Приложения производной
: [pic]
Если функция f ' (x) дифференцируема, то её производная обозначается
символом y'' =f '' (x) и называется второй производной функции f(x) или
производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением [pic]можем
написать [pic]
Очень удобно пользоваться также обозначением [pic], указывающим, что
функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y''=f '' (x) , называется
третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего
порядка и обозначается символами [pic].
Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x)
обозначается символами [pic]
Дифференцируя производную первого порядка, можно получить производную
второго порядка, а, дифференцируя полученную функцию, получаем производную
третьего порядка и т.д. Тогда возникает вопрос: сколько производных высших
порядков можно получить в случае произвольной функции.
Например:
1) [pic]; [pic]; [pic]; ...;
[pic]; [pic].
Разные функции ведут себя по-разному при многократном дифференцировании.
Одни имеют конечное количество производных высших порядков, другие –
переходят сами в себя, а третьи, хотя и дифференцируемы бесконечное
количество раз, но порождают новые функции, отличные от исходной.
Однако все сформулированные теоремы о производных первых порядков
выполняются для производных высших порядков.
6. Изучение функции с помощью производной
6.1.Возрастание и убывание функции. Экстремум функции.
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b),
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x2) > f(x1) при x2 > x1.
|[pic] |
|Рис.1 (а) |
|[pic] |
|Рис.1 (б) |
Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют
одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f (x2) ?
f (x1), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b )
если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения
функции f (x) убывают, т.е. если f(x2) < f(x1) при x2 > x1.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения ?x и ?y имеют разные
знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x2 > x1 вытекает нестрогое неравенство f(x2) ? f(x1),
то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ). Пример
такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x0 , x1 ] она
сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого
интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале
( a, b ) функция f (x) имеет во всех точках этого
интервала неположительную производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при
возрастании x от x0 до x1, затем при возрастании x от x1
до x2 - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x2
до x3 она вновь убывает и так далее. Назовем такую
функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3.
Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к
убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция
переходит от убывания к возрастанию, называются точками
поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их
абциссы - критическими значениями аргумента x
В той точке, где функция переходит от возрастания к
убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую
сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат,
соседних с ней справа и слева и достаточно к ней
близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса
которой равна x0, больше значений функции в точках,
абсциссы которых достаточно близки к x0 : f (x0) > f
(x0+?x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная
в интервале ( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она
возрастает, на интервале [ x0 , x1 ] - сохраняет
постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале
[ x1 , b ) - убывает. Во всех точках, достаточно близких
к x0 (или x1 ), значения функции f (x) удовлетворяют
нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом.
Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)
этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x,
достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x,
принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x0) и f (x2) .
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и
слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и
достаточно близких к точке x1 справа и слева. Значение функции в точке,
абсцисса которой равна x1 , меньше значений функции в точках, абсциссы
которых достаточно мало отличаются от x1 : f (x1) < f (x1+?x).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале
( a, b ). В интервале ( a, x0 ] она убывает, на интервале [ x0 , x1 ] -
сохраняет постоянное значение: f (x0) = f (x1) = C, в интервале [ x1 , b )
- возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x0 (или x1 ), значения
функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x0)?f (x).
Значение f (x0) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто
минимумом.
Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x0)
этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x,
достаточно близких к точке x0 , т.е. в точках x, принадлежащих некоторой
достаточно малой окрестности точки x0 .
Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x1) и f (x3) .
По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x0), для которого для всех точек интервала
[ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f (x), а наименьшим значением
функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x0), для
которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x0)?f
(x).
Из этих определений следует, что функция может достигать своего
наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ] , так и
на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были
определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой
окрестности точки x0 .
Если в точке x0 функция f (x) достигает максимума или минимума, то
говорят, что функция f (x) в точке x0 достигает экстремума (или
экстремального значения).
Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала
[ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше
какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x)
на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого
интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это
наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из
значений функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего
значения f (x) в точке x2 , наименьшего - в точке x1 интервала [ x0, x3 ].
На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и
максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в
точке x0 экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не
существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x0, в которых ее
производная не существует. Например функция y = | x | в точке x0 = 0 не
дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют
угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
|[pic] |
|Рис. 6 |
На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x0 производной
[f' (x0) = ?] и достигающая в этой точке максимума. При x > x0 и x < x0
f' (x) > +?, при x > x0 и x > x0 f' (x) > -?. Значит касательная
кривой y = f (x) при x = x0 перпендикулярна к оси Ox. Такие точки
называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x0 экстремума
функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x0
производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным у
| |  скачать работу |
Приложения производной |
