 |
|
Приближённые методы решения алгебраического уравнения
; | f(x1) -
f(x2)| ( (|x1 - x2| (4.3)
Величину ( в этом случае называют постоянной Липшица.
Если функция f(x), удовлетворяет на отрезке [a, b] условию
Липшица, то она непрерывна на нём. Действительно, пусть x0 – произвольная
точка отрезка. Рассмотрим приращение функции f(x) в этой точке:
(f=f(x0+(x) – f(x0)
и оценим его с помощью неравенства (4.3)
|(f | ( (|(x|
Таким образом, [pic], что означает непрерывность функции f(x).
Условие Липшица имеет простой геометрический смысл. Возьмём не
графике функции y=f(x) две произвольные точки M1 и M2 с координатами (x1,
f(x1)) и (x2, f(x2)). Напишем уравнение прямой линии, проходящей через эти
точки:
y=f(x1) + k(x-x1)
где k– тангенс угла наклона прямой у оси Оx и определяется
формулой:
[pic]
Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке [a, b] условию
Липшица, то при произвольном выборе точек M1 и M2 имеем |k|((. Таким
образом, с геометрической точки зрения условие Липшица означает
ограниченность тангенса угла наклона секущих, проведённых через
всевозможные пары точек графика функции y=f(x).
рис 2.3
рис 3.3
геометрическая иллюстрация
геометрическая иллюстрация
условия Липшица.
cвязи условия Липшица с пред-
положением о дифференциру-
емости функции.
Предположим, что функция f(x) имеет на отрезке [a, b]
ограниченную производную:
| f ((x)| ( m; тогда она удовлетворяет условию Липшица с постоянной (=m.
Для доказательс- тва этого утверждения воспользуемся формулой
конечных приращений Лагранжа:
f(x2) – f(x1) =
f ((()(x2-x1) (5.3)
где x1, x2, - произвольные точки отрезка [a, b] (, - некоторая точка
отрезка [x1, x2]. Возьмём модуль обеих частей равенства (4.3) и заменим в
правой части | f ‘(x)| на m. В результате по- лучим неравенство (4.3) с
(=m. Рис.2.3 даёт геометрическую иллюстрацию установленного свойства.
Согласно формуле Лагранжа (5.3) каждой секущей графика функции y = f(x) мож-
но поставить в соответствие параллельную её касательную. Поэтому
наибольший тангенс угла наклона касательных, и его можно оценить той же
константой m: |k| ( m.
Познакомившись с условием Липшица, перейдём к изучению
итерационной последовательности, предполагая, что уравнение имеет корень
x=c. Существование этого корня можно установить с помощью качественного
предварительного исследования уравнения с применением теоремы о
существовании корня непрерывной функции.
Теорема о существовании корня непрерывной функции
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его
концах значения разных знаков, то на этом отрезке существует, по крайней
мере, один корень уравнения f(x).
Теорема о сходимости итерационной последовательности
Пусть с – корень уравнения (2.3) и пусть функция ((x)
удовлетворяет на некотором отрезке [c-(, c+(] ((>0) условию Липшица с
постоянной (<1. Тогда при любом выборе x0 на отрезке [c-(, c+(] существует
бесконечная итерационная последовательность {xn} и эта последовательность
сходится к корню x=c, который является единственным решением уравнения
(1.3) на отрезке [c-(, c+(].
Сформулированная теорема имеет очень простой смысл. Будем
говорить, что функция ( осуществляет отображение точки x на точку y=((x).
Тогда условие Липшица с постоянной (<1 означает, что отображение (
является сжимающим: расстояние между точками x1 и x2 больше, чем расстояние
между их изображениями y1=((x1) и y2=((x2).
Корень c является неподвижной точкой отображения (, он
преобразуется сам в себя c=((c). Поэтому каждый шаг в итерационном
процессе, сжимая расстояния должен приближать члены последовательности {xn}
к неподвижной точке c.
После таких соображений поясняющих смысл теоремы, перейдём к её
доказательству. Возьмём произвольную точку x0 на отрезке [c-(, c+(], она
отстоит от точки c не больше чем на (: |c-x0| ( (.
Вычислим x1: x1=((x0), при этом x1-c =((x0)-((c). Разность ((x0)-
((c) можно оценить с помощью условия Липшица:
| |  скачать работу |
Приближённые методы решения алгебраического уравнения |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
