Математическая мифология и пангеометризм
тия [27].
Время, согласно Канту, «мы можем мыслить не иначе, как обращая внимание
при проведении прямой линии (которая должна быть внешне образным
представлением о времени) исключительно на действие синтеза
многообразного, при помощи которого мы последовательно определяем
внутреннее чувство, и тем самым имея в виду последовательность этого
определения. Даже само понятие последовательности порождается, прежде
всего, движением как действием субъекта (но не как определением
объекта)» [11, т.3, с.142]. Кант весьма настороженно относится к
движению в геометрии, как науке основанной на чистом созерцании. Ведь
«понятие движения, соединяющее в себе и пространство и время,
предполагает нечто эмпирическое» [11, т.3, с.78]. Поэтому он предлагает
различать «движение объекта в пространстве», которое «не подлежит
рассмотрению в геометрии, так как подвижность чего бы то ни было
познается не a priori, а только опытом», и «движение как описание
пространства», которое есть «чистый акт последовательного синтеза
многообразного во внешнем созерцании вообще при помощи продуктивной
способности воображения» [11, т.3, с.142] - без которого невозможна
геометрическая мысль, и которое было охарактеризовано выше как
«действие субъекта, но не определение объекта». Это кантовское
различение двух видов движения вполне соответствует платоническому
различению становления эмпирического и становления геометрического.
Невозможно не упомянуть здесь также о возводимой обычно к Канту идее об
особой связи геометрии с созерцанием пространства, а арифметики с
созерцанием времени. В самом деле, у Канта читаем: «Геометрия кладет в
основу чистое созерцание пространства. Арифметика создает понятия своих
чисел последовательным прибавлением единиц во времени» [11, т.4, с.38].
Это место действительно провоцирует такое понимание: как геометрия
связана с пространством, так арифметика со временем. Именно так
воспринимает это место Шопенгауэр: «На связи частей времени основано
исчисление, слова в нем служат лишь для того, чтобы отмечать отдельные
шаги последовательности; следовательно, на этой связи основана и
арифметика, которая учит только методическому сокращению исчисления».
«Так же на связи положения частей пространства основана вся геометрия»
[36, т.1, с.104]. Шопенгауэр не слишком хорошо разбирался в математике,
однако эту же идею подхватывает такой крупный математик как
В.Р.Гамильтон, в 1833 г. выпустивший «an elementary essay on Algebra as
the Science of pure time» [13, с.206], впрочем, вынужденный признать,
что уже введение вычитания требует пространственных представлений.
Интересно, что более внимательное знакомство с Кантом убеждает, что
никакого противопоставления арифметики, как опирающейся исключительно
на созерцание времени, и геометрии, - как опирающейся исключительно на
созерцание пространства, им не производится. Никакого представления
пространства, свободного от представления времени быть не может: «время
есть априорное формальное условие всех явлений вообще» [11, т.3, с.73].
Не может быть и представления времени, свободного от представления
пространства - выше мы уже цитировали одно из мест первой Критики, где
эта мысль высказывается, кроме того, можно указать на черновые заметки
Канта специально развивающие эту мысль [11, т.8, с.651]. Мы всегда
имеем дело с пространственно-временным комплексом представлений,
который лежит в основании, как арифметики, так и геометрии, хотя
акценты и могут расставляться различно. Подлинное же различие геометрии
от арифметики и алгебры в типе конструирования - остенсивном в первом
случае и символическом - во втором.
На ошибочность представления об особой связи геометрии с созерцанием
пространства, а арифметики - с созерцанием времени, указывал Шпенглер.
