Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства
[pic]- произвольное решение неравенства (2), значит
[pic] - истинное числовое неравенство. После деления обеих частей
неравенства на число [pic](по условию) по свойству 12 числовых неравенств
получим истинное числовое неравенство [pic].
Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и то
же положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится
неравенство, равносильное данному.
Теорема 20. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одну и
ту же функцию [pic], которая при всех значениях [pic]из области определения
исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом
изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство.
равносильное исходному.
Таким образом, если [pic], то неравенства
[pic](1)
и
[pic](2)
(или [pic]) равносильны.
Доказательство: Пусть [pic]произвольное решение неравенства (1). Тогда
[pic]- истинное числовое неравенство. Умножим обе его части на число
[pic](по условию это число существует, ибо функция [pic]имеет решение при
всех [pic]из области определения неравенства (1)). На основании свойства 4
числовых неравенств заключаем, что числовое неравенство [pic] тоже
истинное.
Обратно, пусть [pic] - произвольное решение неравенства (2), значит
[pic]-истинное числовое неравенство. Умножив обе части этого неравенства на
число [pic]по свойству 4 числовых неравенств получим истинное числовое
неравенство [pic].
Итак, произвольное решение неравенства (1) является решением
неравенства (2) и произвольное решение неравенства (2) является решением
неравенства (1). Теорема доказана.
Следствие. Если обе части неравенства умножить (или разделить) на одно и
тоже отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то
получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 21. Пусть дано неравенство [pic], причем [pic]и [pic]при всех
[pic]из области определения неравенства. Если обе части неравенства
возвести в одну и ту же натуральную степень [pic]и при этом знак
неравенства оставить без изменения, то получится неравенство
[pic],
равносильное данному.
Доказательство: пусть [pic]- произвольное решение неравенства [pic]. Причем
[pic]и [pic](по условию). Тогда [pic]- истинное числовое неравенство. Но по
свойству 17 числовых неравенств получаем, что числовое неравенство
[pic]тоже истинно. Что и требовалось доказать.
Замечание. При выполнении тождественных преобразований возможно изменение
области определения выражения. Например, при приведении подобных членов,
при сокращении дроби может произойти расширение области определения. При
решении неравенства в результате тождественных преобразований может
получиться неравносильное неравенство. Поэтому после выполнения
тождественных преобразований, которые привели к расширению области
определения неравенства, из найденных решений нужно отобрать те, которые
принадлежат области определения исходного неравенства.
3. Корень [pic]- й степени. Иррациональные неравенства.
Определение. Корнем [pic]- й степени из действительного числа
[pic]называется действительное число [pic]такое, что [pic].
В частности, если [pic], [pic], то из [pic]получаем, что [pic]или
[pic]. Если [pic], [pic], то из [pic]получаем, что [pic]. Заметим, что если
[pic]- четное, а [pic], то по свойствам действительных чисел не существует
действительных [pic]таких, что [pic]. Если [pic]- четное, а [pic], то
существует ровно два действительных различных корня [pic]- й степени из
[pic]. Положительный корень обозначается через [pic]- арифметический корень
[pic]- й степени из [pic], отрицательный [pic]. Если [pic], то при любом
[pic]существует единственный корень [pic]- й степени из [pic]- число [pic].
Если, [pic]- нечетное, то для любого действительного числа
[pic]существует единственный корень [pic]- й степени из [pic]. Этот корень
называется арифметическим корнем [pic]- й степени из числа и обозначается
[pic].
Итак:
1. [pic]- четное, [pic], [pic]- арифметический корень [pic]- й степени из
неотрицательного числа [pic].
2. [pic]- нечетное, [pic]- любое действительное число, [pic]-
арифметический корень [pic]- й степени из действительного числа [pic].
Значит, если показатель корня - число нечетное, то действия с такими
корнями не вызывают затруднений ([pic] имеет тот же знак, что и [pic]),
Основной случай для исследования - когда [pic]- четное.
