Математическая мифология и пангеометризм
дит к «Тимею»
Платона.
2. Заслуживает всяческого внимания, что как приверженцы, так и
противники математики в философии (философской математики,
математизированной философии) находят главные свои аргументы у Платона,
т.е., защищая диаметрально противоположные позиции, они развивают мысли
происходящие из общего источника (Платон и неоплатоники). Как правило,
такая странность связана с пониманием критики Платоном неправильного
отношения к математике как решающего аргумента против математики
вообще, а противоположности математического и диалектического методов
как несовместимости математики и философии вообще (Кант, Гегель,
В.Гамильтон). И в первом и во втором случае полностью игнорируется
возможность и действенность математической диалектики.
3. Близкий образ встречается у Плотина: Единый (Единое) «созерцается во
множестве существ, в большей или меньшей степени способных воспринять и
отображать его в себе, но который отличен и обособлен от всех их,
подобно тому, как один центр в круге остается один сам по себе, между
тем как множество радиусов со всех точек периферии к нему сходятся»
[23, с.66; курсив мой].
4. Аналогия, используемая Лейбницем в этом довольно мутном отрывке,
может быть разъяснена следующим образом: как отрезки могут быть между
собой либо соизмеримыми, либо - нет, причем, в первом случае, процедура
нахождения общей меры, - показывающая, что один из отрезков составлен
из тех же частей, что и другой, - может быть осуществлена за конечное
число шагов, а во втором - уходит в бесконечность, так и истины могут
быть либо необходимыми, либо случайными, причем, в первом случае, за
конечное число шагов может быть показано, что предикат состоит из тех
же частей, которые имеются в субъекте, а во втором - процедура анализа
уходит в бесконечность.
5. П.А.Флоренский не ограничивался работой с математическими
конструкциями как парадигмальными схемами. Он один из немногих, кто
осознанно стремился к возрождению математического мифа в его полноте.
Вслед за ним в этом направлении шел и А.Ф.Лосев.
6. Пространство и время определяются Кантом как обязательный компонент
всякого созерцания: отбрасывая в созерцании все, что может быть
отброшено, мы в конечном итоге получаем пространство и время в чистом
виде. См. [11, т.3, с.64, т.4, с.38]. По существу, априорное созерцание
(пространство и время) оказывается у Канта тем самым, что не может быть
отброшено ни из какого созерцания, и обнаруживается нами в ходе
мысленного эксперимента, состоящего в отбрасывании всего, что отбросить
возможно.
7. Кстати сказать, эта, рецептивная, сторона геометрической мысли
осталась не достаточно отмеченной Кантом. Чистое созерцание Канта,
заменившее геометрическую материю платоников, не есть уже некая среда
со своими собственными потенциями, которые и раскрываются в
геометрических рассуждениях. В математике «понятие о предмете дается
дефиницией первоначально», «математические дефиниции создают само
понятие», а предмет рассмотрения математика «не может содержать в себе
ни больше, ни меньше, чем понятие» [11, т.3, с.538-539]. Нет дефиниции,
- нет понятия о предмете, а тем самым и самого предмета (содержащего в
себе ровно столько, сколько понятие). Здесь как бы нет предмета,
свойства которого стремится уловить дефиниция, ведь эта последняя
«ниоткуда не выводится». Желая во всем противопоставить математику и
философию, Кант доходит в своих рассуждениях почти до абсурда: утратив
отличный от нее предмет рассмотрения математическая дефиниция (понятие)
становится чистым произволом. Вряд ли Кант действительно придерживался
такой точки зрения, (чистый произвол не может служить источником
синтеза), однако в пылу полемики он оказывается в опасной близости от
этой грани.
8. Конечно, можно вспомнить Я.Штейнера, никогда не пользовавшегося на
своих лекциях никакими рисунками, или Дистервега, даже специально
затемнявшего помещение во время семинарских занятий по геометрии [13,
с.146], однако, это скорее исторические казусы, чем закономерность.
Нетрудно догадаться, что способность слушателей следить за
рассуждениями этих геометров предполагала уже определенный опыт
геометрического мышления использующего эмпирические пособия.
