольная постоянная, [pic] - определяется равенством (83).
Отсюда интегрируя обе части (85) получим:
[pic], (94)
(86) – есть формула Чизотти для конечных трехсвязных областей.
Итак, интегральная формула Чизотти для конечных трехсвязных областей
имеет вид:
[pic]
где А и В – постоянные, определяемые из нормировки функций:
[pic],[pic],[pic]>0.
Если [pic], то [pic] и [pic] - две интегральные формулы Пуассона для
заданных трехсвязных областей.
Если [pic], то
[pic]
[pic],
где [pic], [pic] (Шварц, 1869),
[pic], [pic] (Вилля, 1921), (96)
[pic], [pic] (Александров-Сорокин, 1972),
Формулу (87) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для
рассмотренных областей [pic], а формулы (88) – интегралами типа Шварца, а
реальные и мнимые части от функции [pic] - интегральными формулами типа
Пуассона.
Аналогичные формулы мы получим и для неконцентрического кругового
кольца, и для внешности [pic] и [pic] окружностей [4].
Рассмотренные выше формулы (86) – (88) – очень эффективны, когда [pic]
- правильные многоугольники (формулы Кристоффеля-Шварца-Дирихле для
рассмотренных областей).
Замечание 1. Так как заданные функции [pic] - являются быстро
сходящимися рядами (см. §3, формулы (37) – (48)), то все рассмотренные
интегральные формулы можно с успехом использовать и для приближенного
решения соответствующих граничных задач.
Замечание 2. Так как решение задачи Неймана сводится к решению задачи
Дирихле для сопряженной однозначной гармонической функции, мы рассмотрели
только задачу Дирихле.
Замечание 3. Классические краевые задачи являются частными случаями
задачи:
Найти регулярное в области [pic] решения эллиптического уравнения
[pic], (97)
удовлетворяющие на границе [pic] условию
[pic], (98)
где [pic] - производная по некоторому направлению, а [pic] - заданные
непрерывные на [pic] функции, причем [pic] всюду на [pic] и
1. при [pic], [pic] - задача Дирихле;
2. при [pic], [pic] - задача с косой производной, которая переходит в
задачу Неймана, если направление [pic] совпадет с направлением по
нормали.
Литература.
1. М.А.Лаврентьев, В.В.Шабат. "Методы теории функции комплексного
переменного". М. 1965.
2. Х.Т.Тлехугов. "Формула Чизотти для кругового кольца". Труды ВЦАН Груз.
| |  скачать работу |
Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