Пусть функция [pic]- иррациональная, т.е. задается с помощью
иррационального алгебраического выражения и не может быть задана с помощью
рационального алгебраического выражения. Иррациональным неравенством
называется неравенство вида [pic]. Для того, чтобы найти множество решений
иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части
неравенства в натуральную степень. Несмотря на внешнюю схожесть процедуры
решения иррационального уравнения и иррационального неравенства, между ними
существует большое отличие. При решении иррациональных уравнений можно не
заботиться о том, чтобы после возведения в степень получилось уравнение,
эквивалентное исходному: алгебраическое уравнение имеет конечное число
корней, из которых проверкой нетрудно отобрать решения исходного
иррационального уравнения.
Множество решений неравенства представляет собой, как правило,
бесконечное множество чисел, и поэтому непосредственная проверка решений
путем подстановки этих чисел в исходное неравенство становится
принципиально невозможной. Единственный способ, гарантирующий правильность
ответа, заключается в том, что мы должны следить за тем, чтобы при каждом
преобразовании неравенства у нас получалось неравенство, эквивалентное
исходному.
Решая иррациональные неравенства следует помнить, что при возведении
обеих его частей в нечетную степень всегда получается неравенство,
эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства
возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное
исходному и имеющее тот же знак, лишь в случае, если обе части исходного
неравенства неотрицательны.
4. Решение простейших иррациональных неравенств
Если иррациональное неравенство содержит один радикал, то всегда
можно привести его к равносильному неравенству, в котором радикал будет
находиться в одной части неравенства, а все другие члены неравенства - в
другой его части, то есть неравенству вида [pic] или [pic], где [pic]и
[pic]- рациональные алгебраические выражения относительно переменной [pic].
Привидение иррационального неравенства, содержащего один радикал к виду
[pic](1)
или
[pic](2),
называется уединением радикала.
Разобьем простейшие неравенства на две группы:
I – неравенства, содержащие радикал четной степени, т.е. [pic].
II - неравенства, содержащие радикал нечетной степени, т.е. [pic].
I. Рассмотрим решение неравенств вида (1). Ясно, что всякое решение этого
неравенства является в то же время решением неравенства [pic](при этом
условии имеет смысл левая часть неравенства) и решением неравенства
[pic](поскольку [pic]). Значит, неравенство
[pic](3)
равносильно системе неравенств:
[pic][pic]
где [pic]и [pic]следствия неравенства (3). Так как в области, определяемой
первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства
системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их
возведение в квадрат на указанном множестве есть равносильное
преобразование неравенства. В результате получаем, что неравенство (3)
равносильно системе неравенств:
[pic]
Таким образом, мы вывели теорему о решении неравенств вида (3).
Теорема 1. Неравенство вида [pic]равносильно системе неравенств:
[pic]
Аналогично для неравенств вида [pic].
Теорема 2. Неравенство вида [pic]равносильно системе неравенств
[pic]
Рассмотрим теперь неравенства вида (2), т.е.
[pic](4)
Оно равносильно системе
[pic](5)
Но в отличие от неравенства (3) [pic]может здесь принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Поэтому, рассмотрев систему
(5) в каждом из двух случаев [pic]и [pic], получим совокупность систем:
[pic][pic]
[pic][pic]
В первой их этих систем последнее неравенство можно опустить как
следствие двух первых неравенств. Во второй системе обе части последнего
неравенства можно возвести в квадрат (так как обе его части положительны).
Итак, неравенство (4) равносильно совокупности двух систем неравенств
[pic]
[pic]
Заметим, что второе неравенство второй системы можно опустить - оно
является следствием последнего неравенства системы.
Теорема 3. Неравенство вида [pic]равносильно совокупности двух систем
неравенств
[pic]
[pic]
Аналогично.
Теорема 4. Неравенство вида [pic]равносильно совокупности двух систем
неравенств
[pic]
[pic]
Неравенства вида [pic], [pic], [pic], [pic]являются частными случаями
рассмотренных выше неравенств, когда [pic].
Пример 1. Решим неравенство
| |  скачать работу |
Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства |
