Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства
действительные
числа и число [pic]. Изобразим горизонтальную числовую прямую, направленную
вправо и числа на ней.
При движении вдоль прямой слева направо числа будут появляться в
порядке их возрастания. Ясно, что [pic]. Но [pic], так как точка,
изображающая [pic], расположена правее точки, изображающей [pic]. Таким
образом, мы имеем следующее геометрическое правило для определения
неравенства:
Пусть [pic]и[pic]- какие-нибудь два действительных числа,
изображенных точками горизонтальной числовой прямой, направленной слева
направо. Тогда [pic] в том и только том случае, когда точка, изображающая
число [pic], лежит правее точки, изображающей число [pic].
Это геометрическое правило можно заменить простым арифметическим
правилом, если принять понятие положительного числа за основное:
Пусть [pic]и [pic]- какие-нибудь два действительных числа. Тогда
[pic]в том и только том случае, когда [pic]положительно. В частности всякое
положительное число больше нуля, ибо разность [pic]положительна. Поэтому
неравенство [pic]употребляется для символической записи утверждения, что
число [pic]положительно. Отрицательное число определяется как число,
противоположное положительному числу относительно точки [pic]на числовой
прямой. Всякое отрицательное число меньше нуля, ибо, если
[pic]отрицательно, то [pic]положительно. Запись [pic]употребляется для
обозначения утверждения, что [pic]отрицательное число.
Число нуль обладает тем свойством, что [pic]для любого
действительного числа [pic].
Итак, числа [pic]и [pic]могут относиться друг к другу следующим
образом:
1). [pic]
2). [pic]
3). [pic]
Причем всегда имеет место одно и только одно из этих соотношений.
Рассмотрим теперь основные свойства неравенств.
Теорема 1. Если [pic]и [pic], то [pic].
Это свойство называется свойством транзитивности неравенств.
В самом деле,
[pic]
как сумма двух отрицательных слагаемых. Дадим геометрическое толкование
свойства транзитивности: точка [pic]на числовой прямой расположена левее
точки [pic], а точка [pic]левее точки [pic], при этих условиях точка [pic]
расположена левее точки [pic].
Теорема 2. Если [pic], то [pic], т.е. при изменении знака обеих частей
неравенства смысл знака неравенства меняется на обратный.
Действительно,
[pic]
Следовательно, по определению [pic].
Геометрическая иллюстрация:
Теорема 3. Если [pic]и [pic], то [pic], т.е. обе части неравенства можно
умножить на положительное число.
Действительно,
[pic]
Но [pic]и [pic]. Следовательно, [pic]. Итак, [pic], т.е. [pic], что и
требовалось доказать.
Теорема 4. Если [pic]и [pic], то [pic], т.е. при умножении на отрицательное
число знак неравенства меняется на противоположный.
Действительно,
[pic].
Но [pic], [pic], следовательно, и [pic], т.е. [pic].
Теорема 5. Если [pic]и [pic], то [pic], т.е. при умножении обеих частей
неравенства на нуль неравенство переходит в равенство.
Действительно,
[pic]
Теорема 6. Если [pic]и [pic] - произвольное число, то [pic], т.е. к обеим
частям неравенства можно прибавить произвольное число.
Действительно, [pic], где [pic]. Следовательно, [pic], а так как
[pic], имеем: [pic].
Теорема 7. Если [pic], [pic]и [pic], то [pic]. Предварительно напомним,
что [pic]есть обратное число, т.е. такое, что [pic]. Имеем [pic]. Но, с
другой стороны,
[pic][pic]
Следовательно, и [pic], так как, если произведение и один из множителей
положительны, то и другой множитель положителен. Значит [pic]. [pic]
Теорема 8. Если [pic], то [pic], т.е. квадрат любого отличного от нуля
числа положителен. Это следует из определения умножения положительных и
отрицательных чисел.
Теорема 9. Если [pic]и [pic] , то [pic], т.е. два неравенства одинакового
смысла можно сложить.
Имеем [pic], [pic] ,где [pic]и [pic]. Следовательно,
[pic]
или
[pic]
где [pic], что и требовалось доказать.
Теорема 10. Если [pic]и [pic], то [pic]. Как легко показать, разность
[pic] положительна.
Теорема 11. (о перемножении неравенств)
Если [pic][pic], [pic]и [pic] и [pic] положительны, то [pic], т.е. обе
части неравенства с положительными членами можно умножить на неравенство
того же смысла, больший член которого положителен.
Имеем последовательно:
[pic]
Здесь каждое произведение, а следовательно, и сумма положительны, что и
требовалось доказать.
Теорема 12. (о делении неравенств)
Если [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] - положительны, то [pic] .
Действительно, здесь [pic], и, на основании теоремы о перемножении
неравенств, имеем [pic] , что и требовалось доказать.
Теорема 13. Если [pic] - четное число, [pic], а [pic], то [pic], т.е.
четная степень любого числа, отличного от нуля, положительна.
Теорема вытекает из положений, что [pic] и [pic].
Теорема 14. Если [pic]- нечетное число, [pic] и [pic], то [pic], т.е.
отрицательное число в нечетной степени отрицательно.
Теорема вытекает из следующих соотношений: [pic]и [pic].
Теорема 15. Если [pic]- нечетное число, [pic]и [pic]- положительно, а
[pic]- отрицательно, то [pic]. Из предыдущего видно, что [pic], а [pic],
откуда [pic].
Теорема 16. Если числа [pic]и [pic]положительны и [pic], то [pic], где
[pic]- целое положительное число.
Действительно, если предположить, что [pic] , то возведя обе части
неравенства в степень [pic]. получим [pic], т.е. придем к противоречию.
Теорема 17. Если [pic], то [pic], где [pic] - произвольное положительное
рациональное число.
В самом деле, из [pic]имеем [pic] и дальше [pic].
Мы рассмотрели числовые неравенства. Пусть теперь нам даны две
функции [pic] и [pic]. Если поставить между ними один из знаков неравенства
((,(, [pic],[pic]), получим условное неравенство. В дальнейшем такие
условные неравенства мы будем называть просто неравенства.
Областью определения или областью допустимых значений (ОДЗ)
неравенства [pic] называется множество таких значений [pic], при которых и
функция [pic], и функция [pic]определены. Иными словами, ОДЗ неравенства
[pic]- это пересечение ОДЗ функции [pic]и ОДЗ функции [pic].
Частным решением неравенства [pic]называется всякое удовлетворяющее
ему значение переменной [pic]. Решением неравенства называется множество
всех его частных решений.
Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их
решения совпадают (в частности, если оба неравенства не имеют решений).
Если каждое частное решение неравенства [pic] является в то же время
частным решением неравенства [pic], полученного после преобразований
неравенства [pic], то неравенство [pic]называется следствием неравенства
[pic]. В следующих теоремах речь идет о преобразованиях, приводящих к
равносильным неравенствам.
Теорема 18. Если к обеим частям неравенства прибавить одну и туже
функцию [pic], которая определена при всех значениях [pic]из области
определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак
неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким
образом, неравенства
[pic](1)
и
[pic](2)
равносильны.
Доказательство: Пусть [pic]=[pic]- произвольное решение неравенства [pic].
Тогда [pic]- истинное числовое неравенство. Прибавим к обеим его частям
число [pic] (по условию это число существует, ибо неравенства (1) и (2)
имеют одну и ту же область определения. На основании свойства 6 числовых
неравенств заключаем, что числовое неравенство [pic]- истинное.
Следовательно, произвольное решение неравенства (1) является решением
неравенства (2).
Обратно, пусть [pic]- произвольное решение неравенства (2), значит
[pic] - истинное числовое неравенство. После вычитания из обеих частей
этого неравенства числа [pic]по свойству 6 числовых неравенств получим
истинное числовое неравенство [pic]. Итак, произвольное решение неравенства
(1) является решением неравенства (2) и произвольное решение неравенства
(2) является решением неравенства (1). Теорема доказана.
Следствие. Неравенства
[pic]
и
[pic]
равносильны.
Теорема 19. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и
ту же функцию [pic], которая при всех значениях [pic]из области определения
исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом
оставить без изменения знак исходного неравенства, то получится
неравенство, равносильное исходному.
Таким образом, если [pic], то неравенства
[pic](1)
и
[pic](2)
(или [pic]) равносильны.
Доказательство: пусть [pic] произвольное решение неравенства (1). Тогда
[pic]- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число
[pic](по условию это число существует, ибо функция [pic]имеет смысл при
всех [pic]из области определения неравенства (1), причем [pic]). Н
основании свойства 3 числовых неравенств заключаем. что числовое
неравенство (2) тоже истинное при [pic].
Обратно, пусть
| |  скачать работу |
Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства |
