 |
|
Приближённые методы решения алгебраического уравнения
],… Эти отрезки вложены друг в
друга – каждый последующий отрезок принадлежит всем предыдущим:
an ( an+ 1
< bn+ 1 ( bn (1.2)
причём:
f(an) < 0, f(bn) > 0
Длины отрезков с возрастанием номера n стремятся к нулю:
[pic]
Рассмотрим левые концы отрезков. Согласно (1.2) они образуют
монотонно убывающую ограниченную последовательность {an}. Такая
последовательность имеет предел, который можно обозначить через c1: [pic]
Согласно (1.1) и теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем:
c1 ( bn
(2.2)
Теперь рассмотрим правые концы отрезков. Они образуют монотонно не
возрастающую ограниченную последовательность {bn}, которая тоже имеет
предел. Обозначим его через с2: [pic]. Согласно неравенству (2.1)
пределы с1 и с2 удовлетворяют неравенству с1 ( с2. Итак, an ( с1 < с2 (
bn, и следовательно:
с2-с1 ( bn - an=(b-a)/2n.
Таким образом, разность с2-с1 меньше любого наперёд заданного
положительного числа. Это означает, что с2-с1=0, т. е.: с1=с2=с
Найденная точка интересна тем, что она является единственной общей
точкой для всех отрезков построенной последовательности Используя
непрерывность функции f(x), докажем, что она является корнем уравнения
f(x)=0.
Мы знаем, что f(an)<0. Согласно определению непрерывности и
возможности предельного перехода в неравенствах, имеем:
f(c)=lim f(an)(0
(3.2)
Аналогично, учитывая, что f(bn)(0, получаем, что:
f(c)=lim
f(bn) (0 (4.2)
Из (3.2) и (4.2) следует, что f(c)=0. т. е. с – корень уравнения.
Процесс построения последовательности вложенных стягивающих
отрезков методом вилки (дихотомии) является эффективным вычислительным
алгоритмом решения уравнения f(x)=0. На n-ом шаге процесса получаем:
an ( c ( bn
Это двойное неравенство показывает, что число an определяет
корень с недостатком, а число bn с избытком, с ошибкой не превышающей длину
отрезка (n=bn-an=(b-a)/2n. При увеличении n ошибка стремится к нулю по
закону геометрической прогрессии со знаменателем q=0.5. Если задана
требуемая точность (>0, то чтобы её достигнуть достаточно сделать число
шагов N, не превышающее log2[(b-a)/(]: N>log2[(b-a)/(].
3. Метод итераций
Этот метод называется ещё методом последовательных приближений.
Пусть нам необходимо найти корень уравнения (1.1) на некотором
отрезке [a, b].
Предположим, что уравнение (1.0) можно переписать в виде:
x=((x)
(1.3)
Возьмём произвольное значение x0 из области определения функции
((x) и будет строить последовательность чисел {xn}, определённых с помощью
рекуррентной формулы:
xn +1=((xn),
n=0, 1, 2, … (2.3)
Последовательность {xn} называется итерационной
последовательностью. При её изучении встают два вопроса:
1) Можно ли процесс вычисления чисел xn продолжать неограниченно, т. е.
будут ли числа xn принадлежать отрезку [a, b] ?
2) Если итерационный процесс (2.3) бесконечен, то как ведут себя числа xn
при n((
Исследование этих вопросов показывает, что при определённых
ограничениях на функцию ((x) итерационная последовательность является
бесконечной и сходится к корню уравнения (1.3).
[pic], c=((c)
(3.3)
Однако для того, чтобы провести это исследование нам нужно ввести
новое понятие.
Говорят, что функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b]
условию Липшица, если существует такая постоянная (, что для любых x1, x2,
принадлежащих отрезку [a, b] имеет место неравенство:
| |  скачать работу |
Приближённые методы решения алгебраического уравнения |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
