Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства
[pic]
Решение. Заданное неравенство - неравенство вида (3), поэтому по теореме 1
оно равносильно системе неравенств:
[pic] [pic]
Так как квадратный трехчлен [pic]имеет отрицательный дискриминант и
положительный старший коэффициент, то он положителен при всех значениях
[pic]. Поэтому решения последней системы таковы: [pic].
Ответ: [pic]
Пример 2. Решить неравенство
[pic]
Решение. По теореме 3 наше неравенство эквивалентно совокупности систем
неравенств
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Применим метод интервалов для решения последней конструкции неравенств.
Решение первой системы:
Второй:
Получаем совокупность [pic]
Ответ: [pic]и [pic].
Пример 3. Решить неравенство
[pic]
Решение. По теореме 1 наше неравенство эквивалентно системе
[pic] [pic] [pic]
Последнее неравенство системы выполняется всегда. если [pic]и [pic].
Итак, решением неравенства является [pic]исключая [pic].
Ответ: [pic].
II. Рассмотрим теперь неравенства, содержащие радикал нечетной степени,
т.е. [pic]. Решение также проводится также путем последовательного
возведения обеих частей неравенства в соответствующую степень и
преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При возведении
неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается. Имеют место
следующие эквивалентные преобразования:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
При [pic]при возведении в степень [pic]знак не изменится, т.к. [pic],
[pic]. Значит [pic]при [pic].
[pic]может быть любое, т.к. под знаком радикала нечетной степени может
стоять как отрицательная, так и положительная функция.
Пример 4. Решить неравенство
[pic]
Решение. Возведем в куб обе части неравенства:
[pic]
или
[pic]
[pic]
[pic]
Решим полученное неравенство методом интервалов
Ответ: [pic].
5. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух
и более радикалов четной степени
Пусть дано иррациональное неравенство
[pic](1)
В неравенстве (1) левые и правые части положительные, поэтому при
возведении в четную степень эквивалентность не нарушается, если подкоренные
выражения будут неотрицательны. Поэтому имеют место следующие эквивалентные
преобразования:
[pic] [pic] (2)
[pic] [pic](3)
Пример 1. Решить неравенство
[pic]
Решение. Заменим данное неравенство эквивалентной системой неравенств
[pic]
и далее
[pic]
откуда получаем решение неравенства [pic].
Ответ: [pic].
Пример 2. Решить неравенство
[pic]
Решение. Предварительно упростим данное неравенство. умножив его на
положительное выражение [pic](т.к. мы рассматриваем всегда [pic]).
Проведем затем эквивалентные преобразования:
[pic]
или
[pic]
заменяем неравенство равносильной системой неравенств:
[pic]
откуда получаем
[pic]
решением последнего неравенства системы является объединение [pic]и [pic],
а решением всей системы, а в силу равносильности проведенных преобразований
и исходного неравенства, будет луч [pic].
Ответ: [pic].
Пример 3. Решить неравенство
[pic]
Решение. Перепишем неравенство так, чтобы левая и правая его части были
неотрицательными
[pic] [pic] всегда
[pic]
и решим его, используя ранее рассмотренные эквивалентные преобразования:
[pic]
откуда получаем
[pic]
последнее неравенство системы является уже знакомым нам неравенством вида
[pic] и решая его возведением в квадрат, получаем [pic].
[pic]
Ответ: [pic].
Пример 4. Решим неравенство
[pic]
Решение. Это неравенство равносильно следующей системе неравенств. где
первые четыре неравенства являются ОДЗ
[pic]
или
[pic][pic]
Так как [pic], то [pic], а потому [pic]. Далее [pic], поэтому [pic].
Значит, [pic], и тем более [pic].
Но [pic], следовательно. второе неравенство нашей системы выполняется при
любых допустимых значения [pic]из ОДЗ исходного неравенства, т.е. система,
а вместе с ней и исходное неравенство имеют решение [pic].
Ответ: [pic].