9. Хотелось бы обратить особое внимание на близость развиваемых в
настоящем докладе идей с взглядами американского психолога, специалиста
в области психологии искусства, Рудольфа Арнхейма, изложенными в его
книге «Visual Thinking» (1969) [39]. Арнхейм как раз подходит к
математике sub specie artis и (в силу этого) обращает внимание
преимущественно на те же культурные феномены, которые оказались и в
центре моего внимания. Попытка прояснить сложившиеся у меня в ходе
получения математического образования и опыта преподавания математики
представления о математическом мышлении (да и мышлении вообще) привели
меня к взглядам, оказавшимся в самом близком родстве с представлениями
Макса Вертхеймера о творческом мышлении (productive thinking) [8] и, в
особенности, с идеями Арнхейма, также явно примыкающими к гештальт-
психологии. «Продуктивное мышление - говорит Арнхейм - по необходимости
основано на перцептуальных образах и, наоборот, активное восприятие
включает в себя отдельные аспекты мышления» [3, с.165]. «Только то,
что, по крайней мере, в принципе доступно наглядному воображению, может
поддаваться и человеческому пониманию» [2, с.78-79]. Имеется «близкое
родство перцептуального опыта и теоретического рассуждения», поэтому
«между искусствами и науками нет большой разницы; также нет пропасти и
между использованием картин и употреблением слов» [3, с.167]. Самое
прямое отношение к нашей теме имеют взгляды Арнхейма на природу
абстракции, на различение статических и динамических понятий, на
противопоставление фигуры и фона, как основу простейших систем образов
(в частности, образов математических) и т.д. Понятие же «хорошего
гештальта» (Вертхеймер) дает ключ к пониманию того, что такое
математическая красота. Впрочем, использование наработок гештальт-
психологов в области психологии мышления для целей философии математики
требует отдельного обсуждения.
10. Развитие этой мысли означает разговор о социокультурной природе
феномена математики. Перед нами мостик, позволяющий нам ощутить
социокультурную гибкость выдвигаемого взгляда. Его гибкость
определяется исторической изменчивостью понимания слов «пространство»,
«время», «пространственно-временное конструирование» и т.п. Однако,
социокультурная природа рассматриваемого феномена гарантирует нам не
только гибкость и изменчивость, но и преемственность, сохранение
«семейного сходства» (Л.Витгенштейн) посредством «социальных эстафет»
(М.А.Розов) (см. также введение к настоящему докладу).
11. Уже Аристотель заметил, что математик не нуждается для своих
рассуждений в представлении слишком больших величин, ведь его
интересуют не сами величины, а их отношения, но «в том же отношении, в
каком делится самая большая величина, можно было бы разделить и какую
угодно другую» (Phys., III, 7) [1, с.121]. Следовательно, все
воображаемые математиками конструкции, без всякого для них вреда, могут
быть уложены в рамки конечного аристотелевского космоса. А коль скоро
мы хотим говорить о нашей индивидуальной способности воображать - в
границы между верхним и нижним порогами восприятия; нужно лишь вовремя
менять масштаб: гомотетичным образом увеличивать или уменьшать всю
конструкцию.
12. Хотелось бы сделать некоторые замечания, проясняющие отношение
высказываемой точки зрения на роль времени и движения в математике к
позициям платонической традиции и Канта. Хотя Аристотель (Met., VI, 1)
и предлагает отличать математику от физики по неподвижности предмета
изучения первой, однако, намеченное у него же учение о специфической
материи математических предметов (Met., VII, 10-11; VIII, 6)
естественно ведет к мысли и о наличии становления (движения в широком
аристотелевском смысле) в этой области: ведь всякая материя есть не
только лишенность формы, но и обязательно ее возможность, а всякая
возможность раскрывает себя лишь переходя в действительность, т.е.
предполагает наличие становления. Таким образом, можно говорить о
математическом становлении (Met., IX, 9), однако математика интересует
не само становление (это специфический предмет аристотелевской физики),
а лишь его результат. Этот взгляд подтверждается и Проклом [24]: с
одной стороны, геометрия определяется у него как изучающая величины в
покое (в отличие от астрономии, изучающей величины в движении, и
охарактеризованной в связи с этим Аристотелем как самая физическая из
математических дисциплин - Phys., II, 2), а, с другой стороны, внутри
самой геометрии различаются проблемы и теоремы, что напрямую
связывается Проклом с различением становления и бы
| |  скачать работу |
Математическая мифология и пангеометризм |
