Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Приближённые методы решения алгебраического уравнения

;                                   |x1-c| = |((x0)-
((c)| ( |x0-c| ( ((.                                           (6.3)

         Неравенство (6.3) показывает,  что  x1  принадлежит  отрезку  [c-(,
c+(] и расположен ближе к точке c, чем x0.

         Продолжим построение итерационной последовательности. Вычислим  x2:
x2=((x1), при  этом:
              |x2-c| = |((x1)-((c)| ( (|x1-c| ( (2|x0-c| ( (2(

         Точка x2 опять принадлежит отрезку [c-(, c+(]  и расположена  ближе
к точке c, чем точка x1, т.е. мы приблизились к c.

          По  индукции  легко  доказать,  что  последующие  итерации   также
существуют и удовлетворяют неравенствам.

                                                              |xn-c| ( (n
|x0-c| ( (n(                                                       (7.3)

         Отсюда следует, что:

                             [pic],  т. е. [pic]

          Остаётся доказать, что  корень  x=c  (1.3)  является  единственным
решением уравнения на отрезке  [c-(,  c+(].  Действительно,  допустим,   что
существует ещё один корень x=c1.

         Примем c1 за  нулевое  приближение  и  будем  строить  итерационную
последователь- ность (2.3). Тогда с учётом (7.3) получим xn=c1 (n=0,  1,  2,
…). С другой стороны, по доказанному  [pic],  т.  е.  c1=c.  Никаких  других
решений уравнение на отрезке иметь не может.
         Сходимость   итерационной  последовательности  к  корню   уравнения
 (1.3)  может  быть  использована  для  приближённого  определения  корня  с
любой  степенью  точности.  Для  этого  нужно  только  провести  достаточное
количество итераций.


                  4. Быстрота сходимости процесса итераций

          Используем теперь производную функции  ((x)  для  оценки  скорости
сходимости итераций при решении уравнения х=((x). Нужно оценить скорость,  с
которой убывают погрешности (n=(-xn приближённых значений  х1,  …  ,  хn,  …
корня (.



                  рис 1.4

         Можно заметить,   что   справедливы    равенства   (=((()   и   хn+
1=((хn).   Из  них   вытекает,  что:

                          (n+ 1= (-хn+ 1=((()-((хn)

         Но по формуле Лагранжа имеем:

                  ((()-((хn)= ( ((cn)·( (-xn)= ( ((cn) ·(n

         где  cn - точка лежащая между точками ( и хn. Поэтому:

                                                                    (n+ 1=(
((cn) ·(n                                                           (1.4)

         Из равенства (1.4) вытекает следующий вывод:

        Пусть ( – корень уравнения  x=( (x) - лежит на отрезке [a, b].  Если
на  этом  отрезке  выполняется  неравенство  |(   ((x)|"<1,   а   начальное
приближение  x1 также выбрано на отрезке [a, b], то при любом n  выполняется
соотношение:

                                                                      |(n+
1|"< q2·|(1|
            и вообще:

                               |(n+ 1|=qn·|(1|

           Тем самым наше утверждение доказано.

            Так само при  0"<1  последовательность чисел q,  q2,  q3,  …  ,
qn, …  стремится к  нулю,  то  и  погрешность  (n+  1  стремится  к  нулю  с
возрастанием n. Иными словами, при указанных выше предположениях  числа  x1,
x2, … , xn, … приближаются к числу (, причём разность       |(-xn|   убывает
быстрее, чем qn·|(1|.

        Точно так же можно доказать, что если на отрезке [a,  b]   выполнено
неравенство:

                                 |( ((x)|>1,

то процесс итераций расходится.

          Особенно быстро  сходится  процесс  последовательных  приближений,
если в точке ( производная функции ((x) обращается в нуль. В этом случае  по
мере приближения к  (, значение ( ((x) стремится к нулю. Так как:

                           |(n+ 1|=|( ((cn)|·|(n|

то сходимость процесса ускоряется по мере приближения к точке (.

           Однако то же самое можно наблюдать в методе Ньютона,  при  замене
f(x)=0 на [pic] имеем:[pic] и её производная:[pic] в точке (:   f(()=0  -  в
методе Ньютона наблюдается ускорение  сходимости процесса приближений.


                    5. Метод касательных (метод Ньютона)

         Метод касательных, связанный с именем И.  Ньютона,  является  одним
из наиболее эффективных численных методов  решения  уравнений.  Идея  метода
очень проста. Возьмём  производную  точку  x
12345След.
скачать работу

Приближённые методы решения алгебраического уравнения

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