|
|
Приближённые методы решения алгебраического уравнения
; |x1-c| = |((x0)-
((c)| ( |x0-c| ( ((. (6.3)
Неравенство (6.3) показывает, что x1 принадлежит отрезку [c-(,
c+(] и расположен ближе к точке c, чем x0.
Продолжим построение итерационной последовательности. Вычислим x2:
x2=((x1), при этом:
|x2-c| = |((x1)-((c)| ( (|x1-c| ( (2|x0-c| ( (2(
Точка x2 опять принадлежит отрезку [c-(, c+(] и расположена ближе
к точке c, чем точка x1, т.е. мы приблизились к c.
По индукции легко доказать, что последующие итерации также
существуют и удовлетворяют неравенствам.
|xn-c| ( (n
|x0-c| ( (n( (7.3)
Отсюда следует, что:
[pic], т. е. [pic]
Остаётся доказать, что корень x=c (1.3) является единственным
решением уравнения на отрезке [c-(, c+(]. Действительно, допустим, что
существует ещё один корень x=c1.
Примем c1 за нулевое приближение и будем строить итерационную
последователь- ность (2.3). Тогда с учётом (7.3) получим xn=c1 (n=0, 1, 2,
…). С другой стороны, по доказанному [pic], т. е. c1=c. Никаких других
решений уравнение на отрезке иметь не может.
Сходимость итерационной последовательности к корню уравнения
(1.3) может быть использована для приближённого определения корня с
любой степенью точности. Для этого нужно только провести достаточное
количество итераций.
4. Быстрота сходимости процесса итераций
Используем теперь производную функции ((x) для оценки скорости
сходимости итераций при решении уравнения х=((x). Нужно оценить скорость, с
которой убывают погрешности (n=(-xn приближённых значений х1, … , хn, …
корня (.
рис 1.4
Можно заметить, что справедливы равенства (=((() и хn+
1=((хn). Из них вытекает, что:
(n+ 1= (-хn+ 1=((()-((хn)
Но по формуле Лагранжа имеем:
((()-((хn)= ( ((cn)·( (-xn)= ( ((cn) ·(n
где cn - точка лежащая между точками ( и хn. Поэтому:
(n+ 1=(
((cn) ·(n (1.4)
Из равенства (1.4) вытекает следующий вывод:
Пусть ( – корень уравнения x=( (x) - лежит на отрезке [a, b]. Если
на этом отрезке выполняется неравенство |( ((x)|"<1, а начальное
приближение x1 также выбрано на отрезке [a, b], то при любом n выполняется
соотношение:
|(n+
1|"< q2·|(1|
и вообще:
|(n+ 1|=qn·|(1|
Тем самым наше утверждение доказано.
Так само при 0"<1 последовательность чисел q, q2, q3, … ,
qn, … стремится к нулю, то и погрешность (n+ 1 стремится к нулю с
возрастанием n. Иными словами, при указанных выше предположениях числа x1,
x2, … , xn, … приближаются к числу (, причём разность |(-xn| убывает
быстрее, чем qn·|(1|.
Точно так же можно доказать, что если на отрезке [a, b] выполнено
неравенство:
|( ((x)|>1,
то процесс итераций расходится.
Особенно быстро сходится процесс последовательных приближений,
если в точке ( производная функции ((x) обращается в нуль. В этом случае по
мере приближения к (, значение ( ((x) стремится к нулю. Так как:
|(n+ 1|=|( ((cn)|·|(n|
то сходимость процесса ускоряется по мере приближения к точке (.
Однако то же самое можно наблюдать в методе Ньютона, при замене
f(x)=0 на [pic] имеем:[pic] и её производная:[pic] в точке (: f(()=0 - в
методе Ньютона наблюдается ускорение сходимости процесса приближений.
5. Метод касательных (метод Ньютона)
Метод касательных, связанный с именем И. Ньютона, является одним
из наиболее эффективных численных методов решения уравнений. Идея метода
очень проста. Возьмём производную точку x
| | скачать работу |
Приближённые методы решения алгебраического уравнения |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|