Пример 5. Решить неравенство
[pic]
Решение. Правая часть данного неравенства неотрицательная, поэтому левая
его часть должна быть положительной. В противном случае неравенство не
имеет смысла. Учитывая это, проведем следующие эквивалентные
преобразования:
[pic]
второе неравенство имеет смысл при любом [pic]из ОДЗ, т.е. при [pic]. если
упростить третье неравенство системы, то получим
[pic]
или
[pic]
Последнее неравенство системы имеет положительную левую часть при [pic],
значим имеем право возвести неравенство в квадрат и затем легко решаем его,
получаем
[pic]
Ответ: [pic].
6. Решение иррациональных неравенств, содержащих переменную под знаком двух
и более радикалов нечетной степени
Рассмотрим решение неравенств, содержащих переменную под знаком двух
радикалов нечетной степени. Решение проводится также путем
последовательного возведения обеих частей неравенства в соответствующую
степень и преобразования его в неравенство, не содержащее радикалов. При
возведении неравенства в нечетную степень эквивалентность не нарушается.
Имеют место следующие эквивалентные преобразования:
[pic] [pic]
Пример 1. Решить неравенство
[pic]
Решение. Возводим обе части неравенства в куб:
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic].
Рассмотрим отдельно решение неравенств вида:
[pic]
После возведения его в куб получим неравенство
[pic].
Многократное возведение в куб неравенства в общем случае не приводит
к освобождению от радикалов. Для решения таких неравенств целесообразно
использовать метод интервалов. Суть его заключается в следующем.
Пусть требуется решить неравенство вида:
[pic](1)
или
[pic](2)
Сначала установим, при каких значениях переменной левая часть
неравенства равна правой его части, то есть решим иррациональное уравнение,
которое назовем соответствующим
[pic](3)
Далее находим область определения данного неравенства (она совпадает
с областью определения соответствующего уравнения). Затем наносим корни
уравнения (3) на числовую ось, на которой отмечаем также область
определения неравенства. Пусть, например, область определения неравенства
(1) или (2) состоит из двух числовых промежутков [pic]и [pic], [pic],
[pic], [pic], [pic]- корни уравнения (3).
Корни уравнения (3) разбивают область определения неравенства на
промежутки знакопостоянства. Функция меняет знак при переходе через корень
нечетной кратности, а в промежутках между корнями знак функции постоянный.
В рассматриваемом на рисунке примере такими числовыми промежутками будут
промежутки [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
Далее определяем в каждом из отмеченных числовых промежутков знак
функции [pic]. Для определения знака функции достаточно взять любое число
из соответствующего промежутка. подставить в функцию вместо переменной
[pic]и установить знак полученного числового выражения. Те числовые
промежутки, в которых функция положительная, будут решением неравенства
(1), ибо любое значение переменной, взятое из этих числовых промежутков,
обращает его в истинное числовое неравенство. Остальные числовые промежутки
образуют множество решений неравенства (2).
Пример 2. Решить неравенство
[pic]
Решение. Сначала находим решение соответствующего уравнения
[pic]
возведем уравнение в куб:
[pic]
Так как по условию выражение [pic]должно равняться [pic], то, сделав
соответствующую замену, получим:
[pic]
Возведем уравнение в куб и найдем искомые значения переменной: [pic] и
[pic].
Проверка 1.
[pic]
[pic]
[pic]- ложно, корень [pic]- посторонний.
Проверка 2.
[pic]
[pic]
[pic] - истинно, [pic] - корень уравнения.
Областью определения неравенства является множество действительных
чисел. Корень соответствующего уравнения разбивает числовую ось на два
числовых промежутка:
[pic] и [pic].
Взяв любое число (например, [pic]) из первого промежутка и подставив в
неравенство, получим [pic]. Значит, числовой промежуток не входит в
решение неравенства. Значение [pic], взятое из числового промежутка [pic],
обращает данное неравенство в истинное числовое неравенство [pic]. Значит,
числовой промежуток [pic] является решением неравенства.
Ответ: [pic].
Пример 3. Решить неравенство
[pic]
| |  скачать работу |
Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства |
