Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле
[pic].
Из этой формулы следует и
[pic]
где путь интегрирования не проходит ни через одну вершину сетки периодов,
отличную от точки [pic].
§4. О некоторых применениях теории конформного
отображения к краевым задачам.
а) Об структурном классе интегральных представлений.
Как известно, интегральное представление аналитических функций ИПАФ
давно служит:
- как удобный аппарат для обозримого представления аналитических решений
дифференциальных уравнений. Например, специальные функции – функции
Бесселя, Эйри, Лежандра, Лагера, Эрмита, многочлены Чебышева,
гипергеометрическая функция и многие другие – являются решениями линейных
дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами;
- для исследования ассимптотики этих решений и их аналитического
продолжения;
- несколько позже – нашли применения для решения граничных задач теории
аналитических функций и сингулярных уравнений;
- исследование внутренних и граничных свойств аналитических функций
различных классов, а также для решения других, самых разнообразных
вопросов математического анализа (интегралы Коши, Пуассона, Шварца,
Чизотти и т.п.)
Обширный класс интегральных представлений аналитических функций,
используемых для получения и исследования аналитических решений
дифференциальных уравнений (АРДУ), описывается общей формулой:
[pic] (49)
где [pic] - ядро типа Шварца, зависящее от связности данной области, [pic]
- аналитическая функция, регулярная и однозначная в (n+1) – связной
канонической круговой области [pic], [pic] - заданная плотность –
вещественная функция в точках [pic], [pic] контура круговой области [pic].
Вещественные [pic] и комплексные [pic] таковы, что [pic]:
[pic], [pic], ([pic], [pic]). (50)
По заданным интегральным представлениям (49) можно найти аналитическое
решение дифференциальных уравнений (АРДУ) для произвольных областей [pic]
плоскости [pic], ограниченную замкнутыми кривыми [pic] типа Ляпунова.
(Существует касательная в каждой точке [pic], [pic], [pic], [pic] - угол
между касательными; кривая замкнута и ограничена).
Используя интегральные представления Чизотти, мы получим решение
задачи Дирихле для области [pic] и интегральные формулы Пуассона для [pic]:
[pic] [pic](51)
[pic] [pic]. (52)
Из (52) получим:
[pic];
[pic].
где
[pic], [pic]
[pic], [pic]
[pic], [pic]
[pic], [pic], [pic], [pic] [4];
В случае круга:
[pic],
[pic][pic].
Круговое кольцо:
[pic];
[pic],
где [pic] - функция Вейерштрасса, [pic] [pic], [pic], [pic], [pic] -
некоторые постоянные, определяемые из нормировки отображений функций [pic],
[pic], [pic] - периоды функции [pic].
Формулу (53) назовем интегральными формулами Дирихле-Чизотти для
областей [pic], или решениями задачи Дирихле для рассматриваемой области
или интегральными формулами Пуассона для соответствующих канонических
областей [pic].
б) О решении задачи Дирихле методом Чизотти
для многосвязных областей
Как мы знаем, решение задачи Дирихле для произвольных многосвязных
областей найти явное и эффективное решение трудоемкая или невозможная
проблема.
Поэтому более эффективное нахождение краевых задач представляет
немаловажный интерес в теории аналитических и гармонических функций для
многосвязных областей ( неконцентрического кругового кольца, внешности двух
кругов и для конечных двух-трехсвязных областей и т.д.) используя
интегральную формулу Чизотти для заданных соответствующих областей.
1. Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на
[pic], где [pic], [pic]; ([pic]):
[pic], (57)
где [pic] и [pic] - постоянные, [pic] определяется однозначно по формуле
Шварца для соответствующих заданных областей.
Пусть [pic] - регулярная функция в [pic]. Так как подинтегральное
выражение (57) представимо по формуле Эйлера в следующем виде:
[pic], то
[pic] (58)
[pic]
С учетом (58) интегральная формула (57) примет вид:
[pic];
[pic].
где [pic] и [pic] - постоянные (к=1,2).
Формулу (59) можно назвать интегральной формулой Дирихле-Чизотти для
конечных многосвязных областей, т.к. формула (57) есть интегральная формула
Чизотти для конечных многосвязных круговых областей.
Если найден [pic] и [pic] от известного интегрального выражения
[pic]):
[pic], т.е.
[pic]; (60)
[pic],
то мы получим решение граничной задачи Пуассона для канонических (конечных,
бесконечных) областей [pic].
