Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства
тогда:
[pic]
Противоречие.
Итак, получаем: левая положительная часть меньше отрицательной правой,
что не имеет смысла.
Решим неравенство
[pic]
Возведем обе части неравенства в пятую степень, получим x – 2 > 32,
откуда x > 34.
Ответ: x > 34.
9. Способ домножения обеих частей иррационального неравенства на
некоторое число, либо выражение.
Этот способ мы можем использовать, основываясь на теоремах 19 и 20 из
параграфа «Неравенства и их основные свойства».
Пример 1. Решить неравенство:
[pic] (1)
Решение. Уединение радикала и возведение обеих частей полученного
неравенства в квадрат привело бы к громоздкому неравенству. В то же время,
если проявить некоторую наблюдательность, то можно заметить, что заданное
неравенство легко сводится к квадратному. Предварительно найдем ОДЗ
неравенства:
2х2 – 3х + 2 ( 0
откуда получаем х – любое действительное число. Домножим обе части
неравенства (1) на 2 получим
[pic]
и далее
[pic]
Полагая [pic], получим у2 – 2у - 8 ( 0, откуда у ( -2, у ( 4.
Значит, неравенство (1) равносильно следующей совокупности неравенств:
[pic]
Второе неравенство системы имеет решения х ( -2, х ( 3,5, а первое –
не имеет решений, так левая часть неравенства неотрицательна, а правая
отрицательна, это противоречит смыслу неравенства.
Все решения второго неравенства принадлежат ОДЗ неравенства (1) и
получены при переходах к равносильным неравенствам.
Ответ: х ( -2, х ( 3,5.
Пример 2. Решить неравенство
[pic] (1)
Решение. ОДЗ неравенства:
[pic]
Домножим обе части неравенства на выражение
[pic], имеющее ту же ОДЗ , что и неравенство (1).
Получим:
[pic]
или:
[pic]
Последнее неравенство всегда истинно на ОДЗ, т. к. –3 всегда будет
меньше положительной правой части неравенства.
Ответ: х ( 1.
Пример 3. Решить неравенство
[pic]
Решение. Найдем ОДЗ неравенства
[pic]
Домножим обе части неравенства на [pic]:
[pic]
Последнее неравенство равносильно совокупности:
[pic]
Из первой системы получаем x < -2, а решением второй системы
является промежуток [pic]
Объединяя их получаем:
Ответ: [pic]
10. Метод выделения полного квадрата в подкоренных выражениях при
решении иррациональных неравенств, либо разложения подкоренного выражения
на множители.
Пример 1. Решить неравенство
[pic]
Попробуем отметить какие – либо особенности заданного неравенства,
которые могли бы указать путь к решению. Такие особенности есть, а именно:
[pic]
Решение. Найдем ОДЗ исходного неравенства
[pic] [pic] [pic]
На промежутке [-1;4] третье и четвертое неравенства системы истинны.
Значит, ОДЗ х ( [-1;4].
Перепишем заданное неравенство так:
[pic]
откуда [pic]
Но [pic] и [pic], поэтому получаем:
[pic]
или:
[pic]
В ОДЗ правая часть неравенства всегда положительна, поэтому возведем в
квадрат обе части неравенства
[pic]
решение этого неравенства х ( [0; 3]. Этот промежуток принадлежит ОДЗ.
Ответ: х ( [0; 3].
Пример 2. Решить неравенство:
[pic]
Решение. Найдем ОДЗ неравенства:
[pic]
откуда получаем x ( 1, х ( 5, х = 2
Перепишем наше неравенство следующим образом:
[pic]
Поскольку обе части неравенства положительны и имеют смысл на ОДЗ,
возведем в квадрат обе части этого неравенства, получим:
[pic]
Правая часть полученного неравенства на ОДЗ всегда положительна,
поэтому имеем право возвести обе части его в квадрат и получим равносильное
неравенство:
(х – 2)2(х – 5)(х – 1) ( 9(х – 2)2(х – 1)2
или:
(х – 2)2(х – 1) (х – 5 – 9х + 9)( 0
(х – 2)2(х – 1) (4 – 8х)( 0
откуда методом интервалов получаем: х ( Ѕ, х ? 1
Учитывая ОДЗ, получаем
Ответ: х ( Ѕ, х = 1, х ? 5, х = 2
11. Решение иррациональных неравенств путем проб, выводов.
Пример 1. Решить неравенство:
[pic] (1)
Решение. Область определения неравенства (1): 2 ( х ( 3.
Прежде, чем возводить в квадрат обе части неравенства (1), необходимо
убедиться в том, что обе его части неотрицательны.
Однако, оказывается, что это не так.
Действительно, так как 2 ( х ( 3, то 1 ( х – 1 ( 2 и 3 ( 6 – х (
4. А это значит, что [pic] или [pic]. Но [pic]. Таким образом, при всех
значениях х из отрезка 2 ( х ( 3 неравенство (1) выполняется. Итак, 2
( х ( 3 - решение неравенства.
Пример 2. Решим неравенство:
[pic]
Решение. Найдем ОДЗ неравенства:
[pic]
откуда получаем, что ОДЗ неравенства х = 2 – единственная точка.
Подстановкой легко проверить, что х = 2 является решением исходного
неравенства.
Ответ: х = 2.
12. Решение более сложных примеров.
Пример 1. Решить неравенство
[pic]
Решение. Используем метод интервалов. Решим соответствующее уравнение.
[pic]
Решением уравнения являются значения переменной х = 0 и [pic] при
любом действительном значении параметра а.
Корни соответствующего уравнения разбивают числовую ось на промежутки
знакопостоянтства, в каждом из которых неравенство или тождественно
истинное, или тождественно ложное.
а) если a > 0, то [pic] и числовая ось разбивается на следующие
промежутки знакопостоянства: x < 0, [pic]
Рассмотрим промежуток [pic]. Возьмем значение х = а из этого
промежутка и подставим в данное неравенство. Получим: [pic] - истинное
числовое неравенство. Следовательно, промежуток [pic] принадлежит решению.
Любое значение переменной х, взятое из промежутка знакопостоянства [pic]
, обращает данное неравенство в ложное числовое неравенство. Например, при
[pic] имеем ложное числовое неравенство [pic].
Следовательно, промежуток [pic] не принадлежит решению.
Подставив, например, х = -а, взятое из промежутка знакопостоянства x <
0, в данное неравенство, получим истинное числовое неравенство [pic].
Значит, числовой промежуток x < 0 принадлежит решению. Итак, при a > 0
решением неравенства является объединение двух числовых промежутков x < 0
и [pic].
б) если a < 0, то [pic] и числовая ось разбивается на промежутки
знакопостоянства [pic]. Как и в первом случае, устанавливаем, что данное
неравенство тождественно истинное в промежутках [pic] и x > 0 и
тождественно ложное в промежутке [pic]. Следовательно, при a < 0 решением
неравенства будет объединение двух числовых промежутков [pic] и x > 0.
в) при а = 0 [pic]. Получим два промежутка знакопостоянства: x < 0 и
x > 0, каждый из которых, как легко установить принадлежит решению.
Ответ: 1) при [pic]
2) при [pic].
Пример 2. Решить неравенство
[pic]
ОДЗ: 5х – 7 ? 0
log57 ? x < +?
[pic]
Возводим обе части в квадрат:
[pic]
решением последнего неравенства является промежуток х ? 2. Учитывая ОДЗ
получаем решение исходного неравенства log57 ? x ? 2.
Ответ: log57 ? x ? 2.
13. Подборка задач по теме «решение иррациональных неравенств».
[pic]
[pic]
14. Классические неравенства.
Рассмотрим некоторые наиболее важные для математического анализа
неравенства. Эти неравенства служат аппаратом, который повседневно
используют специалисты, работающие в этой области математики.
Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
Теорема 1. Среднее арифметическое любых двух неотрицательных чисел а и b не
меньше их среднего геометрического, т. е.:
[pic] (1)
Равенство имеет место в том и только том случае, когда a = b.
Доказательство. Поскольку квадратный корень может доставить немало хлопот,
мы постараемся от него избавиться, положив a = c2, b = d2, что допустимо,
ибо в теореме 1 предполагается, что числа а и b неотрицательны. При этом
соотношение (1), в справедливости которого для произвольных неотрицательных
чисел а и b мы хотим убедиться, примет следующий вид:
[pic], (2)
где с и d – произвольные действительные числа.
Неравенство (2) имеет место в том и только том случае, когда
[pic],
что в силу основных правил, относящихся к неравенствам, равносильно тому,
что
с2 + d2 – 2cd ? 0 (3)
Но с2 + d2 – 2cd = (с – d)2 , значит неравенство (3) равносильно
(с – d)2 ? 0 (4)
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то ясно,
что соотношение (4) всегда имеет место. Значит справедливы и неравенства
(3), (2), (1). Равенство в формуле (4), а значит и в формуле (1)
достигается в том и только в том случае, когда c – d = 0, т.е. c = d, или,
иначе говоря, когда a = b.
Покажем теперь, что теорему 1 можно вывести геометрическим путем
простого сравнения некоторых площадей.
Рассмотрим график функции у = х, изображенный на рисунке.
Пусть S и Т точки прямой у = х с координатами (с, с) и (d, d).
Рассмотрим также точки Р(с, 0), Q(0, d), R(c, d). Так как длина отрезка ОР
равна с, то длина отрезка PS также рав
| |  скачать работу |
Организация познавательной деятельности учащихся на факультативных занятиях по теме Иррациональные неравенства |