Однако он полагал, что эту ошибку совершил и сам Кант. «Колоссальной по
своим последствиям - писал Шпенглер - и до сего дня еще не преодоленной
ошибкой Канта было то, что он совершенно схематически установил связь
внешнего и внутреннего человека с многозначными и, главное, не
стабильными понятиями пространства и времени и тем самым совершенно
ложным образом связал геометрию и арифметику, вместо которых здесь
должна быть хотя бы упомянута более глубокая противоположность
математического и хронологического числа. Арифметика и геометрия обе
суть счисления пространства и в высших своих областях вообще не
подлежат различению. Счисление времени, интуитивно вполне понятное
наивному человеку, отвечает на вопрос «когда», а не на вопрос «что» или
«сколько» « [37, с.132]. «Каждую логическую операцию - пишет Шпенглер
далее - можно нарисовать. Каждая система есть геометрический способ
обращения с мыслями. Оттого время лишено места в «системе» или падает
жертвой ее метода. Тем самым опровергается и повсеместно
распространенное недоразумение, поверхностным образом связующее время с
арифметикой, а пространство с геометрией, заблуждение, которому не
должен был бы подпасть Кант, хотя едва ли следовало ожидать чего-либо
иного от Шопенгауэра с его непониманием математики. Поскольку живой акт
счисления как-то соотносится со временем, число и время постоянно
смешивали друг с другом. Но счисление не есть число, как рисование не
есть рисунок. Счисление и рисование суть становление, числа и фигуры -
ставшее. Кант и другие имели в виду в одном случае живой акт
(счисление), а в другом - его результат (пропорции готовых фигур). Но
одно относится к сфере жизни и времени, другое - к протяженности и
каузальности. То, что я счисляю, подлежит органической логике; то, что
я счисляю, - неорганической. Вся математика, - популярно выражаясь,
арифметика и геометрия - отвечает на вопрос «как» и «что», стало быть,
на вопрос о естественном распорядке вещей. В противоречии с этим
находится вопрос о «когда» вещей, специфически исторический вопрос -
вопрос о судьбе, будущем и прошлом. Все это таится в слове
«летоисчисление», которое наивный человек понимает совершенно
недвусмысленно. Между арифметикой и геометрией нет никакой
противоположности. Каждый род числа <...> принадлежит во всем своем
объеме к сфере протяженного и ставшего, будь то евклидова величина или
аналитическая функция. А к какой из обеих сфер следовало бы отнести
циклометрические функции, биноминальную теорему, римановы плоскости,
теорию групп? Кантовская схема была уже опровергнута Эйлером и
Д'Аламбером, прежде чем он успел ее сформулировать, и лишь
неосведомленность более поздних философов по части современной им
математики - в противоположность Декарту, Паскалю и Лейбницу, которые
сами создавали математику своего времени из глубин собственной
философии, - могла привести к тому, что дилетантские взгляды на
отношение между временем и арифметикой продолжали передаваться по
наследству, почти не встречая возражений. Но становление ни в чем не
соприкасается с какой-либо областью математики» [37, с.282-283]. Эта
обширная цитата приведена здесь не только как яркий пример протеста
против связывания арифметики исключительно с созерцанием времени, а
геометрии - с созерцанием пространства, но и как ярчайший пример
протеста против представления о том, что время и становление вообще
могут служить предметом применения математических методов. Однако хотя
в главном Шпенглер, безусловно, прав, картина несколько сложнее, чем
ему представляется. Обратим внимание, что среди приверженцев
представления об особой связи алгебры и времени мы находим
В.Р.Гамильтона, которого вряд ли можно упрекнуть в незнании современной
ему математики. Это означает, что дело здесь не в дилетантизме, как
полагает Шпенглер. Дело не в том, что математике и ее методам
недоступны время и становление вообще, а в том, что время и становление
в математике существенно иные, чем те историческое время и эмпирическое
становление, о которых говорит Шпенглер. Более адекватным здесь
оказывается платоническое представление о срединном характере
математики (ее предмета и метода) - это и не полная свобода от времени
и становления - вечное бытие эйдосов и созерцающего их ума, но и не
собственно эмпирическое время и становление чувственно воспринимаемого
космоса. Можно и нужно говорить о времени и становлении в математике,
но помня, что это особые, математические, время и становление.
Например, они не обладают уникальностью и неповторимостью исторического
времени и эмпирического становления. В математике можно дважды войти в
одну и ту же реку. Ее время и ее становление подобны времени и
становлению кинофильма, который можно прокручивать еще и еще раз, и
даже просмотреть в обратном порядке. Однако само событие, состоящее в
том, что нам случилось прокрутить именн
| |  скачать работу |
Математическая мифология и пангеометризм |