2. Если область [pic] - концентрическое круговое кольцо, то
[pic], (61)
где [pic] - заданная функция [pic] - функция Вейерштрасса, то мы имеем
интегральную формулу Вилля-Шварца (61) в компактной контурной форме.
Из (61) получим:
[pic], (62)
[pic], (63)
где [pic], [pic], [pic], [pic].
Формулы (62) и (63) называются интегральными формулами Вилля-Пуассона.
Подставляя (62) и (63) в исходную интегральную (59) мы получим интегральную
формулу Дирихле через интеграл Чизотти. Формулы (62) и (63) можно назвать
интегральными формулами Дирихле-Чизотти для конечных двусвязных областей.
в) Интегральная формула Чизотти для заданных областей – решение
задачи Дирихле для соответствующих областей.
Если известны интегральные формулы Шварца для круговых областей [pic],
дающие аналитической в [pic] функции [pic] через нормальной производной ее
действительной части на границе [pic] области [pic] и интегральные
представления Чизотти для круговых областей, дающие выражение функции
[pic], реализующей конформное отображение области [pic] на ограниченную
гладкой кривой (51), (52), то поэтому интегральную формулу, дающую
конформное отображение [pic] на [pic] через нормальную (касательную)
производную ее действительной (мнимой) части [pic] на границе [pic],
естественно назвать интегральной формулой Дини-Шварца-Чизотти для заданных
областей.
Можно рассмотреть интегральные формулы Дини-Шварца для многосвязных
областей и их применение к решению краевых задач типа Дирихле.
Решение задачи Неймана сводится к решению задачи Дирихле сопряженной
гармонической функции.
Учитывая, что задача конформного отображения многосвязной области
[pic] на каноническую область [pic] и задача Дирихле для той же области
эквивалентны (49), используем интегральный метод Чизотти для
соответствующих областей (50), (51).
Применяя ИПАФ типа Шварца регулярной и однозначной в [pic], найдем
решение задачи Дирихле, как представляющее однозначную и аналитическую
(гармоническую) в произвольной многосвязной области функцию
[pic] (64)
удовлетворяющую в [pic] уравнению
[pic] (65)
и граничному условию
[pic], [pic], (66)
где [pic].
Решение задачи (65) и (66) в заданных произвольных областей [pic]
имеет следующий вид:
[pic] (67)
или после соответствующих преобразований получим (§4 п."б"):
[pic];
[pic], (68)
где [pic] и [pic] постоянные, определяемые нормировкой функции [pic], [pic]
- угол наклона касательной [pic] в точке [pic], соответствующей [pic] при
отображении [pic].
Пусть теперь [pic] - каноническая область (круг, концентрическое
круговое кольцо, внешность двух кругов, …), а [pic] - соответствующая
область, ограниченная контуром [pic].
Построим функцию [pic], дающую конформное отображение [pic] на [pic].
Причем будем для простоты считать, что [pic], [pic].
В силу конформности отображения [pic] всюду в [pic] функция равна
[pic]; [pic] на [pic] (69)
[pic], [pic]
Следовательно, функцию [pic]можно представить следующими интегральными
формулами типа Шварца:
[pic], [pic], ([pic]);
[pic], [pic], ([pic]; (70)
[pic], [pic],
где [pic] - ядро Шварца для круга;
[pic] - функция Вейерштрасса;
[pic] - ядро Александра-Сорокина для неконцентрического кругового
кольца;
[pic] - ядро для внешности двух окружностей;
[pic] - ядро для симметричных и равных (неравных) окружностей.
Интегральное представление (68) назовем интегральной формулой для
решения задачи типа Дирихле для рассмотренных областей [pic].
Для нахождения гармонической [pic] (или [pic]) в произвольной
односвязной области [pic]функций, достаточно знать [pic] или [pic] обычные
классические интегральные формулы Пуассона для круга [pic]:
[pic]
или
[pic].
2. Для нахождения решения задачи Дирихле в произвольной двусвязной
ограниченной (конечной) области [pic] через [pic] - решение кругового
кольца надо пользоваться контурной компактной формулой Вилля, т.е. [pic] и
[pic] - интегральные формулы Пуассона для кругового кольца ([pic]):
[pic],
[pic].
Таким образом, аналогичными примерами можно найти и для остальных
рассмотренных областей решения задачи Дирихле ([pic]) через [pic] и [pic].
§5. Об интегральных представлениях Пуассона-Д
| |  скачать работу |
Об интегральных формулах Вилля-Шварца для трехсвязных областей и ее применение к краевым задачам Дирихле |
